忽攸，接著(zhù)忽攸
”。這樣看來(lái)，現代混沌學(xué)把混沌看作無(wú)序當中的有序的“混沌有序”看起來(lái)矛盾但又的確是可以說(shuō)得通的。
但是，我一種覺(jué)得“混沌數學(xué)”這個(gè)詞本身有點(diǎn)問(wèn)題，因為大家習慣說(shuō)數學(xué)是研究空間結構的學(xué)問(wèn)，而“混沌”本來(lái)就是無(wú)結構。數學(xué)本身也是建立在一系列不容再討論的公理之上的，如果目前我們這個(gè)支撐整個(gè)科學(xué)大廈的數學(xué)集合公理體系也是一個(gè)“噪音電路”，最后我們推演出來(lái)的最終的科學(xué)體系會(huì )不會(huì )是一片混沌？
但問(wèn)題是，無(wú)序和有序有沒(méi)有相互包含性？究竟是無(wú)序在有序當中，還是有序在混沌當中？也就是說(shuō)，無(wú)和有哪一個(gè)層次更高？這樣思考起來(lái)，若混沌是“無(wú)序當中的有序”等于承認無(wú)高于有了，似乎又同其確定論思想有所矛盾了。但是，噪音電路卻是在有序的框架下產(chǎn)生的無(wú)序，似乎又說(shuō)明無(wú)可以被包含在有中。
混沌學(xué)對當代哲學(xué)思想產(chǎn)生了不小的沖擊，同樣使得人們不得不思考我們現在要建立的有序社會(huì )的發(fā)展方向。如果說(shuō)有無(wú)可以自行轉化，或者說(shuō)轉化是必然的運動(dòng)趨勢的話(huà)，那么我們怎么知道我們人類(lèi)辛辛苦苦建立起來(lái)的社會(huì )秩序不會(huì )毀于混沌之中？到目前為止，人類(lèi)是有序運動(dòng)的最高階段了，但是，智慧到了極致是什么？古人曰“大智若愚”，但是僅僅是“若”愚？還是真愚？《周期3則亂七八糟》如果是一個(gè)正確的規律的話(huà)，我們怎么能不擔心我們建立的有序規則中沒(méi)有包含著(zhù)周期“3”呢？“噪音電路”的存在告訴我們，如果我們設計的制度當中具有一定的混沌因素存在，任何小小的擾動(dòng)都會(huì )對這個(gè)制度造成嚴重的沖擊直至它毀滅。
或許可以給人類(lèi)自己一點(diǎn)寬慰的是，從宏觀(guān)層面論及的有和無(wú)的運動(dòng)規律，是一種宇宙自然運動(dòng)規律，而不是微觀(guān)的有序運動(dòng)規律，而人類(lèi)社會(huì )的運行是人的操作行為的結果，不是“自行發(fā)展”的運動(dòng)。我們可以糾正有序運動(dòng)中出現的無(wú)序苗頭，比如我們可以去尋找有序的“噪音電路”中的周期3，改變這個(gè)電路的結構，把3改為2或者5等等其它數?；蛘呶覀兊鹊较到y出現混沌苗頭的時(shí)候，徹底丟棄它而另立一套系統，從而避免人類(lèi)社會(huì )從有序運動(dòng)到混沌狀態(tài)的自行發(fā)展。
單純從數學(xué)來(lái)說(shuō)，我們或許也無(wú)需擔心，因為既然物極必反，把邏輯發(fā)展到極致的數學(xué)科學(xué)本身導出的結論有多少可信性，是不是得到的“規律”本身就是一個(gè)“噪音”也不可知。數學(xué)的公理體系本身就是有“缺口”的，難道我們真的可以用“嚴格”的數學(xué)來(lái)解釋混沌世界嗎？
或許這一切思慮都是杞人憂(yōu)天。 ^?^
閱讀鏈接
1．http://www.jjxj.com.cn/news_detail.jsp?keyno=5843；
2．http://www.jjxj.com.cn/news_detail.jsp?keyno=6149；
3．http://www.jjxj.com.cn/news_detail.jsp?keyno=6412；
4．參閱文章：三生萬(wàn)物——“３”是宇宙常數嗎？
【作者】 李曙華（女），杭州師范學(xué)院
【內容提要】本文根據混沌學(xué)研究成果，闡明了“3 ”領(lǐng)先于一切自然數的物理意義，“3”不僅是系統走向混沌的第一關(guān)節點(diǎn)， 而且本身就蘊涵著(zhù)混沌，也是自然界“造就”混沌的基數。本文認為，作為“無(wú)窮多”和生成演化意義的“3”，或許可以作為一個(gè)重要的宇宙常數，從而劃定牛頓力學(xué)適用的第三個(gè)邊界，并賦予中國古代“三生萬(wàn)物”的道家思想以現代科學(xué)的詮釋。
關(guān)鍵詞 領(lǐng)先性；蘊涵性；生成演化；三生萬(wàn)物
【正文】
科學(xué)是不斷進(jìn)步的，正因如此，任何科學(xué)定律、理論、體系，都有其應用界限，該界限往往以某個(gè)自然常數為標志。在對無(wú)窮大和無(wú)窮小的探索中，光速v是牛頓力學(xué)運用的第一個(gè)邊界，普朗克常數h是牛頓力學(xué)運用的第二個(gè)邊界。目前，在涉及生長(cháng)、演化及其復雜性的領(lǐng)域，牛頓力學(xué)已不再適用，主要應用非線(xiàn)性科學(xué)——其主體為混沌、分形和孤立子理論。代表某種“無(wú)窮多”和生成演化起點(diǎn)意義的“3”， 可以作為一個(gè)重要的自然常數，即宇宙常數，從而劃定牛頓力學(xué)運用的第三個(gè)邊界嗎？
一、通向混沌的第一個(gè)關(guān)節點(diǎn)
對于混沌學(xué)，“3”確實(shí)是一個(gè)極為關(guān)鍵的數字。
追根溯源，混沌始于“三體問(wèn)題”。早在十九世紀末，彭加勒就指出：“經(jīng)典力學(xué)對于單體問(wèn)題、二體問(wèn)題，都可給出精確的解答，但對三體問(wèn)題，如日、月、地三者的相對運動(dòng)，卻一直無(wú)法求出精確解。他證明，自然界大多數系統是不可積的，對這些系統，原則上不能求出精確解。三體問(wèn)題正是其中之一?，F在已經(jīng)知道，這實(shí)際上就是一種保守系統的混沌。
二十世紀下半葉，混沌作為一門(mén)新興學(xué)科興起。1975年，約克和李天巖發(fā)表了具有開(kāi)創(chuàng )意義的論文《周期三意味著(zhù)混沌》，文中證明：“任何一維系統中，只要出現規則的周期3， 同一個(gè)系統也必然會(huì )給出其他任意長(cháng)的規則周期，以及完全混沌的循環(huán)。”[1]簡(jiǎn)單地說(shuō)， 就是有三周期點(diǎn)，就有一切周期點(diǎn)。而點(diǎn)由于迭代產(chǎn)生的變化和發(fā)展正是動(dòng)力系統研究的主要內容?；煦纭狢HAOS這個(gè)詞不徑而走， 成為一門(mén)新科學(xué)的代表，它之具有嚴格的科學(xué)定義，似乎開(kāi)始便與3 結下了不解之緣。
令人驚嘆的是，3的這種奇異的特性——即3的領(lǐng)先性，卻早在六十年代就已獲得了數學(xué)上的證明。烏克蘭數學(xué)家沙爾可夫斯基以其獨特的方式，重新排列了所有自然數：
先從小到大排出除1以外的所有奇數：3，5，7，9，11，……
接著(zhù)是它們的2倍：3×2，5×2，7×2，9×2，11×2，……
然后是2[2]倍：3×2[2]，5×2[2]，7×2[2]，9×2[2]，11×2[2]，……
其后是2[3]倍，2[4]倍，2[5]倍，……
再從大到小排出2的所有方冪，直到……2[2]，2[3]……
自然數的這種排列次序，叫作沙爾可夫斯基次序。而對于連續的區間迭代，沙氏證明了：如果在沙氏次序中，M領(lǐng)先于N，則有M周期點(diǎn)，就一定有N周期點(diǎn)，這就是著(zhù)名的沙爾可夫斯基定理。根據該定理，由于“3”領(lǐng)先于所有自然數，因此，如有一個(gè)周期是3的點(diǎn)，就必有周期是任意自然數的點(diǎn)。顯然，該定理包含了李—約克定理的基本內容。它賦予“3”在所有自然數中領(lǐng)先的獨特地位。 只是當時(shí)人們尚不能理解，為何要將自然數排成如此古怪的序列，并以此表達迭代周期之間的因果關(guān)系？“3”領(lǐng)先于一切其他自然數，其物理意義究竟是什么？ 直至混沌學(xué)再次發(fā)現了它。
對通向混沌道路的研究表明：“系統往往要在參量變化過(guò)程中先經(jīng)歷一系列周期制度，然后進(jìn)入混沌狀態(tài)。”而周期3正是系統走向混沌的第一個(gè)關(guān)節點(diǎn)，如：倍周期分岔進(jìn)入混沌：體現這種過(guò)程的最簡(jiǎn)單的一維迭代方程，即經(jīng)改進(jìn)的馬爾薩斯人口方程：X[,n+1]＝μX[,n]（1-X[,n]），研究表明，當代表系統非線(xiàn)性程度的參數μ稍稍超過(guò)“3”時(shí)，表征種群繁殖數的曲線(xiàn)突然一分為二，系統進(jìn)入以二年為周期的循環(huán)，隨著(zhù)μ值的逐漸增大，振蕩周期成倍地增加（T，2T，3T，……），然后經(jīng)過(guò)一系列的關(guān)節點(diǎn)μ2，μ3，μ4……，分岔越來(lái)越快，終于周期崩潰，讓位于混沌?？梢?jiàn)，在非線(xiàn)性程度增大的過(guò)程中，μ＝3 是系統演化的第一個(gè)突變點(diǎn)。然而就在這復雜性之中，又會(huì )忽然冒出一個(gè)象3或7這樣的奇數周期窗口，以后倍周期分岔再次全面展開(kāi)，最后進(jìn)入新的混沌。這里，“3”打破了人們永遠維持固有秩序的夢(mèng)想， 它發(fā)出了倍周期分岔和混沌到來(lái)的信號。
通向混沌的另一條道路，茹厄勒—塔肯斯（Rurlle-Takens ）道路證明：只要系統出現三個(gè)互不相關(guān)的頻率耦合，系統就必然形成無(wú)窮多個(gè)頻率的耦合，走向混沌。這一發(fā)現突破了關(guān)于湍流發(fā)生的傳統觀(guān)點(diǎn)，表明無(wú)窮多獨立的交疊運動(dòng)的形成，不是大量頻率數量上的迭加，而“只要三個(gè)獨立運動(dòng)就可以產(chǎn)生湍流的全部復雜性”。顯然，“3”不僅是產(chǎn)生混沌的起始點(diǎn)，而3本身就蘊涵著(zhù)“無(wú)窮多”，蘊涵著(zhù)“復雜性”，蘊涵著(zhù)混沌。
陣發(fā)混沌是非平衡非線(xiàn)性系統進(jìn)入混沌的又一條通道。它證明
[來(lái)源:778論文在線(xiàn) qiqi8.cn]但是，我一種覺(jué)得“混沌數學(xué)”這個(gè)詞本身有點(diǎn)問(wèn)題，因為大家習慣說(shuō)數學(xué)是研究空間結構的學(xué)問(wèn)，而“混沌”本來(lái)就是無(wú)結構。數學(xué)本身也是建立在一系列不容再討論的公理之上的，如果目前我們這個(gè)支撐整個(gè)科學(xué)大廈的數學(xué)集合公理體系也是一個(gè)“噪音電路”，最后我們推演出來(lái)的最終的科學(xué)體系會(huì )不會(huì )是一片混沌？
但問(wèn)題是，無(wú)序和有序有沒(méi)有相互包含性？究竟是無(wú)序在有序當中，還是有序在混沌當中？也就是說(shuō)，無(wú)和有哪一個(gè)層次更高？這樣思考起來(lái)，若混沌是“無(wú)序當中的有序”等于承認無(wú)高于有了，似乎又同其確定論思想有所矛盾了。但是，噪音電路卻是在有序的框架下產(chǎn)生的無(wú)序，似乎又說(shuō)明無(wú)可以被包含在有中。
混沌學(xué)對當代哲學(xué)思想產(chǎn)生了不小的沖擊，同樣使得人們不得不思考我們現在要建立的有序社會(huì )的發(fā)展方向。如果說(shuō)有無(wú)可以自行轉化，或者說(shuō)轉化是必然的運動(dòng)趨勢的話(huà)，那么我們怎么知道我們人類(lèi)辛辛苦苦建立起來(lái)的社會(huì )秩序不會(huì )毀于混沌之中？到目前為止，人類(lèi)是有序運動(dòng)的最高階段了，但是，智慧到了極致是什么？古人曰“大智若愚”，但是僅僅是“若”愚？還是真愚？《周期3則亂七八糟》如果是一個(gè)正確的規律的話(huà)，我們怎么能不擔心我們建立的有序規則中沒(méi)有包含著(zhù)周期“3”呢？“噪音電路”的存在告訴我們，如果我們設計的制度當中具有一定的混沌因素存在，任何小小的擾動(dòng)都會(huì )對這個(gè)制度造成嚴重的沖擊直至它毀滅。
或許可以給人類(lèi)自己一點(diǎn)寬慰的是，從宏觀(guān)層面論及的有和無(wú)的運動(dòng)規律，是一種宇宙自然運動(dòng)規律，而不是微觀(guān)的有序運動(dòng)規律，而人類(lèi)社會(huì )的運行是人的操作行為的結果，不是“自行發(fā)展”的運動(dòng)。我們可以糾正有序運動(dòng)中出現的無(wú)序苗頭，比如我們可以去尋找有序的“噪音電路”中的周期3，改變這個(gè)電路的結構，把3改為2或者5等等其它數?；蛘呶覀兊鹊较到y出現混沌苗頭的時(shí)候，徹底丟棄它而另立一套系統，從而避免人類(lèi)社會(huì )從有序運動(dòng)到混沌狀態(tài)的自行發(fā)展。
單純從數學(xué)來(lái)說(shuō)，我們或許也無(wú)需擔心，因為既然物極必反，把邏輯發(fā)展到極致的數學(xué)科學(xué)本身導出的結論有多少可信性，是不是得到的“規律”本身就是一個(gè)“噪音”也不可知。數學(xué)的公理體系本身就是有“缺口”的，難道我們真的可以用“嚴格”的數學(xué)來(lái)解釋混沌世界嗎？
或許這一切思慮都是杞人憂(yōu)天。 ^?^
閱讀鏈接
1．http://www.jjxj.com.cn/news_detail.jsp?keyno=5843；
2．http://www.jjxj.com.cn/news_detail.jsp?keyno=6149；
3．http://www.jjxj.com.cn/news_detail.jsp?keyno=6412；
4．參閱文章：三生萬(wàn)物——“３”是宇宙常數嗎？
【作者】 李曙華（女），杭州師范學(xué)院
【內容提要】本文根據混沌學(xué)研究成果，闡明了“3 ”領(lǐng)先于一切自然數的物理意義，“3”不僅是系統走向混沌的第一關(guān)節點(diǎn)， 而且本身就蘊涵著(zhù)混沌，也是自然界“造就”混沌的基數。本文認為，作為“無(wú)窮多”和生成演化意義的“3”，或許可以作為一個(gè)重要的宇宙常數，從而劃定牛頓力學(xué)適用的第三個(gè)邊界，并賦予中國古代“三生萬(wàn)物”的道家思想以現代科學(xué)的詮釋。
關(guān)鍵詞 領(lǐng)先性；蘊涵性；生成演化；三生萬(wàn)物
【正文】
科學(xué)是不斷進(jìn)步的，正因如此，任何科學(xué)定律、理論、體系，都有其應用界限，該界限往往以某個(gè)自然常數為標志。在對無(wú)窮大和無(wú)窮小的探索中，光速v是牛頓力學(xué)運用的第一個(gè)邊界，普朗克常數h是牛頓力學(xué)運用的第二個(gè)邊界。目前，在涉及生長(cháng)、演化及其復雜性的領(lǐng)域，牛頓力學(xué)已不再適用，主要應用非線(xiàn)性科學(xué)——其主體為混沌、分形和孤立子理論。代表某種“無(wú)窮多”和生成演化起點(diǎn)意義的“3”， 可以作為一個(gè)重要的自然常數，即宇宙常數，從而劃定牛頓力學(xué)運用的第三個(gè)邊界嗎？
一、通向混沌的第一個(gè)關(guān)節點(diǎn)
對于混沌學(xué)，“3”確實(shí)是一個(gè)極為關(guān)鍵的數字。
追根溯源，混沌始于“三體問(wèn)題”。早在十九世紀末，彭加勒就指出：“經(jīng)典力學(xué)對于單體問(wèn)題、二體問(wèn)題，都可給出精確的解答，但對三體問(wèn)題，如日、月、地三者的相對運動(dòng)，卻一直無(wú)法求出精確解。他證明，自然界大多數系統是不可積的，對這些系統，原則上不能求出精確解。三體問(wèn)題正是其中之一?，F在已經(jīng)知道，這實(shí)際上就是一種保守系統的混沌。
二十世紀下半葉，混沌作為一門(mén)新興學(xué)科興起。1975年，約克和李天巖發(fā)表了具有開(kāi)創(chuàng )意義的論文《周期三意味著(zhù)混沌》，文中證明：“任何一維系統中，只要出現規則的周期3， 同一個(gè)系統也必然會(huì )給出其他任意長(cháng)的規則周期，以及完全混沌的循環(huán)。”[1]簡(jiǎn)單地說(shuō)， 就是有三周期點(diǎn)，就有一切周期點(diǎn)。而點(diǎn)由于迭代產(chǎn)生的變化和發(fā)展正是動(dòng)力系統研究的主要內容?；煦纭狢HAOS這個(gè)詞不徑而走， 成為一門(mén)新科學(xué)的代表，它之具有嚴格的科學(xué)定義，似乎開(kāi)始便與3 結下了不解之緣。
令人驚嘆的是，3的這種奇異的特性——即3的領(lǐng)先性，卻早在六十年代就已獲得了數學(xué)上的證明。烏克蘭數學(xué)家沙爾可夫斯基以其獨特的方式，重新排列了所有自然數：
先從小到大排出除1以外的所有奇數：3，5，7，9，11，……
接著(zhù)是它們的2倍：3×2，5×2，7×2，9×2，11×2，……
然后是2[2]倍：3×2[2]，5×2[2]，7×2[2]，9×2[2]，11×2[2]，……
其后是2[3]倍，2[4]倍，2[5]倍，……
再從大到小排出2的所有方冪，直到……2[2]，2[3]……
自然數的這種排列次序，叫作沙爾可夫斯基次序。而對于連續的區間迭代，沙氏證明了：如果在沙氏次序中，M領(lǐng)先于N，則有M周期點(diǎn)，就一定有N周期點(diǎn)，這就是著(zhù)名的沙爾可夫斯基定理。根據該定理，由于“3”領(lǐng)先于所有自然數，因此，如有一個(gè)周期是3的點(diǎn)，就必有周期是任意自然數的點(diǎn)。顯然，該定理包含了李—約克定理的基本內容。它賦予“3”在所有自然數中領(lǐng)先的獨特地位。 只是當時(shí)人們尚不能理解，為何要將自然數排成如此古怪的序列，并以此表達迭代周期之間的因果關(guān)系？“3”領(lǐng)先于一切其他自然數，其物理意義究竟是什么？ 直至混沌學(xué)再次發(fā)現了它。
對通向混沌道路的研究表明：“系統往往要在參量變化過(guò)程中先經(jīng)歷一系列周期制度，然后進(jìn)入混沌狀態(tài)。”而周期3正是系統走向混沌的第一個(gè)關(guān)節點(diǎn)，如：倍周期分岔進(jìn)入混沌：體現這種過(guò)程的最簡(jiǎn)單的一維迭代方程，即經(jīng)改進(jìn)的馬爾薩斯人口方程：X[,n+1]＝μX[,n]（1-X[,n]），研究表明，當代表系統非線(xiàn)性程度的參數μ稍稍超過(guò)“3”時(shí)，表征種群繁殖數的曲線(xiàn)突然一分為二，系統進(jìn)入以二年為周期的循環(huán)，隨著(zhù)μ值的逐漸增大，振蕩周期成倍地增加（T，2T，3T，……），然后經(jīng)過(guò)一系列的關(guān)節點(diǎn)μ2，μ3，μ4……，分岔越來(lái)越快，終于周期崩潰，讓位于混沌?？梢?jiàn)，在非線(xiàn)性程度增大的過(guò)程中，μ＝3 是系統演化的第一個(gè)突變點(diǎn)。然而就在這復雜性之中，又會(huì )忽然冒出一個(gè)象3或7這樣的奇數周期窗口，以后倍周期分岔再次全面展開(kāi)，最后進(jìn)入新的混沌。這里，“3”打破了人們永遠維持固有秩序的夢(mèng)想， 它發(fā)出了倍周期分岔和混沌到來(lái)的信號。
通向混沌的另一條道路，茹厄勒—塔肯斯（Rurlle-Takens ）道路證明：只要系統出現三個(gè)互不相關(guān)的頻率耦合，系統就必然形成無(wú)窮多個(gè)頻率的耦合，走向混沌。這一發(fā)現突破了關(guān)于湍流發(fā)生的傳統觀(guān)點(diǎn)，表明無(wú)窮多獨立的交疊運動(dòng)的形成，不是大量頻率數量上的迭加，而“只要三個(gè)獨立運動(dòng)就可以產(chǎn)生湍流的全部復雜性”。顯然，“3”不僅是產(chǎn)生混沌的起始點(diǎn)，而3本身就蘊涵著(zhù)“無(wú)窮多”，蘊涵著(zhù)“復雜性”，蘊涵著(zhù)混沌。
陣發(fā)混沌是非平衡非線(xiàn)性系統進(jìn)入混沌的又一條通道。它證明
