在數學(xué)中，對于可導函數，可以完美的定義最優(yōu)化問(wèn)題：
對導數泰勒展開(kāi)，相當于應用二階導數尋找極值方向，收斂速度更快。
和梯度下降法類(lèi)似，僅需要一階導數信息，但是克服了收斂慢的缺點(diǎn)，算是解大型非線(xiàn)性最優(yōu)化最有效的算法之一。在各種優(yōu)化算法中，共軛梯度法是非常重要的一種。
由美國的J.Holland于1975年首先提出的啟發(fā)式算法。遺傳算法是一種智能隨機搜索算法。遺傳算法仿照自然界中生物的進(jìn)化過(guò)程，種群的進(jìn)化遵從自然選擇和適者生存，更適應環(huán)境的個(gè)體有更大機率存活和繁衍，適應性差的個(gè)體則會(huì )被淘汰，攜帶較高適應性基因的父母進(jìn)行繁殖可能產(chǎn)生適應性更強的后代。遺傳算法模擬上述過(guò)程，其一般流程如下：
其基本思想是把某類(lèi)優(yōu)化問(wèn)題的求解過(guò)程與統計熱力學(xué)的熱平衡問(wèn)題進(jìn)行對比，試圖通過(guò)模擬高溫物體退火的過(guò)程來(lái)找到優(yōu)化問(wèn)題的全局最優(yōu)解或近似全局最優(yōu)解。金屬退火原理是將金屬加溫至充分高，再讓其徐徐冷卻，加溫時(shí)，金屬內部粒子隨溫升變?yōu)闊o(wú)序狀，內能增大，而徐徐冷卻時(shí)粒子漸趨有序，在每個(gè)溫度都達到平衡態(tài)，最后在常溫時(shí)達到基態(tài)，內能減為最小。
3.蟻群算法(Ant System, Ant Colony System)
是由意大利學(xué)者Dorigo、Maniezzo等人于20世紀90年代提出來(lái)的啟發(fā)式算法。
將蟻群算法應用于解決優(yōu)化問(wèn)題的基本思路為：用螞蟻的行走路徑表示待優(yōu)化問(wèn)題的可行解，整個(gè)螞蟻群體的所有路徑構成待優(yōu)化問(wèn)題的解空間。路徑較短的螞蟻釋放的信息素量較多，隨著(zhù)時(shí)間的推進(jìn)，較短的路徑上累積的信息素濃度逐漸增高，選擇該路徑的螞蟻個(gè)數也愈來(lái)愈多。最終，整個(gè)螞蟻會(huì )在正反饋的作用下集中到最佳的路徑上，此時(shí)對應的便是待優(yōu)化問(wèn)題的最優(yōu)解。
螞蟻找到最短路徑要歸功于信息素和環(huán)境，假設有兩條路可從蟻窩通向食物，開(kāi)始時(shí)兩條路上的螞蟻數量差不多：當螞蟻到達終點(diǎn)之后會(huì )立即返回，距離短的路上的螞蟻往返一次時(shí)間短，重復頻率快，在單位時(shí)間里往返螞蟻的數目就多，留下的信息素也多，會(huì )吸引更多螞蟻過(guò)來(lái)，會(huì )留下更多信息素。而距離長(cháng)的路正相反，因此越來(lái)越多的螞蟻聚集到最短路徑上來(lái)。比如下圖：
兩只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)，一只走AD，一只走ACD，每個(gè)單位時(shí)間走一步，考慮9個(gè)單位時(shí)間之后，第一只走到了終點(diǎn)D，第二只剛走到C，僅僅是一半的路程。
第一只螞蟻開(kāi)始返回，等到第二只螞蟻走到D時(shí)，第一只返回到了起點(diǎn)，這時(shí)過(guò)了18個(gè)單位時(shí)間。這時(shí)，AD中每一步的留下的信息素是ACD路徑中信息素的兩倍。36個(gè)單位時(shí)間后，第二只螞蟻剛返回起點(diǎn)，ACD每個(gè)點(diǎn)上留下2個(gè)信息素，但是ABD上留下4個(gè)信息素。然后蟻群在A(yíng)D上增派螞蟻，ACD上依然一只螞蟻，再經(jīng)過(guò)36個(gè)單位時(shí)間后，兩條路線(xiàn)上的信息素比例為4:1，這樣隨著(zhù)時(shí)間的增加，蟻群在A(yíng)D上增派的螞蟻越來(lái)越多，信息素也越來(lái)越多，最終所有螞蟻都放棄ACD，選擇AD。
螞蟻具有的智能行為得益于其同時(shí)具有多樣性和正反饋的行為規則。在覓食時(shí)，多樣性使螞蟻不會(huì )走進(jìn)死胡同而無(wú)限循環(huán)，是一種創(chuàng )新能力；正反饋使優(yōu)良信息保存下來(lái)，是一種學(xué)習強化能力。兩者的巧妙結合使智能行為涌現，如果多樣性過(guò)剩，系統過(guò)于活躍，會(huì )導致過(guò)多的隨機運動(dòng)，陷入混沌狀態(tài)；如果多樣性不夠，正反饋過(guò)強，會(huì )導致僵化，當環(huán)境變化時(shí)蟻群不能相應調整。
蟻群算法可以用來(lái)解決經(jīng)典的TSP(Travelling Salesman Problem)問(wèn)題。
AS算法中，需要定義信息素強度，能見(jiàn)度，隨機選擇比例等一系列符號體系：
假
當
AS算法的大致步驟如下：
經(jīng)典蟻群算法可以輕松應對城市小于75的問(wèn)題，這些年，蟻群算法有大量的變種，越來(lái)越完善，可以解決更大型問(wèn)題。經(jīng)過(guò)對比，在大型TSP問(wèn)題中（最多包括132個(gè)城市），蟻群算法表現要優(yōu)于遺傳算法和模擬熄火。
對于一組隨機數據
2、對上述期望值直接用x領(lǐng)域附近的點(diǎn)進(jìn)行平均估計，比如
不管使用什么思路構造估計模型，估計的效果可以用平方損失進(jìn)行衡量，可以構造一個(gè)叫做均方誤差(Mean Squared Error，MSE)的指標衡量估計值和真實(shí)值之間的差距，假設訓練數據集為
其中
（三）CTA策略的尋優(yōu)難題
CTA策略的參數尋優(yōu)問(wèn)題，看起來(lái)很簡(jiǎn)單，但問(wèn)題的本質(zhì)其實(shí)和前面介紹的理論背景息息相關(guān)，這個(gè)問(wèn)題是數學(xué)的，又是統計的，同時(shí)更是藝術(shù)的。
回到CTA策略的本質(zhì)，想想我們在構造一個(gè)什么樣的東西。
1、變量
CTA策略中，最本質(zhì)的變量其實(shí)是價(jià)格，和數學(xué)問(wèn)題相比，這個(gè)價(jià)格變量是隨機的，和一般統計問(wèn)題相比，這個(gè)變量是個(gè)近似連續的隨機過(guò)程(每個(gè)tick都是一個(gè)隨機變量)。
當我們引入CTA這個(gè)語(yǔ)言體系，其實(shí)是已經(jīng)假設要對趨勢進(jìn)行刻畫(huà)和跟隨，tick層面的數據無(wú)法進(jìn)行有效的趨勢跟隨，因此把tick數據抽樣成給定周期的K線(xiàn)數據，就是非常重要的一步。因此我們的面對的變量，可以看做是個(gè)離散時(shí)間的隨機過(guò)程。但是，我們處理這個(gè)隨機過(guò)程的方法并不是追求平穩性變換，最終根據隨機過(guò)程各個(gè)變量在時(shí)間層面的穩定性，發(fā)掘出整體的概率結構。
2、目標
CTA最核心的假設是，大部分時(shí)候隨機過(guò)程在震蕩，少部分時(shí)候，出現明顯的方向性趨勢，我們的目標就是根據方向性趨勢的出現進(jìn)行趨勢研判的預測（gen sui），獲取收益，如果預測（gen sui）錯誤，或者方向回調，就止損出場(chǎng)，等待新的信號。
針對這個(gè)假設我們構造的交易系統，其實(shí)就是一個(gè)用來(lái)解決上述問(wèn)題的函數，這個(gè)函數的輸入雖然是一維隨機過(guò)程，由于我們要使用隨機過(guò)程的時(shí)間信息，實(shí)際上是個(gè)高維向量，我們針對高維向量通過(guò)交易函數（入場(chǎng)、止損）計算出來(lái)對應的交易業(yè)績(jì)。
上面
CTA參數尋優(yōu)最尷尬的地方在于我們對
回到CTA參數尋優(yōu)，我們面臨的問(wèn)題并不是數學(xué)優(yōu)化中梯度下降快速找到最優(yōu)解的問(wèn)題，也不是統計估計中根據隨機結構平衡方差和偏差得到最優(yōu)估計的問(wèn)題。真正的問(wèn)題在于我們面對一個(gè)數據隨機，但是我們對隨機結構并不知曉的估計，同時(shí)我們的估計損失函數是一個(gè)復雜的交易系統（哪怕最簡(jiǎn)單的均線(xiàn)系統，也不是一個(gè)簡(jiǎn)單的數學(xué)函數），如果我們在樣本內暴力尋優(yōu)，可能可以讓估計偏差最小，但是這個(gè)交易系統的穩定性非常差，因此大邏輯上可以做到的只能是讓交易函數盡可能保持簡(jiǎn)單，
3、手段和方法
1）控制參數個(gè)數
一個(gè)優(yōu)秀的交易系統，可變的參數應該是2，最多不要超過(guò)3，這一方面控制了交易系統的復雜度防止高度擬合，也防止在更高維度估計參數引起的高維詛咒。因為交易系統本身對K線(xiàn)進(jìn)行了降維處理，參數的個(gè)數類(lèi)似于變量的個(gè)數。
2）避免業(yè)績(jì)孤島
對于
漫長(cháng)的技術(shù)分析發(fā)展史中，技術(shù)分析師們根據交易實(shí)踐矯正了很多有實(shí)際用途的參數，比如5/10/20這種或者7/14/21這種和周、兩周、月等歷法對應的實(shí)踐，又比如1/2/3/5/8/13/21/34/55這種Fibonacci數列，經(jīng)驗參數本身就是避免過(guò)度擬合的方法之一，如果經(jīng)典參數和平滑業(yè)績(jì)相對應，那一般是可以接受的。
常見(jiàn)算法是：
上述方法是量邦天語(yǔ)定義的后驗方法,運行時(shí)日志如下：
其輸出的熱力圖示意如下：
（二）局部線(xiàn)性估計
局部線(xiàn)性估計是一種非常重要的現代非參數統計方法，其核心思想是在每個(gè)局部用線(xiàn)性結構來(lái)擬合目標函數，但是整體上保持靈活性和動(dòng)態(tài)性，從而平衡估計函數的方差和偏差。我們將局部線(xiàn)性估計應用于參數尋優(yōu)，最核心的思想是暴力尋優(yōu)后，把參數當做自變量，把業(yè)績(jì)當成函數值，然后對業(yè)績(jì)曲面進(jìn)行局部線(xiàn)性估計平滑，從而掌握參數曲面的整體形態(tài)，更好應用前面提到的幾個(gè)參數尋優(yōu)原則。
局部線(xiàn)性估計的平滑結果受核權重函數的影響并不大，但是受平滑窗寬的影響非常大，包含進(jìn)平滑的樣本點(diǎn)個(gè)數決定了業(yè)績(jì)曲線(xiàn)的光滑度，會(huì )產(chǎn)生平滑不足或者過(guò)度平滑的問(wèn)題。
精確最優(yōu)的平滑窗寬需要知道模型隨機誤差的分布信息，實(shí)際上這些信息完全不可知。通常的窗寬用一種經(jīng)驗算法來(lái)確定，假設隨機誤差是正態(tài)分布，并用到業(yè)績(jì)樣本標準差信息
（三）移動(dòng)平滑估計
如果是抽樣解決效率和精度問(wèn)題，局部線(xiàn)性估計提高尋優(yōu)結果的可讀性，移動(dòng)平滑方法從根本上改變尋優(yōu)的思路，通過(guò)對樣本的切割，把尋優(yōu)數據和評估數據加以區分，沿著(zhù)樣本移動(dòng)若干次之后，對若干對參數的樣本外業(yè)績(jì)進(jìn)行綜合評估，這有些借鑒Cross Validation的統計學(xué)思想。
假設我們一共有
綜合考慮所有窗口中的結果來(lái)確定策略表現的有效性和參數的穩定性，輸出下表
我們對前面的優(yōu)化問(wèn)題進(jìn)行適當簡(jiǎn)化，以200天為樣本內數據滾動(dòng)尋優(yōu)，可以得到下圖：
有些時(shí)候，人們喜歡把多參數和多策略、多品種、多周期并列為同一級別的四多，獲取實(shí)際意義上的分散。乍看參數尋優(yōu)并不屬于品種、策略思路和周期一個(gè)維度的問(wèn)題，是要通過(guò)尋找分個(gè)彼此高下的問(wèn)題，但是我們建議，不妨在一定的程度上，把參數也當做一個(gè)策略維度，進(jìn)行配置，對于兩個(gè)距離較大，但是業(yè)績(jì)都還不錯的參數取值而言，這種分散相當于更加穩健的策略結構，有些機器學(xué)習boosting的思路。最重要的是，多參數和多策略、多周期，其實(shí)也是一種平衡關(guān)系。
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