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按照某度的解釋?zhuān)盗⑷~變換，是表示能將滿(mǎn)足一定條件的某個(gè)函數表示成三角函數（正弦和/或余弦函數）或者它們的積分的線(xiàn)性組合。在不同的研究領(lǐng)域，傅立葉變換具有多種不同的變體形式，如連續傅立葉變換和離散傅立葉變換。最初傅立葉分析是作為熱過(guò)程的解析分析的工具被提出的。其公式是一個(gè)連續積分函數：

公式描述：公式中F（ω）為f（t）的像函數，f（t）為F（ω）的像原函數。

原理解析

拋開(kāi)復雜的公式推導簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，傅立葉變換的實(shí)際意義就是對一個(gè)指定的信號曲線(xiàn)，可以使用傅立葉變換的方法對其進(jìn)行分解重組，其目的就是將復雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化處理，再將處理后的結果綜合起來(lái)考慮。

具體操作就是將一個(gè)信號曲線(xiàn)分解成若干個(gè)正弦曲線(xiàn)，這些正弦的頻率代表了原信號曲線(xiàn)的頻率變化情況，總的來(lái)說(shuō)就是對原來(lái)信號曲線(xiàn)上的不同頻率的信號進(jìn)行分門(mén)別類(lèi)，同一頻率下的信號被分到了一個(gè)正弦曲線(xiàn)上，這樣就有了若干個(gè)不同頻率的正弦曲線(xiàn)了，而這些正弦曲線(xiàn)中，有些是我們需要的信息，而有些是不需要的信息。

相對原始的信號，分解后的若干正弦曲線(xiàn)的信號是非常容易處理的，比如我們需要去除指定頻段的信號，在原信號曲線(xiàn)上是比較難實(shí)現的，但是在分解后的若干正弦曲線(xiàn)中就變得非常容易，我們要做的只需要對這些正弦曲線(xiàn)按照頻率大小進(jìn)行排序，然后刪除掉不需要的頻段曲線(xiàn)即可，當然，操作完之后要記得將分解處理完后剩下的正弦曲線(xiàn)信號合并成原始的信號，這種操作被稱(chēng)為傅立葉逆變換或者逆傅立葉變換。

以語(yǔ)音信號為例，一般我們接觸到的信號是一幅基于時(shí)間序列的音頻聲波圖，也稱(chēng)為時(shí)域圖。聲音是介質(zhì)振動(dòng)在聽(tīng)覺(jué)系統中產(chǎn)生的反應。聲音總可以被分解為不同頻率不同強度正弦波的疊加（傅里葉變換）。聲音有兩個(gè)基本的物理屬性：頻率與振幅。聲音的振幅就是音量，頻率的高低就是指音調，頻率用赫茲（Hz）作單位。人耳只能聽(tīng)到20Hz到20khz范圍的聲音。

音頻圖上波峰的高低象征著(zhù)聲音的振幅大小，從物理角度解釋?zhuān)穹褪锹晭x原來(lái)位置的大小，聲帶偏離原來(lái)的位置越大，則聲音越大，波峰越高的地方意味著(zhù)音頻的振幅越高，也就是音量越大。而頻率就是聲帶在單位時(shí)間內振動(dòng)的次數，在音頻圖上可以看作是一個(gè)周期，頻率越高，就意味著(zhù)聲帶振動(dòng)的次數越多，也就是音調越高。

直接時(shí)域上的音頻圖進(jìn)行處理比較麻煩，所以一般會(huì )先將時(shí)域圖按照不同的頻率振幅分解成若干個(gè)音頻和振幅不同的音頻信號圖。再將這些不同的信號圖按照不同的振幅映射到一個(gè)平面圖上，就是我們所說(shuō)的頻域圖。

傅立葉變換對于信號的處理主要作用是將信號從時(shí)域圖像轉換到頻域圖像，其完整步驟如下：傅立葉變換（時(shí)域圖→頻域圖）→頻域圖排序→去除指定頻率的信號→頻域圖順序還原→逆傅立葉變換（頻域圖→時(shí)域圖）→時(shí)域圖取模還原。

那么我們如此大費周章地去除信號中指定頻段的信號目的是什么呢？當然是基于實(shí)際問(wèn)題的處理，最常見(jiàn)的就是信號去噪，一般來(lái)說(shuō)。信號中都會(huì )存在一些干擾的噪聲信號，不利于信號的處理，而這些噪聲信號的頻段往往都是固定的，只要我們對信號進(jìn)行傅立葉變換的操作，就很容易去除掉這些干擾的噪聲信號了。

舉個(gè)例子，我們在戶(hù)外街道上錄制一段語(yǔ)音，這段語(yǔ)音的信號中，實(shí)際是上包含了我們正常發(fā)出的聲音和街道背景的噪聲信號的。這個(gè)時(shí)候我們如果想要讓錄制的語(yǔ)音變得清晰一些，就需要對這段語(yǔ)音進(jìn)行傅立葉變換的操作，目的就是去除噪聲干擾。當然處理語(yǔ)音信號噪聲的方法有很多，而傅里葉變換是必將經(jīng)典的一種方法。

大多數情況下，噪聲屬于高頻信號，去除掉噪聲的音頻圖和原始音頻圖相比，差異不大，整體來(lái)看，由于有一部分的高頻信號被去除了，去噪后的信號圖比原圖會(huì )更平滑一些。

說(shuō)完傅立葉變換在信號領(lǐng)域的應用，接下來(lái)說(shuō)說(shuō)傅立葉變換在圖像視覺(jué)領(lǐng)域的應用。我們一般所說(shuō)的信號是一個(gè)一維數據，數據前后是由順序的，而圖像是一個(gè)二維（灰度圖）或三維（RGB圖）的數據（在代碼實(shí)現中，會(huì )統一轉成二維灰度圖），但是無(wú)論數據是多少個(gè)維度，他們的處理步驟都是一樣的，只不過(guò)具體操作細節有所變換而已，但是要明白，不管是一維數據也好，還是二維三維數據也罷，它們之間其實(shí)都是可以互相轉換的。

那么傅立葉變換在圖像視覺(jué)領(lǐng)域的具體實(shí)現方法是怎么樣的呢？實(shí)際上只需要把在一維信號中處理流程的時(shí)域信號換成空域信號即可，其他步驟不做任何變化。其實(shí)也很好理解，一維信號數據是具有先后時(shí)序的，而二維或者三維數據之間的關(guān)系就不像一維信號那么，只是基于時(shí)序的關(guān)系了，它們之間的關(guān)系是基于空間的關(guān)系。

代碼演示

接下來(lái)，我們就傅立葉變換在圖像領(lǐng)域的應用進(jìn)行代碼實(shí)際操作演示，我們先通過(guò)傅立葉變換對圖像進(jìn)行去噪操作的演示，也就是去掉一部分高頻信號的操作，由于是去高頻信號，留低頻信號，這個(gè)操作也被稱(chēng)為低通濾波。

下面以成都深度智谷科技的教學(xué)機構“深度人工智能學(xué)院”的教學(xué)練習題為例演示傅立葉變換的結果，在opencv中以離散傅立葉變換（DFT）來(lái)實(shí)現圖像低通濾波操作：

代碼展現效果：

通過(guò)上面案例，我們直觀(guān)地感受到了傅立葉變換在圖像去噪方面的實(shí)際效果，去掉了高頻信號后，無(wú)論是灰度圖，還是默認色彩圖，圖像的輪廓都會(huì )被軟化，界限變得模糊，這是由于圖像的噪聲以及邊緣部位往往梯度變化較大，而梯度較大的地方屬于高頻信號，所以在去噪的同時(shí)會(huì )軟化圖像邊緣。

接下來(lái)我們進(jìn)行一個(gè)反向操作，也就是圖像高通濾波操作，即去低頻信號，留高頻信號，看看處理后的圖像最終有什么變化。我們這次以numpy中的快速傅立葉變換為例來(lái)實(shí)現圖像高通濾波操作：

import numpyimport cv2import matplotlib.pyplot as plt img = cv2.imread('.images/1.jpg')# 0.轉化為灰度圖gray = cv2.cvtColor(img, cv2.COLOR_BGR2GRAY)rows, cols = gray.shapeprint(gray.shape) # 1.FFT快速傅里葉變換：空域－->頻域fft = numpy.fft.fft2(gray)  # 傅里葉變換，參數為灰度圖print(fft.shape) # 2.中心化：將低頻信號移動(dòng)到圖像中心fftshift = numpy.fft.fftshift(fft)print(numpy.min(numpy.abs(fftshift)))#絕對最低頻率信號print(numpy.max(fftshift),numpy.min(fftshift))#最高頻率信號，最低頻率信號# 獲取振幅譜（展示圖片用）: numpy.log（）是為了將值壓縮在[0， 255]附近magnitude_spectrum = numpy.log(numpy.abs(fftshift))print(numpy.max(magnitude_spectrum),numpy.min(magnitude_spectrum)) # 3.濾波操作之高通濾波（去低頻，保高頻）fftshift[rows / 2 - 50:rows / 2 + 50, cols / 2 - 50: cols / 2 + 50] = 0# print(fftshift.shape) # 4.去中心化：將剩余的低頻和高頻的位置還原ifftshift = numpy.fft.ifftshift(fftshift) # 5.逆傅里葉變換：頻域－->空域ifft = numpy.fft.ifft2(ifftshift)# print(ifft) # 6.二維向量取模（幅值）img_back = numpy.abs(ifft) #結合matplotlib展示多張圖片plt.figure(figsize=(10, 10))plt.subplot(221), plt.imshow(gray, cmap='gray'), plt.title('Input Gray Image')plt.xticks([]), plt.yticks([])plt.subplot(222), plt.imshow(magnitude_spectrum, cmap='gray'), plt.title('Magnitude Spectrum')plt.xticks([]), plt.yticks([])plt.subplot(223), plt.imshow(img_back, cmap='gray'), plt.title('Image after HPF')plt.xticks([]), plt.yticks([])plt.subplot(224), plt.imshow(img_back), plt.title('Result in JET')  # 默認cmap='jet'plt.xticks([]), plt.yticks([])plt.show()

代碼展現效果：

圖像高通濾波的效果和低通濾波效果剛好相反，從上面案例的結果來(lái)看，高通濾波的操作會(huì )使圖像失去更多的背景細節部分，只保留了圖像相應的輪廓界面。這是因為背景部分的圖像梯度變化相對輪廓部分的梯度變化較小，圖像梯度變化較小的這部分屬于低頻信號，去除掉這部分低頻信號，會(huì )使得圖像缺少過(guò)渡，邊緣顯得生硬，當去除過(guò)多的低頻信號時(shí)，甚至會(huì )讓圖像變成一副邊緣輪廓圖。

既然我們能夠通過(guò)傅立葉變換對圖像進(jìn)行高通濾波或低通濾波的操作，那么同樣也能對圖像進(jìn)行指定任意頻段的濾波操作，比如中通濾波就是保留圖像中間指定頻段的數據，去除高頻數據和低頻數據的操作，而阻滯濾波剛好是去除圖像中間指定頻段的數據，保留高頻和低頻數據。

后記：

關(guān)于普通傅立葉變換和離散傅立葉變換、快速傅立葉變換之間的概念關(guān)系如下：

DTFT是離散時(shí)間傅里葉變換，用來(lái)表達連續的信號的頻譜。

DFT是離散傅里葉變換，針對的是離散的信號和頻譜DFT是DTFT變化而來(lái)，其實(shí)就是將連續時(shí)間t變成了nT。為什么要這樣做呢，因為計算機是在數字環(huán)境下工作的，它不可能看見(jiàn)或者處理現實(shí)中連續的信號，只能夠進(jìn)行離散計算，在真實(shí)性上盡可能地逼近連續信號。所以DFT是為了我們能夠去用工具分析信號而創(chuàng )造出來(lái)的，通常我們直接用DTFT的機會(huì )很少。

FFT（Fast Fourier Transformation），即為快速傅氏變換，是離散傅氏變換的快速算法，

它是根據離散傅氏變換的奇、偶、虛、實(shí)等特性，對離散傅立葉變換的算法進(jìn)行改進(jìn)獲得的。

它對傅氏變換的理論并沒(méi)有新的發(fā)現，但是對于在計算機系統或者說(shuō)數字系統中應用離散傅立葉變換，可以說(shuō)是進(jìn)了一大步。在FFT中，利用WN的周期性和對稱(chēng)性，把一個(gè)N項序列（設N=2k,k為正整數），分為兩個(gè)N/2項的子序列，每個(gè)N/2點(diǎn)DFT變換需要（N/2）2次運算，再用N次運算把兩個(gè)N/2點(diǎn)的DFT變換組合成一個(gè)N點(diǎn)的DFT變換。這樣變換以后，總的運算次數就變成N+2*（N/2）^2=N+N^2/2。FFT提高了運算速度，但是，也對參與運算的樣本序列作出了限制，即要求樣本數為2^N點(diǎn)。離散傅里葉變換DFT則無(wú)上述限制。

小結：FFT快，DFT靈活，各有優(yōu)點(diǎn)，如果滿(mǎn)足分析要求，兩者準確度相同。

關(guān)注深度人工智能學(xué)院，我們長(cháng)期致力于人工智能職業(yè)教育培訓領(lǐng)域的發(fā)展，“傳播AI教育，培養AI人才” 是我們的長(cháng)期愿景。

文末附上一張傅立葉變換的動(dòng)態(tài)圖，理論上任何圖形都能被分解成若干個(gè)正弦波，也就可以被若干個(gè)圓組合的運動(dòng)軌跡擬合：