《微積分及其應用》和《多元微積分及其應用》封面
作者 | 林開(kāi)亮
今年6月，科學(xué)出版社出版了 Lax & Terrell 的《多元微積分及其應用》中譯本，這是《微積分及其應用》（中譯本由科學(xué)出版社2018年出版）的續篇?？紤]到《微積分及其應用》頗受讀者歡迎，作為譯者，我們這里對這兩卷書(shū)略作介紹，希望有助于大家更好地了解它們。
當今之世，Lax 與 Serre 可以說(shuō)是當時(shí)最高壽（今年兩位均94歲，Lax略長(cháng)）的大數學(xué)家。非常巧的是，兩位都是 Wolf 獎、Abel 獎得主，而且兩位都非常擅于寫(xiě)書(shū)。Serre 的書(shū)《數論教程》、《有限群的線(xiàn)性表示》中譯本列入高等教育出版社“丘成桐數學(xué)翻譯叢書(shū)”；Lax 的書(shū)《線(xiàn)性代數及其應用》和《泛函分析》中譯本均列入人民郵電出版社“圖靈叢書(shū)”。不過(guò)這幾本教材都面向數學(xué)專(zhuān)業(yè)的研究生。我們這里所介紹的微積分教材則面向本科生，尤其是非數學(xué)專(zhuān)業(yè)的本科生。
《泛函分析》封面
早在1976年，Lax 就與他的妻子 Anneli 一起寫(xiě)了一本微積分教材，后于1980年由人民教育出版社出版其中譯本《微積分及其應用與計算》。如 Lax于2005年在接受 Abel 獎的訪(fǎng)談中所透露的：“在我的微積分書(shū)中，代替逐點(diǎn)連續性，我提倡一致連續性……我也有許多其他想法，我還想重寫(xiě)我的微積分教材，我在找一位好的合作者?！盠ax 找到的合作者就是康奈爾大學(xué)數學(xué)系的Terrell，他們重寫(xiě)的教材即《微積分及其應用》與《多元微積分及其應用》，均收入斯普林格出版社的品牌叢書(shū)——本科生數學(xué)教材(UTM)，分別于2014年與2017年出版。順便說(shuō)一句，UTM 與其姊妹 GTM（研究生數學(xué)教材，Serre的兩本教材就屬于該系列）是兩套非常有影響力的數學(xué)叢書(shū)，國內世界圖書(shū)出版公司引進(jìn)了其影印版，對于當代的大學(xué)生和研究生來(lái)說(shuō)，直接閱讀英文版應該沒(méi)有困難。而世界圖書(shū)出版公司近期組織翻譯了UTM叢書(shū)中的幾本名著(zhù)，分別是：鐘開(kāi)萊的《初等概率論》與《隨機積分導論》，沙法列維奇的《代數教程》(此書(shū)高中生就可以閱讀)、Stephen Abbott的《分析入門(mén)》與杜武亮的《流形導引》（此書(shū)我也參與翻譯）。
六年前，當我在為大一新生上高等數學(xué)（一個(gè)更好的稱(chēng)謂是“微積分”）而備課時(shí)，發(fā)現了 Lax & Terrell 的《微積分及其應用》，如獲至寶。于是邀請昔日的好友一起翻譯此書(shū)，兩卷書(shū)前后共譯五年。作為譯者，我們從中也受益匪淺。下面就簡(jiǎn)單談?wù)勎覍@兩卷書(shū)的認識。
Lax 強調對理論與應用的結合。在理論方面，這兩卷書(shū)不拘泥于瑣碎細節，利用一些方便常用的定義（如一致連續與一致收斂、光滑有界集）簡(jiǎn)化了對定理的理解與證明。這在第二卷《多元微積分及其應用》尤其顯著(zhù)。眾所周知，對多元函數的教學(xué)，兩個(gè)緊密相關(guān)的重點(diǎn)和難點(diǎn)是：1、曲線(xiàn)積分與曲面積分；2、格林定理、散度定理與斯托克斯定理。借助于向量分析的語(yǔ)言，Lax & Terrell 在《多元微積分及其應用》第七、八章將這兩部分內容作了簡(jiǎn)單明了的闡述。我們相信，想要對這些內容獲得清晰認識的讀者，是絕不會(huì )失望的。說(shuō)到這里，我聯(lián)想起臺灣中央研究院數學(xué)所前所長(cháng)劉太平教授在《數學(xué)傳播》的一篇專(zhuān)訪(fǎng)中指出的教學(xué)問(wèn)題：“我們教書(shū)有太多的東西要教，比如微積分, 當 Stokes 定理都學(xué)過(guò)了, 但卻連較初等的, 像 divergence (散度)代表什么，常沒(méi)有時(shí)間仔細想過(guò)?！?Lax & Terrell 在《多元微積分及其應用》第3.5節就專(zhuān)門(mén)介紹了散度與旋度。（順便提一句，受到這一節內容的啟迪，我與另一位譯者吳艷霞在一篇即將發(fā)表的小文中解釋了為何不在高維空間提旋度的概念：因為除了三維空間與七維空間以外，其他維數的歐氏空間沒(méi)有合適的旋度。）
在應用方面，Lax 舉了許多來(lái)自生活與物理的例子。例如，很突出的一個(gè)例子，第一卷最后一章講到了概率，在第二卷積分舉例時(shí)又提及概率密度函數(pdf)的重要概念，進(jìn)而在最后一章偏微分方程舉例時(shí)提到了薛定諤方程以及量子力學(xué)的概率解釋。另一個(gè)典型的例子，是從萬(wàn)有引力定律推導開(kāi)普勒三定律，這是牛頓的偉大功績(jì)之一。講到這里，我想分享另一位 Abel 獎得主 I. Singer 的第一次邂逅數學(xué)的經(jīng)歷（見(jiàn)即將出版的《數學(xué)與物理》，高等教育出版社“數學(xué)與人文”叢書(shū)第31輯）：“我高中時(shí)就對科學(xué)感興趣，并獲得密歇根大學(xué)的獎學(xué)金。在密歇根的頭一年，我覺(jué)得沒(méi)有什么挑戰性，很失望，當一天和尚撞一天鐘，直到在微積分的課堂上，我們的老師講到牛頓如何從他的平方反比定律推導出行星的橢圓軌道。我感覺(jué)到，奇妙的事情發(fā)生了，這是富有智慧與美妙的事情！我現在仍然能感受這一點(diǎn)，而且常常跟那些門(mén)外漢說(shuō)：'只要想一想人類(lèi)智慧是何等的卓越；在一張紙上就可以演算出行星的軌道！’真是令人難以置信，事實(shí)上恰當的說(shuō)應該是，令人敬畏。我為那個(gè)推導感到激動(dòng)；這加強了我投身科學(xué)的決定?！蔽蚁?，我們的微積分課堂尤其需要這樣激動(dòng)人心的例子。Lax & Terrell 的教材就是一個(gè)豐富的礦藏。
這兩本書(shū)有大量的習題，并且書(shū)后有部分習題的答案。其中有許多習題都是有趣的，尤其值得一提的是，在第二卷的練習2.55，作者引導讀者去證明代數基本定理（要知道，這結果可是大數學(xué)家高斯1799年博士論文的主題）！
我想還應該指出，考慮到我們的許多大一新生在高中對三角函數的學(xué)習并不系統，而 Lax & Terrell 的第一卷專(zhuān)辟章節講三角函數，因此《微積分及其應用》會(huì )成為新生學(xué)習微積分的絕佳伴侶。
最后，我要特別說(shuō)明，自《微積分及其應用》中譯本出版后，我們又發(fā)現不少可以改進(jìn)或改正的地方，因此特別列出一個(gè)勘誤清單（后臺回復 Lax可直接下載），供讀者參考。歡迎大家多提寶貴意見(jiàn)。
第一卷出版有熱心朋友在知乎上做了宣傳，見(jiàn)這里https://zhuanlan.zhihu.com/p/40274687。
確實(shí)，誠如這位朋友指出的，“這本書(shū)要說(shuō)有什么缺點(diǎn)，那就是定價(jià)178元實(shí)在貴得離譜?！逼鋵?shí)我們所有譯者看到這個(gè)定價(jià)都覺(jué)得超出我們的想象，第二卷更是定價(jià)高達188元。于我們譯者而言，翻譯這兩卷書(shū)我們其實(shí)沒(méi)有多少稿酬，實(shí)際上還掏了七八萬(wàn)給出版社引進(jìn)中譯本版權（感謝我的恩師曾慷慨解囊贊助出版）。我們?yōu)槭裁匆鲞@種事情呢？因為我們只想讓大家看到Lax的新書(shū)，希望對大家有益。我們所有譯者，并不希望出版社定價(jià)這樣高，因為這偏離了我們的初衷——讓更多的人讀到這兩本書(shū)！我寫(xiě)本文也不是要吹捧這兩本書(shū)，我的見(jiàn)解與知乎上這位朋友一樣：Lax的書(shū)，無(wú)須我多言！我只希望大家知道，學(xué)習微積分有這么兩本書(shū)，多一個(gè)選擇。
《微積分及其應用》
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《多元微積分及其應用》
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《微積分及其應用》一書(shū)目錄
《多元微積分及其應用》一書(shū)目錄
譯后記
本書(shū)《多元微積分及其應用》是《微積分及其應用》的續篇，本著(zhù)對作者Peter Lax和Maria Terrell的喜愛(ài)崇敬與對讀者的負責到底，我們趁熱打鐵完成了本書(shū)的翻譯。
本書(shū)延續了作者一貫簡(jiǎn)明清晰的文風(fēng)，舉例豐富，注重背景，生動(dòng)有趣。與其他同類(lèi)教材相比，本書(shū)的一個(gè)特色是專(zhuān)辟章節介紹了守恒律與偏微分方程之初等理論。這些內容是Lax本人之專(zhuān)長(cháng)（偏微分方程）所在，因此完全可以理解他會(huì )在課程中引入。在他而言，守恒律乃數學(xué)之美妙的體現，參見(jiàn)http://www.concinnitasproject.org/portfolio/，中譯文《大雅之美：十位大數學(xué)家心中最美的公式》見(jiàn)“數立方”網(wǎng)站（http://mathcubic.org/article/article/index/id/515.html）。為方便讀者更好地理解，我們專(zhuān)門(mén)邀請了北京工業(yè)大學(xué)的劉繼濤老師翻譯了《激波的形成與衰減》，這是Lax 多年前發(fā)表于《美國數學(xué)月刊》的一篇美文，該譯稿收入即將出版的《數學(xué)與物理》（高等教育出版社“數學(xué)與人文”叢書(shū)第31輯）。
考慮到有些讀者可能對兩位作者不太了解，我這里略說(shuō)幾句，以增進(jìn)你對本書(shū)的認識。
先說(shuō)作者。Peter Lax是1926年出生的匈牙利裔美籍數學(xué)家，1949年在紐約大學(xué)獲得博士學(xué)位，之后一直留校任教。Lax在學(xué)術(shù)上成就卓越，先后榮獲美國國家科學(xué)獎?wù)拢?986）、Wolf數學(xué)獎（1987）、Abel獎（2005）以及俄羅斯的 Lomonosov金質(zhì)獎?wù)拢?013）。Lax是美國科學(xué)院院士，挪威文理學(xué)院院士，美國數學(xué)會(huì )會(huì )士。2005年，Springer出版了Lax的兩卷本《論文選集》。在通俗寫(xiě)作方面，Lax先后三次榮獲美國數學(xué)協(xié)會(huì )的寫(xiě)作獎，附錄收入的《激波的形成與衰減》曾兩次獲獎，另一篇獲獎作品是1965年發(fā)表于《美國數學(xué)月刊》第72卷的文章《偏微分方程的數值解》。這些主題都滲透到本書(shū)中，見(jiàn)第八章和第九章。Lax著(zhù)述豐富，其教材尤其受師生喜愛(ài)，除了我們的微積分譯著(zhù)，被譯成中文的，還有《微積分及其計算與應用》（即《微積分及其應用》之前身）、《線(xiàn)性代數及其應用》和《泛函分析》。其中，后兩本基于其研究生課程講義，線(xiàn)性代數與泛函分析都是Lax最喜歡講授的研究生課程；而另一門(mén)則是偏微分方程（見(jiàn)本書(shū)第九章，這個(gè)主題在普通的多元微積分教材中并不多見(jiàn)），其講義《雙曲偏微分方程》（2006）尚未有中譯本。
在他為接受Abel獎所寫(xiě)的自傳（見(jiàn)Helge Holden 和Ragni Piene 主編的The Abel Prize 2003–2007 The First Five Years一書(shū)第187頁(yè)）中，Lax分享了他對數學(xué)的看法：
Mathematics is sometimes compared to music; I find a comparison with painting better. In painting there is a creative tension between depicting the shapes, colors and textures of natural objects, and making a beautiful pattern on a flat canvas. Similarly, in mathematics there is a creative tension between analyzing the laws of nature, and making beautiful logical patterns.
我的翻譯（也見(jiàn)《當代大數學(xué)家畫(huà)傳》關(guān)于Lax的篇目）如下：
數學(xué)有時(shí)被拿來(lái)與音樂(lè )比較，但我覺(jué)得與繪畫(huà)比較更恰當。在繪畫(huà)時(shí)，在描述自然對象的形狀、顏色、紋理與在帆布上勾勒出一幅漂亮的圖案之間存在創(chuàng )造性張力。類(lèi)似地，在數學(xué)中，在分析自然定律與構造優(yōu)美的邏輯模式之間也存在創(chuàng )造性張力。
在《當代大數學(xué)家畫(huà)傳》中，Lax 進(jìn)一步補充說(shuō)：
我所做的大部分工作都源于物理學(xué)建議的一些問(wèn)題，例如聲波的傳播，它們被散射的方式，流體中激波的形成與傳播。不論何種問(wèn)題，其數學(xué)必須要優(yōu)美。這些問(wèn)題中有許多都引出了純數學(xué)中的有趣問(wèn)題。
Lax在純數數學(xué)與應用數學(xué)之間游刃有余，研究和教學(xué)都出類(lèi)拔萃，乃世所罕有的數學(xué)大師。
Lax 一共培養了55名博士，其中有4位華裔，而現任職于牛津大學(xué)數學(xué)所的陳貴強教授則是Lax的博士后（1987—1989）。
本書(shū)的另一位作者M(jìn)aria Terrell是康奈爾大學(xué)數學(xué)系的退休教授，研究領(lǐng)域是幾何與數學(xué)教育。
本書(shū)共12位譯者，分別是：
林開(kāi)亮（第一、五章），西北農林科技大學(xué)理學(xué)院；
吳艷霞（第一章），山東財經(jīng)大學(xué)數學(xué)與數量經(jīng)濟學(xué)院；
張雅軒（第二章），中國民航大學(xué)理學(xué)院；
崔曉娜（第三章），河南師范大學(xué)數學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院；
姚少魁（第三章），北京市第八十中學(xué)國際部；
陳敏茹（第四章），河南大學(xué)數學(xué)與統計學(xué)院；
王 兢（第五、六章），中央民族大學(xué)理學(xué)院；
任文輝（第六章），內蒙古工業(yè)大學(xué)理學(xué)院；
崔繼峰（第六章），內蒙古工業(yè)大學(xué)理學(xué)院；
邵紅亮（第七章），重慶大學(xué)數學(xué)與統計學(xué)院；
劉 帥（第八章），西北農林科技大學(xué)理學(xué)院；
鄭霽光（第九章），復旦發(fā)展研究院金融研究中心；
譯者大部分是我的同學(xué)（本科或研究生），有不少是我在首都師范大學(xué)排球場(chǎng)上的球友。我們的合作，是飽含著(zhù)深情與懷念的協(xié)同作戰。特別值得一提的是，負責翻譯第三章的姚少魁、崔曉娜夫婦。在翻譯《微積分及其應用》期間，曉娜懷著(zhù)第一個(gè)寶寶，在翻譯本書(shū)期間，曉娜懷著(zhù)第二個(gè)寶寶。作為孕婦本來(lái)就很受累，還要伏案翻譯，其辛勞可想而知（幸虧Lax的書(shū)只有兩卷）！各位譯者年齡相仿，身處學(xué)校，承受著(zhù)教學(xué)和科研的壓力，肩負著(zhù)生活與工作的重擔，但仍然像擠殘剩不多的牙膏那樣，擠出一點(diǎn)一滴的時(shí)間，以飽滿(mǎn)的熱情和專(zhuān)業(yè)的精神，認真完成各個(gè)章節的翻譯并校訂原書(shū)。在某種意義上，我們的翻譯稱(chēng)得上是一種浪漫的合作，其目標只是為了給各位讀者呈現出一本盡善盡美的《多元微積分及其應用》。我想我們已經(jīng)接近這個(gè)目標了，希望各位讀者也滿(mǎn)意。
在個(gè)別地方我們補充了一些腳注或是對行文做了小幅度的調整，也是希望能夠幫助讀者更好地理解本書(shū)。原則上講，多元微積分的理論與一元微積分的理論平行，因此對那些讀過(guò)第一卷《微積分及其應用》的讀者來(lái)說(shuō)，繼續跟進(jìn)《多元微積分及其應用》是水到渠成、自然而然的選擇。通常的多元微積分教材，對曲線(xiàn)積分和曲面積分的講述不夠清晰，以至于學(xué)生這一塊內容往往不得要領(lǐng)。本書(shū)的處理（見(jiàn)第七章）抽繭剝絲簡(jiǎn)潔明了，尤其值得推薦給各位讀者。如前所述，第八章關(guān)于守恒律的部分有些高深，一般讀者適當了解即可。
最后，我們想強調一點(diǎn)，正如書(shū)名所提示的，本書(shū)注重理論之應用——用行話(huà)來(lái)說(shuō)——就是“理論聯(lián)系實(shí)際”，希望讀者能消化書(shū)中各個(gè)例題并輔以適當練習以吸收理論，學(xué)以致用，充分領(lǐng)會(huì )本書(shū)的精神。毫無(wú)疑問(wèn)，即便是作為已經(jīng)在課堂上講過(guò)幾遍微積分的教師、在科研中運用過(guò)微積分的研究工作者，我們自己也從這兩卷書(shū)中受益匪淺。愿各位讀者亦有共鳴。
本書(shū)翻譯出版得到以下項目的資助， 國家自然科學(xué)基金No.11605142（劉帥）、No.11601044（邵紅亮）、No.11801314（吳艷霞）、內蒙古自治區自然科學(xué)基金No. 2018LH01016和內蒙古工業(yè)大學(xué)科學(xué)研究重點(diǎn)項目No. ZD201613（崔繼峰）以及中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費專(zhuān)項資金Z109021708（林開(kāi)亮），特表感謝。
感謝本書(shū)作者之一的 Maria Terrell 及其夫君 Robert E. Terrell 與我們及時(shí)溝通，這使得本書(shū)的翻譯順利了許多。Maria Terrell還在其個(gè)人主頁(yè)（http://pi.math.cornell.edu/~maria/）給出了《微積分及其應用》和本書(shū)的一個(gè)印刷錯誤清單（a list of typos）。
感謝北京市朝陽(yáng)區教育研究中心的張浩博士、內蒙古大學(xué)數學(xué)科學(xué)學(xué)院的顏昭雯教授、為我們校對了部分章節的譯稿，感謝天津大學(xué)物理系的劉云朋教授為我們解答了翻譯過(guò)程中遇到的疑難（見(jiàn)9.3節問(wèn)題9.25），感謝大連交通大學(xué)理學(xué)院的莫利同學(xué)與我們討論，最終引出了關(guān)于周期函數之和未必是周期函數的那個(gè)腳注（見(jiàn)9.2節）。感謝重慶大學(xué)數學(xué)與統計學(xué)院的王顯金教授為我們調整了LaTeX模板，感謝“遇見(jiàn)數學(xué)”的李想老師為我們補全了圖10.5（原書(shū)只有左邊的圖）。最后，我們要感謝科學(xué)出版社林鵬社長(cháng)與數理分社陳玉琢編輯對我們一如既往的鼓勵支持！
譯者代表 林開(kāi)亮
2019年5月5日
于西北農林科技大學(xué)理學(xué)院
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