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考慮一個(gè)固體，它是由很多很多個(gè)原子周期性地排列而成的。
單獨一個(gè)原子的問(wèn)題，是原子物理學(xué)的問(wèn)題，我們需要研究電子在庫倫場(chǎng)中的運動(dòng)，如果是多電子原子，我們需要研究很多個(gè)電子在原子核周?chē)倪\動(dòng)。
單電子原子的問(wèn)題是可以嚴格求解的，多電子原子的問(wèn)題一般而言沒(méi)法嚴格求解，我們需要構思一個(gè)近似處理的方案。我們可以考慮單獨一個(gè)電子的運動(dòng)，把這個(gè)電子與其他電子的相互作用做個(gè)平均，看做是對原子核相互作用的一個(gè)修正。
最簡(jiǎn)單的多電子原子：He原子。
只考慮一個(gè)電子和原子核的相互作用是簡(jiǎn)單的，但考慮到除這個(gè)電子外所有電子對這個(gè)電子的相互作用，問(wèn)題就變得復雜了，因為這一項依賴(lài)于所有電子的運動(dòng)狀態(tài)，而這正是我們想求的。
在原子物理中我們認為電子-電子相互作用不會(huì )改變原子勢場(chǎng)的對稱(chēng)性，然后在此基礎上用自洽的平均場(chǎng)方法求解電子的波函數，換句話(huà)說(shuō)我們最終求解的仍然是一系列單電子的薛定諤方程，只是在這一系列薛定諤方程中把電子-電子間的相互作用考慮為一個(gè)電子在有效外場(chǎng)中的相互作用了。
讓我們回到固體物理，我們假設固體是由一系列原子周期性排列而成的，這意味著(zhù)系統具有平移對稱(chēng)性，此外我們也可以只拿出一個(gè)電子出來(lái)考慮。
晶格（每個(gè)格點(diǎn)上有個(gè)原子）與電子示意圖。
首先這一個(gè)電子會(huì )受到周期性排列晶格的相互作用，其次電子和電子之間也會(huì )有相互作用，當然電子本身還有動(dòng)能。假設我們認為晶格對電子的影響可以忽略不計，同時(shí)我們忽略電子和電子之間的相互作用，這就對應近自由電子近似。
忽略電子和電子之間相互作用這步是很讓人懷疑的，因為電子和電子之間肯定存在庫倫相互作用，并且這個(gè)相互作用在電子和電子之間距離很近的時(shí)候還會(huì )變的很大，那為什么這個(gè)近似在某些情況下能成立呢？
這是因為電子是費米子，而在固體里有很多電子，電子在周期性晶格中的運動(dòng)會(huì )形成能帶，電子會(huì )從低到高在能帶中填充，最后可以填到一個(gè)很高的能量才結束，這個(gè)能量叫費米能，對金屬來(lái)說(shuō)費米能是可以很大的，比如幾萬(wàn)開(kāi)爾文，這意味著(zhù)電子的動(dòng)能大于電子和電子之間的勢能，作為一個(gè)近似，忽略電子和電子之間的相互作用就是可以接受的。
以上是近自由電子近似，電子的色散關(guān)系很接近拋物線(xiàn)：
近自由電子的色散關(guān)系，很接近一根拋物線(xiàn)?？紤]電子和晶格的相互作用后，拋物線(xiàn)會(huì )發(fā)生變形，這相當于是個(gè)濾波器，即只有特定頻率的波才能在周期性結構中傳播。
緊束縛字面上的意思和自由電子的意思正好相反。如果說(shuō)電子和晶格的相互作用可以忽略不計對應近自由電子近似的話(huà)，緊束縛的意思就是說(shuō)電子被晶格束縛的很緊密，極限情況當然是每個(gè)電子各自被自己的原子完全控制，和其他原子完全沒(méi)有相互作用，但這種情況太平庸了，就相當于是很多很多個(gè)互相獨立的原子組成的集合。
很多很多完全沒(méi)有相互作用的原子示意圖，此時(shí)電子只能被束縛在自己的原子周?chē)?，不同格點(diǎn)的電子波函數完全沒(méi)有交疊。
緊束縛近似考慮的是相鄰原子間電子的波函數是可以發(fā)生交疊的，這意味著(zhù)電子可以“跳躍”到相鄰格點(diǎn)上（比如電子由i格點(diǎn)跳到j(luò )格點(diǎn)上），用二次量子化的語(yǔ)言可表示為：
上式?jīng)]有寫(xiě)出電子-電子相互作用項，這個(gè)哈密頓量很容易求解，其解為：-2t·cos k a （這里a為晶格常數，并且計算的是一維材料），即一個(gè)寬度為2t的能帶。
石墨烯在緊束縛近似下計算出來(lái)的能帶圖。
考慮電子-電子間相互作用，可以用密度泛函理論研究，但如果相互作用很強就會(huì )變得很復雜，這就是凝聚態(tài)物理中的強關(guān)聯(lián)問(wèn)題，高溫超導被認為是典型的強關(guān)聯(lián)問(wèn)題，目前這個(gè)問(wèn)題還沒(méi)有被很好的解決，是物理學(xué)中著(zhù)名的難題。
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