備受關(guān)注的《盜夢(mèng)空間》有著(zhù)令人驚嘆的復雜情節，而其中許多情節和場(chǎng)景，與部分數學(xué)理論和思想非常相符，故事中的一些問(wèn)題在數學(xué)中也有過(guò)類(lèi)似的討論。在欣賞影片之余，從數學(xué)角度來(lái)探討一下電影結局，同樣也是一件非常有趣且有挑戰性的事情。
文 | 高斯控
一、劇情簡(jiǎn)介
第一段是從開(kāi)始到Cobb及其同伴從高速列車(chē)上逃跑。主要講Cobb在夢(mèng)中盜取Saito想法的行動(dòng)。這一段描述了兩個(gè)問(wèn)題：存在夢(mèng)中夢(mèng)結構；你可以利用夢(mèng)中夢(mèng)竊取一個(gè)人的想法。后面這個(gè)問(wèn)題又帶來(lái)一個(gè)新問(wèn)題：如果存在著(zhù)夢(mèng)中夢(mèng)，又如何知道醒來(lái)時(shí)是回到了現實(shí)中，而不是掉入另一個(gè)夢(mèng)呢？
第二段是Saito請Cobb團隊幫忙植夢(mèng)改變Fisher的想法。其中重要的是通過(guò)Cobb及其團隊向新人Ariadne展示了如何造夢(mèng)、驗夢(mèng)，以及盜夢(mèng)的原理。第三段的潛入夢(mèng)的部分是故事的高潮。在結局時(shí)，Cobb最終醒沒(méi)醒，似乎變得比任務(wù)更加重要。導演是在證明什么呢？如果觀(guān)眾都覺(jué)得說(shuō)不清是夢(mèng)還是醒，實(shí)際上導演已經(jīng)證明了一個(gè)非常重要的哲學(xué)觀(guān)點(diǎn)：存在著(zhù)不可知性。
二、三個(gè)重要的數學(xué)思想與《盜夢(mèng)空間》的關(guān)系
在數學(xué)上有著(zhù)三個(gè)重要的思想：
1）非歐幾何和分形幾何
2）公理體系
3）不可知論
我們可以以此來(lái)對《盜夢(mèng)空間》進(jìn)行一個(gè)數學(xué)角度的考察。
非歐式空間的迷宮
在第二段故事中，最令觀(guān)眾驚嘆和稱(chēng)奇的部分就是Cobb向Ariadne演示迷宮的部分。在這里一共出現了3個(gè)迷宮。
Cobb的助手Arthur向Ariadne演示了一個(gè)無(wú)限的樓梯。Ariadne走了4段，一直感覺(jué)向上，實(shí)際上走了一個(gè)死圈，這其實(shí)便是畫(huà)家埃舍爾（Escher）著(zhù)名的旋轉樓梯，它指出了夢(mèng)中悖論（Paradox）的存在。在面試的時(shí)候，Cobb讓Ariadne畫(huà)迷宮以測其智商，她畫(huà)的第3個(gè)迷宮困住了Cobb，這個(gè)迷宮是圓圈套來(lái)套去，也類(lèi)似于一條著(zhù)名的環(huán)形蛇迷宮。
而后Cobb教授Ariadne時(shí)，把世界折成了一個(gè)盒子狀的結構。大地變成了盒子的內表面，天空位于盒子的中心，世界變得像萬(wàn)花筒一樣顛來(lái)倒去，同樣是一種非歐氏空間。
什么是非歐式空間？
如果我們?yōu)槊恳粋€(gè)空間都設置坐標系的話(huà)，歐氏空間的坐標系是直線(xiàn)，而非歐空間的坐標系會(huì )彎曲成一個(gè)圓圈。在一維上，歐式空間是直線(xiàn)，非歐空間可以是圓圈。在二維度上，歐式空間是平面，非歐式空間則可以有多種。
Cobb所展示的盒子世界，其實(shí)就是球形的非歐空間。如果我們要構造一個(gè)Ariadne所走的埃舍爾樓梯，在那個(gè)空間的高度方向一定是彎曲成了一個(gè)圓。這樣樓梯的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)具同一高度，所以才能聯(lián)接上。在這個(gè)空間中，依然有向上和向下的方向，但意義已不同。向上和向下不代表高度的增減，而是指從兩個(gè)不同的方向畫(huà)圈。
好比從一個(gè)方向上看，向上走是順時(shí)針，向下走是逆時(shí)針。所以當你向上走和向下走時(shí)，一直都在不斷重復。生活中這樣的樓梯是沒(méi)有的，但時(shí)鐘等許多事物的工作方式卻具有這樣的性質(zhì)。
怎樣把敵人永遠困在夢(mèng)中
在電影的迷宮設計中，造夢(mèng)師如果想把一個(gè)人困住，就要給他一種無(wú)限的錯覺(jué)。把被騙的人想成是一只小蟲(chóng)子，在二維世界里，如果是歐式空間，就是一個(gè)平面，你只能設計一個(gè)很大的圓，但小蟲(chóng)總有一天會(huì )還是跑出去。但如果這是一個(gè)非歐式空間，如球面，小蟲(chóng)怎么都跑不出去，這樣，造夢(mèng)者就可以將敵人永遠困在自己設計的夢(mèng)中。
非歐式空間的歷史
在此后的100多年中，幾乎無(wú)人正確理解黎曼的貢獻。但這一思想深刻地影響了包括廣義相對論在內的一系列偉大理論的誕生。
何為真實(shí)？何為公理？
當我們說(shuō)一個(gè)定理是正確的時(shí)候，實(shí)際上是不嚴格的說(shuō)法。更準確的說(shuō)法應是一個(gè)定理可由公理推導出來(lái)。只有當你接受公理的假設時(shí)，定理才是真的。
問(wèn)題在于公理本身常常也只是假設，真假是不可證明的。例如，非歐式空間與歐式空間之間一個(gè)最大的區別，在于平行公理：經(jīng)過(guò)一條直線(xiàn)之外的點(diǎn)，有幾條直線(xiàn)和已知的直線(xiàn)平行？如果假設只有一條的話(huà)，那就是平面幾何，這時(shí)三角形內角之和是180度。如果一條也沒(méi)有，便是球面幾何，這時(shí)三角形內角合大于180度。在不同的假設中，幾何規則完全不同。
通常我們對空間的邏輯認知和思考都基于歐氏空間，這些邏輯都是在假定空間沒(méi)有彎曲的情況下才是正確的。而在一個(gè)彎曲的空間中，如果還是用歐氏空間的邏輯進(jìn)行思考，必定會(huì )推出不同的結果，產(chǎn)生悖論。
建立在“陀螺公理”之上
我們再回到電影，Cobb判斷是夢(mèng)是醒從來(lái)不用邏輯思考，只用陀螺驗證。因為一些事可以從“在夢(mèng)中”這一假設推導，也可以從“在現實(shí)中”這一假設推導。在兩種假設前提下，用不同的邏輯可能推導出同樣的結果。
“陀螺倒就是現實(shí)中，否則就是在夢(mèng)中”是作為驗夢(mèng)的陀螺公理。Cobb只靠這一條分辨現實(shí)和夢(mèng)境，不用邏輯推理?？梢哉f(shuō)Cobb對一切對夢(mèng)和現實(shí)的分判，都是建立在陀螺公理之上的。
許多人會(huì )奇怪“陀螺公理”中，為何夢(mèng)中的陀螺會(huì )轉個(gè)不停。已有許多解答，非歐式空間可以給出一種可能的解答，彎曲的空間會(huì )產(chǎn)生幾何上的邏輯悖論，同樣會(huì )產(chǎn)生物理上的邏輯悖論。比如我們可以想象在埃舍爾設計的樓梯上，當一個(gè)人向下走時(shí)，實(shí)際上就是在跑圈。同樣的道理，如果你拋出一個(gè)物體，它會(huì )向下運動(dòng)，實(shí)際上它也是在跑圈。
分形幾何的迷宮
Ariadne把Cobb帶到一個(gè)地方，關(guān)上門(mén)，弄出兩面鏡子，兩面鏡子之中出現了數不清的人像。因為鏡子可以在鏡子中成像，于是就有了鏡中鏡中鏡中鏡??隨著(zhù)鏡子層數的加深，鏡中像會(huì )越來(lái)越小。但即使是極小的一個(gè)像，經(jīng)過(guò)放大，里面還是有鏡中鏡中鏡中鏡??這便是幾何上被稱(chēng)為分形（fractal）的結構。我們可以將鏡中鏡看成《盜夢(mèng)空間》故事結構的一種比喻。因為鏡中可以有鏡，所以就有鏡中鏡中鏡中鏡??同樣，因為夢(mèng)中會(huì )產(chǎn)生夢(mèng)，所以有夢(mèng)中夢(mèng)中夢(mèng)中夢(mèng)??
最早的分形結構卻不是來(lái)源于幾何，而是來(lái)源于對遞推規則的研究，具體說(shuō)是微分方程的研究。分形結構是微分方程中chaos現象的一種，最早認識到chaos的人是法國數學(xué)家龐加萊（Jules
打開(kāi)不可知論的魔盒
其實(shí)，我們也可以把人的思想描述成一種幾何結構。迷宮般的邏輯結構是存在的，它會(huì )導致“不可知性”。埃舍爾樓梯對應著(zhù)邏輯上的循環(huán)悖論，最典型的便是“雞生蛋，蛋生雞”的例子，它們分開(kāi)來(lái)看都是正確的，但是放在一起，便出現了一個(gè)先有雞還是先有蛋的問(wèn)題。
分形結構對應著(zhù)無(wú)窮的遞歸的邏輯。物理學(xué)上的觀(guān)點(diǎn)“基本粒子可以再分”正是如此，分子分解成原子，原子分解成電子、質(zhì)子和中子，現代物理學(xué)在進(jìn)一步分解電子、質(zhì)子和中子。但每得到一種基本的粒子，就要將其分解成更基本的粒子，這種邏輯就決定了世界的最基本的粒子是找不到的。
夢(mèng)中夢(mèng)也是這樣一種分形似的邏輯，而電影的開(kāi)篇和片尾，Cobb和Saito出現在同樣的場(chǎng)景中，構成了一個(gè)循環(huán)，到這里，《盜夢(mèng)空間》己經(jīng)打開(kāi)了不可知論的魔盒。
在哲學(xué)上“不可知論”是非常久遠的。人類(lèi)歷史上許多科學(xué)巨匠們都有“不可知”的想法，這或許是為何一些絕頂聰明的家伙最后神經(jīng)不正常的原因。例如牛頓在提出三大運動(dòng)定律之后，跑去研究上帝。個(gè)中原因在于在牛頓的體系中有兩個(gè)不可知的問(wèn)題，一是第一推動(dòng)力，二是如果萬(wàn)有引力存在，星星為什么沒(méi)有掉下來(lái)。這是牛頓無(wú)法用他的三定律解答的。
愛(ài)因斯坦完全超越了牛頓詮釋的經(jīng)典力學(xué)世界，但正如他自己所說(shuō)，“我知道的很多，我不知道的更多。”而一個(gè)愛(ài)因斯坦的體系中“不可知”的問(wèn)題，便是為什么宇宙沒(méi)有整個(gè)被黑洞吸進(jìn)去。
三、用“不可知論”的觀(guān)點(diǎn)來(lái)看故事結局
在《盜夢(mèng)空間》的故事中，我們可以整理出這樣幾個(gè)命題：
1、當進(jìn)入一個(gè)夢(mèng)的時(shí)候，究竟是誰(shuí)的夢(mèng)無(wú)法驗證。
2、人在夢(mèng)中也可以說(shuō)謊。比如第一層夢(mèng)中的火車(chē)，開(kāi)始觀(guān)眾以為是Fisher的，后來(lái)通過(guò)Ariadne的對話(huà)我們知道是Cobb造的。
3、如果不用陀螺進(jìn)行驗證，從一層夢(mèng)中醒過(guò)來(lái)，可能是回到現實(shí)，也可能是在一個(gè)更大的夢(mèng)里。
那么讓我們從這幾個(gè)命題出發(fā)，來(lái)推導一下《盜夢(mèng)空間》的各種結局。
故事的情節線(xiàn)條
按多數觀(guān)眾的理解，故事是這樣的。
A：Saito被 Cobb盜夢(mèng)，夢(mèng)有二層。
B：Cobb被通緝，不能回家看孩子.
C：Saito請Cobb植夢(mèng)Fisher，如果Cobb成功，Saito可以幫Cobb回家。（只有在A、B真實(shí)的情況下，C才能成立。）
D：Cobb請幫手幫忙盜夢(mèng)。
E：眾人植夢(mèng)，在飛機上遇到Fisher。
F：夢(mèng)一共有四層，我們記為F1，F2，F3，F4。
G：Cobb最后救出Saito，但無(wú)法確證任務(wù)有否成功。
H：Cobb回到家中。同樣無(wú)法在電影中確證。
所以故事情節線(xiàn)條是：（A、B）→C→D→E→F1→F2→F3→F4→G→H。
無(wú)數種可能的結局解釋
在分析情節時(shí)，一個(gè)基本技巧是如果有一步不確定，情節就會(huì )出現真假兩種情況。遇到這種情況，我們可以有兩種做法：一是用一個(gè)新邏輯換掉以前的邏輯，這樣我們得到另一個(gè)故事。二是將基本假設推翻，同樣會(huì )得到一個(gè)新故事。
許多觀(guān)眾質(zhì)疑為什么F3中Fisher死了掉入F4的夢(mèng)中，而Saito掉入了limbo，一種
理解是植夢(mèng)行動(dòng)沒(méi)有真實(shí)發(fā)生，只是Cobb的一個(gè)夢(mèng)。
如果我們的一個(gè)邏輯是將除了B、H之外的部分，都看成是夢(mèng)，便可以理解這個(gè)故事：Cobb想回家了，在飛回家的路上做了一個(gè)大夢(mèng)，A、B、C、D、E、F、G都只是夢(mèng)中情節。最后他醒了，見(jiàn)到了自己的孩子。
現在讓我們來(lái)考慮另外的一種結局。G是沒(méi)有確證，那么存在著(zhù)另一種可能。如果G中任務(wù)沒(méi)成功，Cobb拯救Saito失敗，則G實(shí)際上是Cobb的一個(gè)夢(mèng)。這樣的話(huà)H不成立，Cobb的回家依然是夢(mèng)。但還有可能，如G中任務(wù)成功了，Saito成功獲救，但是Cobb自己未能逃出夢(mèng)境，還是沒(méi)能成功回家。
一部分觀(guān)眾懷疑Fisher有沒(méi)有真上當，在夢(mèng)中，Fisher似乎相信父親。但我們沒(méi)看見(jiàn)Fihser醒過(guò)來(lái)，也不知道他是否分解了公司。而在F2中Fisher就有所警覺(jué)，知道自己是在夢(mèng)中，想要在夢(mèng)中自殺醒過(guò)來(lái)。于是在F3就有另外一種可能：Fisher沒(méi)有上當，他是為了逃脫假裝出來(lái)的。
轉回到F3中Fisher掉入F4，Saito掉入了limbo，還有一種解釋是F4的夢(mèng)是盜取Cobb想法的一個(gè)圈套，原因是Ariadne想知道Mal究竟是怎么死的。于是又一個(gè)故事的解釋出現了。
實(shí)際上，因為分形的故事邏輯結構，可能存在著(zhù)更多的，甚至數不清的結局。
除結局之外“不可知”
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