積分是數學(xué)模型中最重要的功能之一，特別是對數值仿真而言。例如，偏微分方程組 (PDEs) 就是由積分平衡方程派生而來(lái)。當需要對偏微分方程進(jìn)行數值求解時(shí)，積分也將發(fā)揮非常重要的作用。本篇博客介紹了 COMSOL 軟件中可用的積分方法，以及如何使用，供您參考。
積分的重要性
COMSOL 使用了有限元方法，它將控制 PDE 轉化為積分方程，換言之，就是弱形式。如果仔細觀(guān)察一下 COMSOL 仿真軟件，您可能會(huì )發(fā)現許多邊界條件都是由積分公式表示，例如總熱通量或懸浮電位。積分在后處理中也非常重要，因為 COMSOL 提供了許多基于積分的派生值，比如電能、流速或總熱通量。當然，用戶(hù)還可以根據自己的方法來(lái)使用積分，在本篇博客中，我們將具體介紹如何實(shí)現。
利用派生值求積分
積分的一般形式如下：
其中， [t0,t1] 是時(shí)間間隔、 Ω 是一個(gè)空間域，而 F(u) 則是因變量 u 的任意一個(gè)表達式。 表達式可以包括相對空間與時(shí)間的派生值，或任何其他派生值。
通過(guò)功能區（在非 Windows? 操作系統中則為‘模型開(kāi)發(fā)器’）‘結果’部分的“派生值”，可以最便捷地訪(fǎng)問(wèn)積分選項。
您可以通過(guò)選定對應的數據集來(lái)引用任何可用的解。表達式框為被積函數，并支持因變量或派生變量。在瞬態(tài)仿真中，會(huì )計算每一個(gè)時(shí)間步長(cháng)的空間積分?；蛘?，設定窗口提供了‘數據系列操作’，可在此為時(shí)域選擇積分選項。這將得到空間和時(shí)間的積分。
平均是另一個(gè)與積分相關(guān)的派生值。它等于積分結果除以所考察域的體積、面積或長(cháng)度。平均中的‘數據系列操作’還可以將結果除以時(shí)間范圍。派生值非常有用，但由于它們僅能用于后處理，所以無(wú)法處理所有的積分類(lèi)型；因此 COMSOL 還提供了更加強大和靈活的積分工具。我們將通過(guò)下方的模型示例演示這些方法。
傳熱示例模型中的空間和時(shí)間積分
我們將介紹一個(gè)簡(jiǎn)單的傳熱模型，即 (x, y) 二維平面內的單位正方形鋁。上側和右側固定為室溫 (293.15 K)，左側和下側規定有 5000W/㎡ 的‘廣義流入熱通量’。下圖顯示了 100 s 后的穩態(tài)解和瞬態(tài)解。
利用組件耦合算子求空間積分
舉例來(lái)說(shuō)，當一個(gè)表達式中綜合了幾個(gè)積分，或在計算中需要積分，或需要一組路徑積分時(shí)，就需要組件耦合算子?？梢栽趯M件的定義部分中定義組件耦合算子。在這個(gè)階段，我們尚未計算這些算子，只是確定了它們的名稱(chēng)和對象選擇。
在示例中，我們首先希望計算恒定溫度下的空間積分，這可以通過(guò)以下公式計算：
在 COMSOL 軟件中，我們使用了一個(gè)缺省名稱(chēng)為 intop1 的積分算子。
下一步，我們將演示如何在模型中使用積分算子。例如，我們希望計算將平均溫度相對室溫上升 10 K，即達到 303.15 K，需要施加多少熱能。首先，我們需要計算目標溫度與實(shí)際平均溫度之差。平均溫度可通過(guò)對 T 的積分除以對 1 的積分得到，對常數 1 的積分可以得到域的面積。幸運的是，在 COMSOL 中這類(lèi)計算可以輕松地通過(guò)缺省名稱(chēng)為 aveop1 的平均算子得到。（注意域內的平均與我們的積分示例相同，因為域為單位面積。) 對應的溫差可通過(guò)如下公式計算：
接下來(lái)，我們需要找到左側和下方邊界的‘廣義熱通量’，以便滿(mǎn)足所需的平均溫度。為此，我們增加了一個(gè)名為 q_hot 的額外自由度，以及一個(gè)額外的約束作為全局方程。將‘廣義流入熱通量’替換為 q_hot。
對這個(gè)耦合系統進(jìn)行穩態(tài)求解，得到 qhot =5881.30 W/㎡。要在整個(gè)域中得到 303.15 K 的平均溫度，‘廣義流入熱通量’邊界條件就應為這樣的一個(gè)值。
利用積分耦合計算不定積分
我們的 Support 郵箱經(jīng)常收到這樣一個(gè)問(wèn)題：如何得到空間不定積分？下面這個(gè)積分耦合的應用就將回答這一問(wèn)題。不定積分與積分對應，從幾何上講，它支持計算由函數圖形約束的任意面積。它的一個(gè)重要應用就是計算統計分析中的概率。為演示這一點(diǎn)，我們的示例固定為 y=0，并通過(guò) u(x) 表示不定積分 T(x,0)。這意味著(zhù)：
其中，我們使用
第二步，我們需要一個(gè)積分算子作用在我們示例域的下邊界。我們通過(guò) intop2 來(lái)表示。第三步，我們需要加入積分與輸出變量的區分。這一情況下源項與目標端的符號分別為
COMSOL 提供了兩個(gè)不同的積分耦合算子，名稱(chēng)是廣義投影和線(xiàn)性投影?？赏ㄟ^(guò)它們得到域任意方向的一組路徑積分，即僅針對一個(gè)維度執行積分，結果是一個(gè)維度而非域的函數。在二維示例中，結果是一個(gè)一維函數，可以在任意邊界進(jìn)行計算。在接下來(lái)的一篇有關(guān)組件耦合的博客中，我們將更加詳細地介紹如何使用這些算子。
在附加物理場(chǎng)接口求解空間積分
要最靈活地使用空間積分，可以將它增加到一個(gè)附加的 PDE 接口上。繼續使用不定積分的例子，假設我們并非只希望計算 y=0 的不定積分。這一任務(wù)可以通過(guò) PDE 闡釋?zhuān)?/p>
并在左邊界上指定狄氏邊界條件 u=0 。系數型偏微分方程接口是執行這一方程的最簡(jiǎn)單接口，我們僅需作如下設定：
因變量 u 代表相對于 x 的不定積分，在計算和后處理時(shí)可用。這種方法除了靈活性，還具有準確性的優(yōu)勢，因為積分并非作為派生值獲取，而是作為計算及內部誤差估計的一部分。
利用內建算子求時(shí)間積分
我們之前提到過(guò)‘數據系列操作’可以作為時(shí)間積分使用。通過(guò)分別代表了時(shí)間積分或時(shí)均的內置算子 timeint 和 timeavg 是實(shí)現時(shí)間積分另一項重要方法。它們可用于后處理中，能夠對指定時(shí)間間隔的任何瞬態(tài)表達式執行積分操作。在示例中，我們對 90 s 和 100 s 的平均溫度感興趣，即：
下方的表面圖顯示了得到的積分，它是 (x,y) 中的一個(gè)空間方程。
如何使用內置時(shí)間積分算子 timeavg
類(lèi)似的算子還有用于球面對象的積分，也就是 ballint、circint、diskint 以及 sphint。
利用其它物理場(chǎng)接口實(shí)現的時(shí)間積分
如果模型中要用到時(shí)間積分，您需要將其定義為額外的因變量。與上方顯示的系數型偏微分方程示例類(lèi)似，這可以通過(guò)增加數學(xué)分支的常微分方程接口實(shí)現。例如，假設在每個(gè)時(shí)間步長(cháng)，模型均需要從開(kāi)始時(shí)刻到當前的總熱通量，即需要測量累計能量。COMSOL 會(huì )自動(dòng)計算總熱通量變量，名稱(chēng)為 ht.tfluxMag。積分可以作為帶有分布式常微分方程的附加因變量計算，它是域常微分和微分代數方程 接口的子節點(diǎn)。該域常微分方程的源項為被積函數，如下圖所示。
如何針對時(shí)間積分使用附加的物理場(chǎng)接口
這類(lèi)計算的優(yōu)勢是什么呢？積分可以在另一個(gè)物理場(chǎng)接口重復使用，比如那些可能會(huì )被系統中的累計能量影響的接口。此外，它現在還可用于各類(lèi)后處理，比內建算子更加便捷和高效。例如，檢查多相催化模型中的碳沉積，模型使用域常微分方程來(lái)計算催化劑的孔隙率，并以此作為存在化學(xué)反應時(shí)的瞬態(tài)場(chǎng)變量。
求解析函數及表達式的積分
到目前為止，我們已經(jīng)顯示了如何在計算或后處理中求解變量的積分，但我們尚未涉及到解析函數或表達式的積分。為此，COMSOL 還提供了內置算子 integrate (表達式、積分變量、下邊界，及上邊界)。
表達式可能是任意一維函數，例如 sin(x)；也可能包括附加變量，例如 sin(x*y)。第二個(gè)參數指出了對哪個(gè)變量求積分。例如利用 integrate(sin(x*y),y,0,1) 可以得到一個(gè)有關(guān) x 的函數，因為積分僅會(huì )消除積分變量 y。積分算子也可用于處理解析函數，我們需要在當前組件的定義節點(diǎn)定義解析函數。
擴展閱讀
模型下載
使用積分耦合算子：汽車(chē)消音器
使用時(shí)間積分的全局方程：PID 控制器的過(guò)程控制
使用全局方程來(lái)滿(mǎn)足約束：使用全局方程滿(mǎn)足約束條件
使用時(shí)間積分的域常微分方程組：鋰離子電池的容量衰減 與 多相催化中的碳沉積
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