這個(gè)并不是標題黨。很多年以前，要想進(jìn)入莫斯科國立大學(xué)的數學(xué)系，你必須通過(guò)四項入學(xué)考試；頭兩個(gè)都是數學(xué)考試，一個(gè)筆試，一個(gè)面試。在面試中，學(xué)生和考官都是一對一的，考官可以自由向學(xué)生提出任何他喜歡的問(wèn)題?？脊賯兌紲蕚淞撕芏唷肮撞膯?wèn)題”，這些問(wèn)題的答案非常簡(jiǎn)單，但由于思路太巧妙了，以至于學(xué)生很難想到?？脊俦憧梢砸浴澳氵B這個(gè)都沒(méi)想到”為理由，光明正大地拒絕學(xué)校不想要的人（主要是猶太人）。這個(gè) Blog 之前就曾經(jīng)介紹過(guò)這樣的問(wèn)題。
最近網(wǎng)上的一篇文章介紹了 21 個(gè)這樣的“棺材問(wèn)題”，其中有些這個(gè) Blog 以前講過(guò)的經(jīng)典問(wèn)題，但也有不少我第一次見(jiàn)到的好題。我選取了 11 個(gè)比較有意思的問(wèn)題，在這里和大家分享。
1. 找出所有的函數 F(x): R→R ，使得對于任意兩個(gè)實(shí)數 x1 、 x2 都滿(mǎn)足 F(x1) - F(x2) ≤ (x1 - x2)2 。
答案：不等式可以變?yōu)?(F(x1) - F(x2)) / |x1 - x2| ≤ |x1 - x2| ，于是我們立即可知，對于任意實(shí)數 x2 ，函數在 x2 處的導數都為 0 。因此， F(x) 是常函數。
2. 給定三角形 ABC ，用尺規作圖找出 AB 上的一點(diǎn) K 以及 BC 上的一點(diǎn) M ，使得 AK = KM = MC 。
答案：先在 BC 上任取一個(gè)點(diǎn) M' ，然后用圓規截取 AD = CM' 。過(guò) D 作 AC 的平行線(xiàn)，以 M' 為圓心 M'C 為半徑作圓，與這條平行線(xiàn)交于點(diǎn) K' 。過(guò) K' 作 AB 的平行線(xiàn)。容易看出，此時(shí) A'K' = K'M' = M'C ，并且三角形 A'B'C 與整個(gè)大三角形 ABC 是相似的。如果以 C 為中心將 A'B'C 放大到 ABC ，就可以得到滿(mǎn)足要求的 K 點(diǎn)和 M 點(diǎn)了。因此，我們延長(cháng) CK' ，并把它與 AB 的交點(diǎn)記為點(diǎn) K ，這個(gè)點(diǎn) K 就是要求的點(diǎn)。既然 AK 的長(cháng)度知道了， M 點(diǎn)的位置也就確定了。
3. 解方程 2 · 3√2y - 1 = y3 + 1 。
答案：令 x = (y3 + 1) / 2 ，原式就變成了 y = (x3 + 1) / 2 。如果令函數 f(t) = (t3 + 1) / 2，你會(huì )發(fā)現 x 和 y 同時(shí)滿(mǎn)足 f(x) = y 和 f(y) = x 。然而函數 f(t) 是嚴格單調遞增的，因此 x 一定等于 y 。
于是，方程就變成了 y3 - 2y + 1 = 0 。等式左邊可以變?yōu)?(y3 - y2) + (y2 - y) - (y - 1) ，進(jìn)而分解為 (y - 1)(y2 + y - 1) 。于是得到方程的三個(gè)解： y = 1 和 y = (- 1 ± √5) / 2 。
4. 給定平面上的一個(gè)點(diǎn) M 以及一個(gè)角 XOY 。用尺規作圖確定出一條過(guò) M 的直線(xiàn)，使得它與這個(gè)角的兩邊圍成的三角形周長(cháng)為一個(gè)給定值 p 。
答案：在角的兩邊上分別作出 A 、 B 兩點(diǎn)，使得 AO = BO = p / 2 。過(guò) A 、 B 兩點(diǎn)分別作所在直線(xiàn)的垂線(xiàn)，兩垂線(xiàn)交于點(diǎn) C 。不難看出， AC 和 BC 的長(cháng)度相等。事實(shí)上，如果以 C 為圓心作一個(gè)經(jīng)過(guò) A 、 B 的圓，這個(gè)圓將正好和角 XOY 的兩邊切于 A 、 B 兩點(diǎn)?，F在，過(guò) M 作這個(gè)圓的切線(xiàn)，將切點(diǎn)記為 T 。只需要注意到 PT = PA ，并且 QT = QB ，因此三角形 OPQ 的周長(cháng)就等于 AO + BO ，也就是 p 。
補充一下切線(xiàn)的作法：以 MC 為直徑作圓，與圓 C 交于點(diǎn) T 。于是 ∠CTM 是一個(gè)直角，因而 MT 就是切線(xiàn)。
5. 給定一個(gè)等邊三角形 ABC ，以及三角形內的一個(gè)點(diǎn) O ，滿(mǎn)足 ∠AOC = x ， ∠BOC = y 。如果用線(xiàn)段 AO 、 BO 、 CO 組成一個(gè)三角形，它的各個(gè)內角是多少（用 x 和 y 來(lái)表示）？
答案：將整個(gè)三角形繞著(zhù)點(diǎn) A 順時(shí)針旋轉 60 度，把 B 和 O 的落點(diǎn)分別記作 B' 和 O' 。這樣的話(huà)， ∠AO'B 和 ∠BO'B' 的角度也是 x 和 y ，并且 CO = BO' 。另外，由于 AO 與 AO' 長(cháng)度相等且?jiàn)A角為 60 度，因此三角形 AOO' 是等邊三角形， AO = OO' 。因此，三角形 BOO' 的三邊長(cháng)度實(shí)際上就分別等于 AO 、 BO 、 CO 。根據已知條件很容易算出它的三個(gè)內角度數，他們分別是 x - 60° 、 y - 60° 和 300° - x - y 。
這里有一個(gè)相關(guān)的問(wèn)題。
6. 給定平面上的兩條相交直線(xiàn)。到這兩條直線(xiàn)的距離和等于某個(gè)給定值 p 的所有點(diǎn)將組成一個(gè)什么樣的圖形？
答案：一個(gè)矩形。假設有一個(gè)等腰三角形 ABC ，底邊 BC 上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn) P 。把三角形腰長(cháng)記為 l ，把 P 到兩腰的距離分別記作 PM 和 PN 。線(xiàn)段 AP 將三角形 ABC 分成了左右兩個(gè)小三角形，他們的面積和 (l · PM) / 2 + (l · PN) / 2 = l · (PM + PN) / 2 是一個(gè)定值（即整個(gè)三角形的面積），因此 PM + PN 也是一個(gè)定值。這個(gè)定值就是等腰三角形腰上的高。
兩條相交直線(xiàn)將產(chǎn)生四個(gè)角，每個(gè)角里都有這么一個(gè)“底邊”。這四條“底邊”組成了一個(gè)矩形。
7. 能否在平面上放置六個(gè)點(diǎn)，使得任意兩點(diǎn)之間的距離都是整數，并且任意三點(diǎn)不共線(xiàn)？
答案：可以。我們先專(zhuān)心構造出任意兩點(diǎn)之間的距離都是有理數的點(diǎn)集，再把所有點(diǎn)的坐標都擴大一個(gè)相同的倍數即可。把三邊長(cháng)分別為 3 、 4 、 5 的經(jīng)典直角三角形放在平面直角坐標系上，斜邊放在 x 軸上，斜邊的中點(diǎn)和原點(diǎn)重合。那么，斜邊上的高 CH 一定是有理數，因為由面積法可知它等于 AC · BC / AB 。另外，由于 △AHC 、 △BHC 、 △ABC 都是相似的，他們都是 3 : 4 : 5 的三角形，可知 AH 、 BH 也都是有理數。另外， C 到原點(diǎn) O 的距離也是有理數，因為它是直角三角形斜邊上的中線(xiàn)，它等于斜邊長(cháng)度的一半。
現在，把 C 沿著(zhù) x 軸翻折到 C' ，再把 C 和 C' 分別沿 y 軸翻折到 D 和 D' 。于是 A 、 B 、 C 、 C' 、 D 、 D' 就是滿(mǎn)足要求的六個(gè)點(diǎn)。為了去掉分母，我們需要把他們的坐標都擴大到原來(lái)的 10 倍，于是得到一個(gè)答案：(±25, 0) 以及 (±7, ±24) 。
事實(shí)上，我們有辦法構造出平面上任意多個(gè)點(diǎn)，使得他們兩兩之間距離都為整數，同時(shí)任意三點(diǎn)都不共線(xiàn)。
8. 給出 AB 、 BC 、 CD 、 DA 四條邊的長(cháng)度，以及 AB 和 CD 兩邊中點(diǎn)的連線(xiàn)長(cháng)度，用尺規作圖還原出四邊形 ABCD 來(lái)。
答案：讓我們先來(lái)看一個(gè)簡(jiǎn)單的問(wèn)題：已知三角形其中兩邊的長(cháng)以及第三邊上的中線(xiàn)，如何用尺規作圖還原出這個(gè)三角形來(lái)？我們可以先倍長(cháng)中線(xiàn) AD 到 E ，容易看出 BE 和 AC 平行且相等。我們已經(jīng)知道 AB 、 BE 和 AE 的長(cháng)度（ AE 的長(cháng)度就是兩倍的 AD ），便能確定出三角形 ABE 來(lái)。然后，截取 AE 的一半 AD ，再把 BE 平移到 AC ，就得到要求的三角形 ABC 了。
回到原問(wèn)題。將 AB 的中點(diǎn)記為 E 。把 AD 和 BC 分別平移到 ED' 和 EC' 。于是， CC' 和 DD' 是平行且相等的（他們都平行且等于 AB 的一半），如果把 C'D' 和 CD 的交點(diǎn)記作 F ，那么 △CC'F 和 △DD'F 是全等的， F 既是 CD 的中點(diǎn)，又是 C'D' 的中點(diǎn)。由于我們知道 EC' 、 EF 、 ED' 的長(cháng)度，用剛才的方法我們就能畫(huà)出三角形 EC'D' 了。
現在，把 BC 平移到 AC'' ，容易看出 △EC'D' 和 △AC''D 是全等的，而 CC'' 和 CD 的長(cháng)度是已知的。這樣一來(lái)，問(wèn)題就解決了。把剛才畫(huà)的三角形當作 △AC''D ，再以 C'' 和 D 為圓心分別作圓，找出 C 點(diǎn)的位置。最后把 AC'' 平移到 BC ，我們就作出了四邊形 ABCD 的全部四個(gè)頂點(diǎn)。
9. 給定線(xiàn)段 AB ，再預先給定一條與 AB 平行的直線(xiàn)。只用直尺作圖，將線(xiàn)段 AB 六等分。
答案：在平行線(xiàn)上任取 C 、 D 兩點(diǎn)。我們可以用如下方法找出 CD 的中點(diǎn)：先在平面上取一個(gè)點(diǎn) E ，然后依次作出 F 、 G 、 H 、 I 各點(diǎn)，那么 I 就是 CD 的中點(diǎn)。具體的證明可以參見(jiàn)這里。
現在，對 CD 上的每一個(gè)小線(xiàn)段繼續平分下去，直到把 CD 分為八等分。用下圖的方法把 AB 分為六等分。
10. 給定正方形各邊上的一個(gè)點(diǎn)。用尺規作圖恢復出這個(gè)正方形來(lái)。
答案：假設 A 、 B 、 C 、 D 依次是正方形四條邊上的點(diǎn)。過(guò) B 作 AC 的垂線(xiàn)，截取 BD' = AC 。那么， D' 也在正方形上， D 和 D' 的連線(xiàn)就是正方形的其中一條邊。剩下的事情就簡(jiǎn)單了。
11. 兩條水平線(xiàn)之間有一段嚴格單調遞增的函數。函數上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn) P 。過(guò) P 點(diǎn)作一條豎直線(xiàn)，它與其他已有線(xiàn)條圍成了兩塊陰影面積。當 P 運動(dòng)到什么位置時(shí)，陰影面積之和最??？
答案：當 P 運動(dòng)到兩條水平線(xiàn)正中間（到兩條水平線(xiàn)距離相等）時(shí)，陰影面積之和最小。此時(shí)，如果 P 往右移動(dòng)，將導致下邊面積增加的速度超過(guò)上邊面積減少的速度；如果 P 往左移動(dòng)，將導致上邊面積增加的速度超過(guò)下邊面積減少的速度。因此，這個(gè) P 點(diǎn)就是答案。
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