研究系統的方法有兩種，一種是根據系統的內在關(guān)系，建立系統的數學(xué)模型，并根據系統的參數，分析輸入和輸出的關(guān)系。這種分析系統的方法是常規的數學(xué)模型的方法。例如前面舉得例子，已知RLC電路的連接以及其參數，通過(guò)建立微分方程，可以根據系統的激勵（輸入），得到精確的輸出（響應）。
還有一種研究系統的方法，就是并不知道系統內部的具體結構和參數，當然也無(wú)法建立精確的數學(xué)模型，但是可以利用測量的方法對系統進(jìn)行擬合，對系統參數進(jìn)行估計。比如任何一個(gè)線(xiàn)性系統，我們都可以把其頻域內的模型當做一個(gè)有理多項式分式的形式?？梢酝ㄟ^(guò)測量系統的輸入和輸出，確定系統的參數。這種方法在工程應用中非常普遍。 首先，我們知道，連續線(xiàn)性系統的傳遞函數（沖擊響應的拉普拉斯變換）是關(guān)于s的有理多項式分式的形式。離散線(xiàn)性系統的傳遞函數（單位脈沖響應的z變換）是關(guān)于z的有理多項式分式。這是為什么呢？
這是因為線(xiàn)性系統的沖擊響應總是由指數形式的信號疊加而成的：或是時(shí)間t的指數形式衰減或發(fā)散，或是振蕩且指數衰減或發(fā)散，或是若干振蕩且衰減（或發(fā)散）的信號的疊加：
當然如果是發(fā)散的，也就是e的實(shí)指數ak和bk大于零，那么系統是不穩定的。
如果用歐拉公式來(lái)表示上面的式子，就可以表示為：
注意，上式中Bk和B-k互為共軛。因此，其拉氏變換為：
將其通分后，就會(huì )發(fā)現線(xiàn)性系統的傳遞函數是有理多項式分式：
離散系統的單位脈沖響應的z變換（傳遞函數）亦如此。沖擊響應采樣后就變?yōu)閱挝幻}沖響應：
將其進(jìn)行z變換：
將其通分，可以看出，離散線(xiàn)性系統的傳遞函數是關(guān)于z的有理多項式分式。
其實(shí)，從另外一個(gè)角度看，更簡(jiǎn)單，因為任何一個(gè)線(xiàn)性系統都可以表達為N階微分方程（連續系統），或N階差分方程（離散系統）：
（上式中，x是輸入，y是輸出）根據拉氏變換的特點(diǎn)，一階微分就是一個(gè)因子s，上述微分方程就轉化為：
同樣，任意離散線(xiàn)性系統可以用差分方程描述：
z變換后：
但是前面的推論雖然復雜，但不難發(fā)現拉氏變換和z變換的極點(diǎn)其實(shí)就是系統沖擊響應（單位脈沖響應）的特征。系統的沖擊響應是極點(diǎn)的指數形式線(xiàn)性組合而成：
如果極點(diǎn)是復數，那么必然是成共軛對出現，其系數Ak也是互相共軛的，這樣，共軛的負指數和共軛的系數就構成了衰減的振蕩分量：
同樣道理，對于離散系統：
很多同學(xué)看不出上式是怎么出來(lái)的。注意到：
這實(shí)際是誰(shuí)的z變換？話(huà)都說(shuō)到這兒了，就請同學(xué)們自己思考吧。
知道線(xiàn)性系統是由有理多項式分式組成的，那么如果已知頻域內各個(gè)頻率下的響應，如何擬合該系統呢？如果已知線(xiàn)性系統時(shí)域內的響應，如何擬合該系統呢？前者叫系統的擬合，后者叫Prony算法。所有這些系統的分析方法，實(shí)際上就是一個(gè)參數估計的過(guò)程（或者叫參數辨識）。當然，其實(shí)參數估計和狀態(tài)估計沒(méi)有本質(zhì)的差別，其主要差別在于估計的變量，一個(gè)是狀態(tài)，一個(gè)是參數而已。實(shí)際上，參數估計、回歸分析、狀態(tài)估計等是解冗余方程的問(wèn)題。而最優(yōu)化是解決方程少于未知數個(gè)數的問(wèn)題。實(shí)際上，參數估計、狀態(tài)估計的本質(zhì)也是一個(gè)最優(yōu)化的問(wèn)題。他們都是另類(lèi)的求解方程。
請看下一節：方程組、最優(yōu)化問(wèn)題和參數估計、狀態(tài)估計以及回歸問(wèn)題。
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