| 數學(xué)與哲學(xué)(上) |
| 從1900年到1930年左右，數學(xué)的危機使許多數學(xué)家都卷入到一場(chǎng)大辯論當中。他們看到這次危機涉及數學(xué)的根本，必須對數學(xué)的哲學(xué)基礎加以嚴密的考察。在這場(chǎng)大辯論中，原來(lái)的不明顯的意見(jiàn)分歧擴展成為學(xué)派的爭論，以羅素為代表的邏輯主義，以布勞威爾為代表的直覺(jué)主義，以希爾伯特為代表的形式主義三大學(xué)派應運而生。他們在爭論過(guò)程中盡管言語(yǔ)尖刻，好象勢不兩立，其實(shí)他們各自的觀(guān)點(diǎn)在爭論過(guò)程中都吸收了對立面的看法而有很多變化。 1930年，哥德?tīng)柌煌耆远ɡ淼淖C明暴露了各派的弱點(diǎn)，哲學(xué)的爭論冷淡了下去。此后各派力量沿著(zhù)自己的道路發(fā)展演化。盡管爭論的問(wèn)題遠未解決，但大部分數學(xué)家并不太關(guān)心哲學(xué)問(wèn)題。近年來(lái)數學(xué)哲學(xué)問(wèn)題又激起人們的興趣，因此我們有必要了解一下數學(xué)哲學(xué)的來(lái)龍去脈。 1、邏輯主義 羅素在1903年出版的《數學(xué)的原理》中對于數學(xué)的本性發(fā)表了自己的見(jiàn)解。他說(shuō)：“純粹數學(xué)是所有形如‘p蘊涵q’的所有命題類(lèi)，其中p和q都包含數目相同的一個(gè)或多個(gè)變元的命題，且p和q除了邏輯常項之外，不包含任何常項。所謂邏輯常項是可由下面這些對象定義的概念：蘊涵，一個(gè)項與它所屬類(lèi)的關(guān)系，如此這般的概念，關(guān)系的概念，以及象涉及上述形式一般命題概念的其他概念。除此之外，數學(xué)使用一個(gè)不是它所考慮的命題組成部分的概念，即真假的概念。” 這種看法是羅素自己最早發(fā)表的關(guān)于邏輯主義的論點(diǎn)。這種看法在以前也不同程度被戴德金、弗雷格、皮亞諾、懷特海等人表達過(guò)。戴德金在1872年出版了《連續性及無(wú)理數》一文，在這篇文章中，他把有理數做為已知，進(jìn)而分析連續性這個(gè)概念。為了要徹底解決這個(gè)問(wèn)題，必須考慮有理數乃至自然數產(chǎn)生的問(wèn)題。他認為應該建立在邏輯基礎上，但沒(méi)有實(shí)行。 弗雷格在1884年《算術(shù)基礎》中認為每個(gè)數是一個(gè)獨立的對象。他認為算術(shù)規則是分析判斷，因此是先驗的。根據這點(diǎn)，算術(shù)只是邏輯進(jìn)一步發(fā)展的形式，每個(gè)算術(shù)定理是一個(gè)邏輯規律。把算術(shù)應用到自然現象上的解釋只是對所觀(guān)察到的事實(shí)的邏輯加工，計算就是推理。數字規律無(wú)須實(shí)踐檢驗即可應用于外在世界，而在外在世界、空間總體及其內容物，并沒(méi)有概念、沒(méi)有數。因此，數字規律實(shí)際上不能應用于外在世界，這些規律并不是自然規律。不過(guò)它們可以應用于對外在世界中的事物為真的判斷上，這些判斷即是自然規律。它們反映的不是自然現象之間的關(guān)系，而是關(guān)于自然現象的判斷之間的關(guān)系。 早在羅素發(fā)現悖論之前，他在寫(xiě)作《數學(xué)的原理》時(shí)就企圖把數學(xué)還原為邏輯，由于發(fā)現悖論，這個(gè)計劃遭到了困難。他發(fā)現消除悖論的方法之后，又開(kāi)始具體實(shí)現他的計劃，這就是他和懷特海合著(zhù)的《數學(xué)原理》。 既然羅素、懷特海的《數學(xué)原理》原來(lái)的目的是企圖把數學(xué)建立在邏輯的基礎上，因此，書(shū)一開(kāi)始就提出幾個(gè)不加定義的概念和一些邏輯的公理，由此推出邏輯規則以及數學(xué)定性。 不加定義的概念有基本命題、命題函數、斷言、或、否(非)；這里講的命題是指陳述一件事實(shí)或描述一種關(guān)系的一個(gè)語(yǔ)句，如“張三是人”，“蘋(píng)果是紅的”等等，由這些概念可定義邏輯上最重要的概念“蘊涵”。 要想由邏輯推出數學(xué)，第一步是推出“數”來(lái)，這件事皮亞諾及弗雷格都做了。羅素在消除悖論之后，成功地用“類(lèi)”來(lái)定義1。這個(gè)過(guò)程極為繁瑣費力，一直到《數學(xué)原理》第一卷的363頁(yè)才推出“1”的定義，而第二卷費了很大力氣證明了n×m＝m×n。 在《數學(xué)的原理》及《數學(xué)原理》中，羅素的目標在于證明“數學(xué)和邏輯是全等的”這個(gè)邏輯主義論題，它可以分析為三部分內容： 1、每條數學(xué)真理都能夠表示為完全用邏輯表達或表示的語(yǔ)言。簡(jiǎn)單來(lái)講，即每條數學(xué)真理都能夠表示為真正的邏輯命題。 2、每一條真的邏輯命題如果是一條數學(xué)真理的翻譯，則它就是邏輯真理。 3、每條數學(xué)真理一旦表示為一個(gè)邏輯命題，就可由少數邏輯公理及邏輯規則推導出來(lái)。 這三方面不完全一樣，羅素只是分別在各處用一條或兩條表示過(guò)邏輯主義。由于哥德?tīng)柕牟煌耆ɡ恚?是錯的，但是還可以堅持1和2。 羅素認為邏輯主義的許多主要論點(diǎn)不是來(lái)自他本人，弗雷格就曾明確地表示過(guò)一些邏輯主義的觀(guān)點(diǎn)。但是，邏輯主義觀(guān)點(diǎn)盡管受到批判，羅素本人還一直堅持。在三十年代以后，還是有許多人發(fā)展邏輯主義。 邏輯主義從—開(kāi)始就遭到批評，“因為如果數學(xué)只是一套邏輯演繹系統，那么它怎么可能反映廣泛的自然現象呢？它又怎樣能夠有創(chuàng )造力呢？它又怎樣能夠產(chǎn)生新觀(guān)念呢？”用維特根斯坦的話(huà)說(shuō)，數學(xué)就是同語(yǔ)反復(重言式)，結不出任何新知識。 羅素悖論的出現，使得這一派遭到的攻擊更大。彭加勒挖苦他們“邏輯主義的理論倒不是不毛之地，什么也不長(cháng)，它滋長(cháng)矛盾，這就更加讓人受不了”。羅素—懷特海用了幾年時(shí)間寫(xiě)出了《數學(xué)原理》論證了自己的觀(guān)點(diǎn)，仍不免遭到譏諷。彭加勒挖苦他們費很大力氣去定義1，說(shuō)“這是一個(gè)可欽可佩的定義，它獻給那些從來(lái)不知道1的人”，別人也說(shuō)這一套完全是中世紀的教條。更有人指出這種方法的人為性、煩瑣性。尤其是可化歸公理，顯然是硬加上的，沒(méi)有任何自然之處。盡管如此，邏輯主義總算還能自圓其說(shuō)。 對邏輯主義致命打擊的是哥德?tīng)柕牟煌耆远ɡ?，它證明了從邏輯并不能推出算術(shù)的正確性來(lái)，顯然把數學(xué)全部化歸為邏輯徹底失敗了。但是，羅素等人的歷史功績(jì)是不可磨滅的，他們?yōu)閿祵W(xué)奠定了邏輯基礎。在一段時(shí)期內，《數學(xué)原理》是一部引導數學(xué)邏輯家的經(jīng)典，至今它還有一定的意義。 邏輯主義也不是后繼無(wú)人，英國的拉姆塞、美國的奎因都對邏輯主義作了進(jìn)一步的發(fā)展。 2、直覺(jué)主義 直覺(jué)主義有著(zhù)長(cháng)遠的歷史，它植根于數學(xué)的構造性當中。古代數學(xué)大多是算，只是在歐幾里得幾何學(xué)中邏輯才起一定作用。到了十七世紀解析幾何和微積分發(fā)明之后，計算的傾向大大超過(guò)了邏輯傾向。十七、十八世紀的創(chuàng )造，并不考慮邏輯的嚴格，而只是醉心于計算。 十九世紀初，三個(gè)力量出現了，一個(gè)是解五次代數方程碰釘子，需要考慮存在性定理。一個(gè)是非歐幾何不矛盾，是邏輯而不是直覺(jué)在起作用。一個(gè)是數學(xué)分析不嚴格，產(chǎn)生荒謬的結果。在新的矛盾面前出現一些非構造性結果，也考慮一些無(wú)窮的問(wèn)題。這時(shí)追求嚴密與追求實(shí)用構造兩種傾向都有增長(cháng)，不過(guò)一般數學(xué)家維持著(zhù)微妙的平衡。 到了十九世紀末，集合論的出現激起這兩方面的尖銳斗爭。于是出現極端的構造主義者，象克洛耐克否認無(wú)理數存在，否認連續函數，他認為任何東西部要有構造步驟或判斷準則，但即使他本人的工作也不符合他自己的要求。 法國數學(xué)家彭加勒等人是半直覺(jué)主義者，有人稱(chēng)為法國經(jīng)驗主義者。他們反對實(shí)無(wú)窮，反對實(shí)數集合，反對選擇公理，主要因為他們認為根本不能進(jìn)行無(wú)窮的構造。 現代直覺(jué)主義真正的奠基人是布勞威爾，他于1881年2月27日生于荷蘭奧弗西。1897年進(jìn)入阿姆斯待丹大學(xué)學(xué)習，一直到1904年，他很快掌握了當時(shí)的數學(xué)并且發(fā)表關(guān)于幾何第一個(gè)結果。他多少受曼諾利的影響，關(guān)心當時(shí)的基礎問(wèn)題，在1907年博士論文中闡述自己對數學(xué)基礎問(wèn)題的觀(guān)點(diǎn)。 布勞威爾是從哲學(xué)中得出自己觀(guān)點(diǎn)的，基本的直覺(jué)是按照時(shí)間順序出現的感覺(jué)，而這形成自然數的概念。這倒不是新鮮的，他認為數學(xué)思維是頭腦中的自由構造，與經(jīng)驗世界無(wú)關(guān)，只受基本數學(xué)直覺(jué)為基礎的限制，在這方面他是不同于法國經(jīng)驗主義者的。數學(xué)概念進(jìn)入人腦是先于語(yǔ)言、邏輯和經(jīng)驗的，決定概念的正確性是直覺(jué)，而不是經(jīng)驗及邏輯。這些充分暴露了他唯心主義和神秘主義的思想傾向。 布勞威爾認為數學(xué)直覺(jué)的世界和感覺(jué)的世界是互相對立的，日常的語(yǔ)言屬于感覺(jué)世界，不屬于數學(xué)。數學(xué)獨立于語(yǔ)言存在，而邏輯是從屬于語(yǔ)言的，它不是揭露真理的工具，而是運用語(yǔ)言的手段。正因為如此，數學(xué)中最主要的進(jìn)展不是靠邏輯形式完美化而得到，而是靠基本理論本身的變革。 布勞威爾認為邏輯規律并不對數學(xué)有什么約束作用，數學(xué)是自由的，不一定遵守什么邏輯規則。他認為經(jīng)典邏輯是從有限集合的數學(xué)抽象出來(lái)，沒(méi)有理由運用到無(wú)窮集合。1908年，他反對把排中律運用于無(wú)窮集合上，因為有窮集合可以逐個(gè)檢查，而無(wú)窮集合則辦不到，因此存在不可斷定真假的第三種情況，就是說(shuō)有既不可證明，又非得要證明的命題。 1908年到1913年，布勞威爾主要從事拓撲學(xué)的研究，他運用單形逼近的方法證明了維數的拓撲不變性，這在數學(xué)上是個(gè)了不起的成就，是極重要的拓撲方法。他在李群、幾何等方面也有出色的工作，不過(guò)很快他又轉向基礎研究。 布勞威爾象康德和彭加勒一樣，認為數學(xué)定理是先驗綜合真理。他在1912年的阿姆斯特丹大學(xué)就職演說(shuō)中，他承認由于非歐幾何的發(fā)展，康德的空間學(xué)說(shuō)不可信。但他同弗雷格和羅素相反，仍然堅持康德的觀(guān)點(diǎn)，算術(shù)是從對時(shí)間的直覺(jué)導出的。由于現代數學(xué)是建立在算術(shù)基礎上的，所以整個(gè)數學(xué)也是如此。正是時(shí)間單位的序列產(chǎn)生序數的概念，而連續統[0，1]只是不可用新單位窮盡的居間性，他認為幾何學(xué)也依賴(lài)于這種直覺(jué)。他認為除了可數集合之外，沒(méi)有其他集合，所以ω以上的超窮數都是胡說(shuō)八道，象 0與 1之間所有實(shí)數的集合是毫無(wú)意義的。這點(diǎn)他在1908年羅馬召開(kāi)的國際數學(xué)家大會(huì )上講過(guò)，數學(xué)無(wú)窮集合只有一個(gè)基數，即可數無(wú)窮。 1909年他同希爾伯特通信，指出形式主義和直覺(jué)主義的爭論焦點(diǎn)。1912年說(shuō)到這個(gè)問(wèn)題之后，他一直到1917年才又開(kāi)始這方面的論戰。從這時(shí)起到二十年代末他發(fā)表一系列的文章，開(kāi)始建立一個(gè)不依靠排中律的集合論，接著(zhù)又建立構造的測度論及函數論，這是他從消極的否定轉變?yōu)榉e極的構造。同時(shí)他試圖使數學(xué)家相信排中律導出矛盾。他運用了扇定理，這個(gè)定理及選擇序列、散集等是他的直覺(jué)主義數學(xué)的獨創(chuàng )。 三十年代初期由于哥德?tīng)柕墓ぷ?，許多數學(xué)家開(kāi)始重視直覺(jué)主義。外爾早在1920年左右就表示效忠于直覺(jué)主義，從而激起希爾伯特的極大憤怒。他吸收了直覺(jué)主義一些思想，開(kāi)始用有限主義方法來(lái)完成證明論方案，企圖一勞永逸地解決基礎問(wèn)題，不料沒(méi)能成功，于是還得求助于無(wú)窮。 直覺(jué)主義仍然進(jìn)行他們的事業(yè)，特別是海丁建立直覺(jué)邏輯系統，它包含古典邏輯系統。后來(lái)更有人建立直覺(jué)主義集合論及直覺(jué)主義分析。不過(guò)，仍然不能盡如人意。 1967年，美國數學(xué)家畢肖普出版《構造性分析》一書(shū)，開(kāi)始了構造主義的時(shí)期。他們不象以前直覺(jué)主義者那樣偏激，而是積極采用構造的方法解決一個(gè)個(gè)具體問(wèn)題。不去單純的否定或爭論。畢肖普自信會(huì )取得大多數人的支持，不過(guò)沒(méi)有能實(shí)現，因為他們畢竟成就有限，難于同整個(gè)數學(xué)汪洋大海相比，可是十幾年來(lái)構造主義還是取得一定進(jìn)展，如《構造性泛函分析》等書(shū)問(wèn)世，說(shuō)明它還有一定的市場(chǎng)。 |
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| 3、形式主義 一般認為形式主義的奠基人是希爾伯特，但是希爾伯特自己并不自命為形式主義者。并且，希爾伯特的思想有一個(gè)發(fā)展變化的過(guò)程，我們簡(jiǎn)單地介紹一下。希爾伯特是二十世紀最有影響的數學(xué)家，他不僅是數學(xué)上一些分支的公認權威，而且恐怕也是最后一位在幾乎所有數學(xué)領(lǐng)域中都做出偉大貢獻的全才。更重要的是，他對于數學(xué)基礎問(wèn)題有著(zhù)長(cháng)時(shí)期的持久關(guān)注，他的思想在現代數學(xué)也占有統治地位。 大衛·希爾伯特，1862年1月23日出生在東普魯士的哥尼斯堡。他一直在家鄉上學(xué)，1885年取得博士學(xué)位，1886年就任哥尼斯堡大學(xué)講師。1888年因為解決了不變式理論中著(zhù)名的“哥爾丹問(wèn)題”開(kāi)始在數學(xué)界嶄露頭角，1891年他升任副教授，1893年升任教授。1895年，他應克萊因之邀，任哥丁根大學(xué)教授，由此開(kāi)辟了哥丁根大學(xué)的黃金時(shí)代。他在哥丁根大學(xué)任教至1930年退休，其間培養了各國數學(xué)家，單是他指導的博士論文就有五、六十篇。由于他的影響，哥丁根成為世界數學(xué)的中心，繁盛了三、四十年，一直到希特勒掌權后才迅速地衰落下去。晚年學(xué)生大都離開(kāi)，他于1948年2月14在孤寂中逝世。 希爾伯特前期主要供獻在不變式論方面。1895年左右，他寫(xiě)了代數數論的總結性巨著(zhù)。二十世紀開(kāi)始時(shí)，他的興趣轉向分析及物理學(xué)。從十九世紀末，他對數學(xué)基礎做出重大貢獻。為了方便起見(jiàn)，不妨把他關(guān)于數學(xué)基礎和數理邏輯的主要著(zhù)作開(kāi)列如下： 1899年，《幾何學(xué)基礎》，本書(shū)多次宣印及再版，生前最后一版為第七版(1930年)。正文部分有中釋本。 1900年，實(shí)數的公理化，以及“數學(xué)問(wèn)題” 1904年，在海德堡國際數學(xué)家大會(huì )上的講演—“論邏輯和算術(shù)的基礎” 1917年，公理化思想 1922年，“數學(xué)的新基礎”，以及“數學(xué)的邏輯基礎” 1925年，論無(wú)窮 1927年，數學(xué)基礎 1928年“數學(xué)基礎問(wèn)題”在意大利波洛那國際數學(xué)家大會(huì )上講演；《理論邏輯綱要》(同阿克曼臺著(zhù))，本書(shū)很快成為標準著(zhù)作。1938年第二版，1949年第三版，有中譯本，莫紹接譯《數理邏輯基礎》，1959年第四版，阿克曼做了很大的改動(dòng)。 1930年，“初等數論基礎”“邏輯及對自然的認識” 1931年，“排中律的證明” 1934年，《數學(xué)基礎》Ⅰ；1939年，《數學(xué)基礎》Ⅱ，這兩本書(shū)與貝納斯合著(zhù) 從希爾伯特的著(zhù)作看來(lái)，希爾伯特提出了大部分形式主義觀(guān)點(diǎn)，但他并沒(méi)有把它們絕對化。他的觀(guān)點(diǎn)有些地方同邏輯主義、直覺(jué)主義有著(zhù)共同之處。這反映出某種矛盾，應該說(shuō)這種矛盾是數學(xué)家的哲學(xué)思想上的矛盾。 關(guān)于數學(xué)中的存在，他認為不限于感覺(jué)經(jīng)驗的存在。在物理世界中，他認為沒(méi)有無(wú)窮小、無(wú)窮大和無(wú)窮集合，但是在數學(xué)理論的各個(gè)分支中卻都有無(wú)窮集合，如自然數的集合，一個(gè)線(xiàn)段里所有點(diǎn)的集合等等。這種不是經(jīng)驗能夠直接驗證的對象，他稱(chēng)之為“理想元素”。引進(jìn)理想元素的方法在數學(xué)中其實(shí)由來(lái)已久，比如代數中虛數的引進(jìn)，幾何中無(wú)窮點(diǎn)的引進(jìn)，微積分中無(wú)窮小與無(wú)窮大的引進(jìn)等等。但是理想元素的引進(jìn)必須不把矛盾帶到原來(lái)的較窄狹的領(lǐng)域內。由于理想元素不能靠直觀(guān)經(jīng)驗來(lái)驗證，只能靠邏輯來(lái)驗證，因此合理性的唯一判據就是無(wú)矛盾性。這種無(wú)矛盾性的真理觀(guān)實(shí)際上是形式主義基本論點(diǎn)。 但是希爾伯特并不抱這種極端和絕對的看法，他看到引進(jìn)新元素往往是對于舊元素的一種擴張，所以很自然地要求擴張之后增加的新元素仍能保留舊元素的大部分基本性質(zhì)，就象數的擴張仍能使加法交換律保持成立。當然這樣也就在一定意義下限制了擴張的任意性，這也是因為對于搞研究的數學(xué)家來(lái)講，引進(jìn)新概念是為了需要，而不是“游戲”，所以希爾伯特還認為“需要有相應的成果”，而且這是“至高無(wú)上的裁判”。把這個(gè)標準弄進(jìn)來(lái)，反而使得標準變得模糊不清。 但是在什么情況下，關(guān)于理想元素的命題為真呢？這個(gè)問(wèn)題，希爾伯特不認為每個(gè)個(gè)公式都必須得到驗證，每一個(gè)概念都必須得到解釋?zhuān)缓笸ㄟ^(guò)直觀(guān)驗證。 在1900年的《論數的概念中》，希爾伯特提議用公理化方法來(lái)代替“生成的”方法。在《幾何學(xué)基礎》中，希爾伯特超過(guò)解析幾何選出的算術(shù)模型來(lái)證明他的幾何公理的無(wú)矛盾性。這樣證明的是相對無(wú)矛盾性，也就是把幾何學(xué)的無(wú)矛盾性歸于實(shí)數的算術(shù)公理的無(wú)矛盾性。于是他在1990年國際數學(xué)家大會(huì )上把算術(shù)公理的無(wú)矛盾性列為他那著(zhù)名23個(gè)問(wèn)題中的第二個(gè)。他沒(méi)有指出任何解決這個(gè)問(wèn)題的途徑，而只是強調相對無(wú)矛盾性的證明沒(méi)有問(wèn)題。 不久，羅素悖論變得眾所周知，從而無(wú)矛盾性問(wèn)題變得更加緊迫。于是，希爾伯特在1904年在德國海德堡召開(kāi)的國際數學(xué)家大會(huì )上提出第一個(gè)證明算術(shù)無(wú)矛盾性的打算。事實(shí)上，這是現代這方面研究的原型。他的草案是：要證明某些初等公式具有無(wú)矛盾性，并且推演規則傳遞這個(gè)性質(zhì)。 在這篇題為《論邏輯和算術(shù)的偽基礎》的報告開(kāi)頭，希爾伯特評論對于算術(shù)基礎的不同看法。他認為，克洛耐克是教條主義者，因為他原原本本地接受整數及其所有重要性質(zhì)，他不再深入下去探求整數的基礎。德國科學(xué)家赫姆霍茨是經(jīng)驗主義者，按照他的說(shuō)法，任意大的數不能夠由我們的經(jīng)驗得出，因此是不存在的。另外有一些人，特別是德國數學(xué)家克里斯多弗張反對克洛耐克的觀(guān)點(diǎn)。他們認為，要是沒(méi)有無(wú)理數的概念，整個(gè)數學(xué)分析就勢必要垮掉。于是他們企圖找尋正面的、肯定的性質(zhì)來(lái)確認無(wú)理數的存在。但是，他認為這種觀(guān)點(diǎn)是不徹底的，因此說(shuō)他們是機會(huì )主義的。這幾種觀(guān)點(diǎn)，希爾伯特都表示反對。 希爾伯特認為比較深入的觀(guān)點(diǎn)是下面幾種：一是弗雷格的邏輯主義，他把數學(xué)規則建立在邏輯的基礎上；二是戴德金的先驗主義，他是根據哲學(xué)上的論證來(lái)推斷無(wú)窮的存在，不過(guò)他對數的論述中包含著(zhù)“所有對象的集合”這類(lèi)矛盾了；三是康托爾的主觀(guān)主義觀(guān)點(diǎn)，他清楚地區分“相容集”及“不相容集”。但是他沒(méi)有提供明顯的判據，因此缺乏客觀(guān)的可靠性。 希爾伯特認為所有困難都可以通過(guò)給數的概念建立完全而嚴格的基礎而得到克服，這就是公理化方法。1904年以后，希爾伯特把主要精力放在研究積分方程等分析問(wèn)題以及物理學(xué)公理此等方面，沒(méi)有發(fā)表什么數學(xué)基礎方面的著(zhù)作。這時(shí)，各種流派進(jìn)行的激烈斗爭，也不能不使希爾伯特關(guān)心。尤其是布勞威爾直覺(jué)主義的出現，他感到對于整個(gè)數學(xué)的生存和發(fā)展是個(gè)極大的威脅，于是他開(kāi)始投入戰斗。 從1917年起的二十多年時(shí)間里，他為了挽救古典數學(xué)竭盡全力。1917年他在蘇黎世發(fā)表一篇演說(shuō)，題目是“公理思想”。這篇文章全面敘述了一些與認識論有關(guān)的問(wèn)題，如數論和集合論的無(wú)矛盾性，每個(gè)數學(xué)問(wèn)題的原則上可解性，找出數學(xué)說(shuō)明的單純性，的標準數學(xué)中內容與形式表示的關(guān)系，數學(xué)問(wèn)題通過(guò)有限步驟的可判定性問(wèn)題。這些問(wèn)題預示著(zhù)后來(lái)數理邏輯的發(fā)展。他認為，要想深入研究就必須對數學(xué)證明的概念進(jìn)行深入的研究。既然邏輯推理可以符號化，進(jìn)行數學(xué)的研究，為什么證明不行呢？他提出了證明論的一般思想和目標，但是沒(méi)有具體化。 希爾伯特他第一篇證明論的工作是1922年發(fā)表的，在《數學(xué)的新基礎：第一篇》中，他論述如何把數論用有限方法討論，而數學(xué)本身卻一般須用超窮方法。他指出用符號邏輯方法可以把命題和證明加以形式化，而把這些形式化的公式及證明直接當做研究對象。在1922年在德國自然科學(xué)家協(xié)會(huì )萊比錫會(huì )議上，他做了《數學(xué)的邏輯基礎》的演講，更進(jìn)一步提出了證明方法。要求有限主義，即經(jīng)過(guò)有限步不推出矛盾來(lái)即為證明可靠，這稱(chēng)為希爾伯特計劃。 其實(shí)早先弗雷格已經(jīng)堅持認為需要有明顯的符號系統，明顯的公理及推演規則，明顯的證明。希爾伯特定走的更遠，他提出這樣一種明顯理論本身也做為一種數學(xué)研究的對象，且應用適當的方法來(lái)判定它是否無(wú)矛盾，這種做法一般稱(chēng)為元數學(xué)。 希爾伯特建議兩條最基本的原則：一、形式主義原則：所有符號完全看做沒(méi)有意義的內容，即使將符號、公式或證明的任何有意的意義或可能的解釋也不管，而只是把它們看作純粹的形式對象，研究它們的結構性質(zhì)；二、有限主義原則，即總能在有限機械步驟之內驗證形式理論之內一串公式是否一個(gè)證明。應用數學(xué)方法于這樣一個(gè)形式理論，避免涉及無(wú)窮的推斷，這就排除了康托爾集合論的方法。這個(gè)思想是只應用靠得住的方法，因為要證明數學(xué)或其一部分無(wú)矛盾的方法是大家公認可靠的，整個(gè)數學(xué)才有牢固的基礎。 4、數學(xué)與哲學(xué) 現代的數學(xué)家大都很少關(guān)心哲學(xué)文題，甚至對基礎問(wèn)題一般都不聞不問(wèn)。從二十世紀三十年代之后，數理邏輯成為一門(mén)極為專(zhuān)門(mén)的學(xué)科，象幾何、拓撲、分析、代數、數論一樣，成為專(zhuān)家研究的對象，外行簡(jiǎn)直難于理解。 這樣一來(lái)，數學(xué)家與數學(xué)基礎、數理邏輯，乃至數學(xué)哲學(xué)脫離的越來(lái)越遠，這可以從當代一位有影響的數學(xué)家的說(shuō)法看出來(lái)。布爾巴基學(xué)派主要成員丟東涅談到：“眾所周知，從十九世紀后半葉以來(lái)，數理邏輯和集合論的發(fā)展引起當時(shí)許多數學(xué)家的興趣乃至極大的熱情，他們甚至并非邏輯專(zhuān)家，也毫不遲疑地參與由這些問(wèn)題所引起的論戰。到今天，這種局面完全兩樣。我覺(jué)察不到當代數學(xué)界的年輕的領(lǐng)袖人物對于基礎問(wèn)題表示過(guò)程何興趣，除非他們專(zhuān)搞這一行”。當然，他們也不能說(shuō)沒(méi)有自己的哲學(xué)。拿布爾巴基學(xué)派來(lái)說(shuō)，他們就是形式主義派的極端代表。不過(guò)，他們對哲學(xué)論戰不那么感興趣罷了。 在十九世紀末，這種情況則完全不一樣。哲學(xué)的論戰與基礎問(wèn)題緊密結合在一起，成為幾乎每位重要數學(xué)家的關(guān)注對象。到了二十世紀，更是有著(zhù)所謂三大派──邏輯主義、直覺(jué)主義和形式主義的爭論。不過(guò)這些爭論問(wèn)題并沒(méi)有得到解決，更重要的是，它們似乎離數學(xué)問(wèn)題越來(lái)越遠，因此越來(lái)越失掉了指導意義。 三十年代以后，討論數學(xué)哲學(xué)的不多論著(zhù)大都是數理邏輯專(zhuān)家或哲學(xué)家寫(xiě)的。因此，他們討論的哲學(xué)問(wèn)題大都偏重于數理邏輯，而較少涉及數學(xué)本身的哲學(xué)問(wèn)題。王浩在他的《從數學(xué)到哲學(xué)》—書(shū)中，談到數學(xué)哲學(xué)討論的主要問(wèn)題：1、純粹邏輯的本性及其在人類(lèi)知識中的地位；2、數學(xué)概念的刻劃；3、直覺(jué)及形式化在數學(xué)中的地位；4、邏輯與數學(xué)的關(guān)系；5、數學(xué)的本性及其與下列諸概念的關(guān)系，必然性、分析性、真理性、先驗性、自明性；6、數學(xué)在人類(lèi)知識中的地位；7、數學(xué)活動(dòng)及實(shí)際。 顯然這些問(wèn)題都是數理邏輯專(zhuān)家感興趣的題目。但是在過(guò)去，數學(xué)哲學(xué)的題目比這更廣泛、更一般。我們列舉幾條：1、數學(xué)的對象以及它們與現實(shí)世界(或實(shí)在)的關(guān)系；2、(由此產(chǎn)生的)數學(xué)中的“存在”，乃至無(wú)窮的意義；3、數學(xué)活動(dòng)的本質(zhì)是發(fā)現還是發(fā)明；4、數學(xué)的真理性、絕對性、相對性、約定性；5、真理的判斷標準；6、數學(xué)與邏輯的關(guān)系；7、數學(xué)的方法論，公理化與形式化。 數學(xué)作為人類(lèi)知識體系的一部分，不能不直接或間接和人類(lèi)社會(huì )實(shí)踐活動(dòng)有關(guān)。在長(cháng)期實(shí)踐過(guò)程中，人們進(jìn)行計數、計算、測量、造型(建筑)、產(chǎn)生出算術(shù)、代數、幾何等方面數學(xué)知識。隨著(zhù)人類(lèi)認識的深入，形成了數學(xué)的體系，它的內容主要是符號化、計算方法、概念與規律性、證明推理。 到了十九世紀七十年代，數學(xué)內容進(jìn)一步發(fā)生變化：集合論成為統一數學(xué)的新基礎，數理邏輯的形成、公理化運動(dòng)、數學(xué)結構、抽象數學(xué)概念指數增長(cháng)。在這種情況下數學(xué)內容與其實(shí)際背景脫離越來(lái)超遠，從局部看來(lái)仿佛是從天上掉下來(lái)的，這就導致數學(xué)對象的唯心主義理解。 關(guān)于數學(xué)的對象有三種觀(guān)點(diǎn)：實(shí)在論、觀(guān)念論、形式主義，實(shí)在論觀(guān)點(diǎn)是說(shuō)數學(xué)命題反映我們物理世界最普遍的性質(zhì)。這種觀(guān)點(diǎn)比較古老，很長(cháng)時(shí)期占統治地位。按照這種觀(guān)點(diǎn)，數學(xué)是物理科學(xué)的一部分。 觀(guān)念論的數學(xué)觀(guān)認為數學(xué)的對象是某種精神或思想對象。觀(guān)念論按照對象的性質(zhì)又可以區分為各種觀(guān)點(diǎn)：一個(gè)極端是柏拉圖主義，它把經(jīng)典數學(xué)的對象無(wú)窮擴張也有其現實(shí)性；另一個(gè)極端是直覺(jué)主義，數學(xué)對象是先驗的一時(shí)的直覺(jué)過(guò)程。 這種觀(guān)念論的數學(xué)觀(guān)也遭到批評，一是不確切，二是另有形而上學(xué)的假定，而數學(xué)應該除掉形而上學(xué)前提條件。拿直覺(jué)主義來(lái)講什么是“直覺(jué)”呢？很難講清。不過(guò)，它們有這樣的性質(zhì)：1、它本質(zhì)上是一種思維活動(dòng)；2、它是先驗的；3、它不依賴(lài)于語(yǔ)言；4、它是客觀(guān)的，也就是對于所有思想者都是同樣的。 形式主義的數學(xué)對象是形式系統，形式系統與以上兩種數學(xué)觀(guān)的對象不同，它只是一個(gè)架子，指定一些對象而不管其意義如何，然后由對象按照一定規則組成項，并規定由項組成的一些原始話(huà)題的方式，再指定一些原始命題稱(chēng)為公理及推演規則。數學(xué)的對象就是這樣構成的形式系統，其主要任務(wù)就是由這些對象推出定理來(lái)。從某種意義上來(lái)講，形式主義的數學(xué)就是符號游戲。 從上述幾種觀(guān)點(diǎn)看來(lái)，持實(shí)在論及柏拉圖主義觀(guān)點(diǎn)的人認為數學(xué)是不依賴(lài)于人們對它的認識而存在，因而具有絕對真理的性質(zhì)，所以數學(xué)家的工作就在于發(fā)現這種真理。但是直覺(jué)主義者和形式主義者則認為數學(xué)家的工作在于發(fā)明。當然，人們是不可能憑空發(fā)明任何東西的。對于直覺(jué)主義者來(lái)講，總是承認自然數是給定的，至于別的就是人們從自然數出發(fā)的發(fā)明。 形式主義者的形式系統雖說(shuō)可以任意選出，但是終究在發(fā)明過(guò)程中也仰賴(lài)于經(jīng)驗及過(guò)去的知識，或者說(shuō)是從客觀(guān)世界中歸納出來(lái)的。要不然，那就的的確確是游戲了。 不過(guò)直覺(jué)主義的發(fā)明和形式主義的發(fā)明完全不同。直覺(jué)主義的發(fā)明不是任意的，而是必須能夠具體選出來(lái)，也就是從自然數經(jīng)過(guò)有限多步寫(xiě)出來(lái)。他們主張，要證明一個(gè)數學(xué)對象存在，必須指出這個(gè)對象是怎樣造出來(lái)的。這種觀(guān)點(diǎn)可以遠溯到德國著(zhù)名哲學(xué)家康德，他認為數學(xué)最終的真理性在于數學(xué)概念可以通過(guò)人的智慧來(lái)構造。 由于對數學(xué)對象的觀(guān)點(diǎn)不同，所以對于數學(xué)命題的真假以及數學(xué)的可接受性也有不同的看法。一門(mén)數學(xué)是否被大家接受往往不只是靠真、假，而且還有許多其他因素，特別是是否有直觀(guān)或經(jīng)驗的依據，以及實(shí)用性。當然最重要的是真假，不過(guò)各派的真理觀(guān)距離實(shí)在太遠。 對于實(shí)在論者，數學(xué)命題的真假靠實(shí)踐檢驗。它正如物理學(xué)及生物學(xué)命題一樣，靠觀(guān)察實(shí)驗。比如高斯的確實(shí)實(shí)在在地在地球上找三點(diǎn)，具體測量三角形內角之和是否為180°。對于觀(guān)念論者，數學(xué)命題的真假要靠先驗的假定。 對于形式主義者，數學(xué)命題無(wú)所謂絕對真假，而是相對于某一個(gè)系統，但是這個(gè)系統必須是無(wú)矛盾的，無(wú)矛盾性是真理的判斷標準。 產(chǎn)生最大矛盾之處是關(guān)于無(wú)窮的概念。在有窮的問(wèn)題上，各派的對立沒(méi)有那么尖銳，它主要是數學(xué)中到處出現的無(wú)窮造成的。在古希臘，關(guān)于無(wú)窮可分性沒(méi)連續性的芝諾悖論使數學(xué)家對無(wú)窮特別小心。歐幾里得的無(wú)窮是潛在的無(wú)窮，他不討論無(wú)窮長(cháng)的直線(xiàn)而只討論可以延伸到任意長(cháng)度的線(xiàn)段。他對無(wú)窮觀(guān)念表現在“素數無(wú)窮多”是指任何有限多素數集臺之外還有素數，而不考慮所有素數的無(wú)窮整體。數學(xué)家一直回避這種實(shí)在的無(wú)窮。一直到康托爾集合論之前，他們都局限于潛在的無(wú)窮，這就是超越過(guò)所有有限的變化著(zhù)的有限。 而實(shí)在的無(wú)窮則分為三類(lèi)：1、絕對的實(shí)在無(wú)限，完全獨立的、超越世界而存在的，在神中實(shí)現的絕對的實(shí)無(wú)窮；2、超窮，現存世界或被造世界中具體化的無(wú)窮；3、超窮數，人仍所認識的抽象的實(shí)在的無(wú)窮。 依據對超窮和超窮數的見(jiàn)解，可以區分為下面四種觀(guān)點(diǎn)：1、完全否認超窮和超窮數，如柯西；2、承認具體的實(shí)在無(wú)窮，但否認抽象的實(shí)在無(wú)窮，例如笛卡爾、萊布尼茲、洛克、斯賓諾莎都持這種看法；3、神學(xué)的觀(guān)點(diǎn)，承認抽象的實(shí)在無(wú)窮而否認具體的實(shí)在無(wú)窮，也就是顯示上帝的偉大，只有上帝才是無(wú)窮的，而他所創(chuàng )造的世界只能是有限的；4、康托爾的觀(guān)點(diǎn)是既承認抽象的實(shí)在無(wú)窮，也承認具體的實(shí)在無(wú)窮，康托爾的觀(guān)點(diǎn)中有柏拉圖 主義的成份，他不是形式主義者。 |
| 2006-05-11 轉自《數學(xué)網(wǎng)絡(luò )》 |
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