第九講 細觀(guān)察、找規律
在第一冊第九講中曾經(jīng)介紹了“數列”的概念和表示符號。數列就是按照一定規律排列的一列數。
最簡(jiǎn)單的問(wèn)題是由數列的排列規律寫(xiě)出這個(gè)數列或這個(gè)數列的某些項。
例1 按下列規律，寫(xiě)出數列的前5項
?。?/font>1）質(zhì)數從小到大排列成的數列；
?。?/font>2）自然數中的平方數，從小到大排列成的數列；
?。?/font>3）an＝3n＋1；
?。?/font>4）an＝2n－1；
?。?/font>5）a1＝1，an＋1＝3an＋1。
解：（1）2，3，5，7，11；
?。?/font>2）1，4，9，16，25；
?。?/font>3）a1＝3×1＋l＝4，a2＝3×2＋1＝7，
a3＝3×3＋1＝10，a4＝3×4＋1＝13，
a5＝3×5＋1＝16；
?。?/font>4）a1＝21－1＝1，a2＝22－1＝3，
a3＝23－1＝7，a4＝24－1＝15，
a5＝25－1＝31；
?。?/font>5）a1＝1，a2＝3×1＋1＝4，
a3＝3×4＋1＝13，
a4＝3×13＋1＝40，
a5＝3×40＋1＝121。
和例1相反，如果給出數列的一些項，要求探究它的構造規律，就需要細致觀(guān)察，并進(jìn)行分析。
例2 找出下列各數列的構造規律，并填空。
?。?/font>1）1，3，6，10，15，－－，28；
?。?/font>2）1，8，27，64，－－，216；
?。?/font>3）1，3，7，15，－－，63；
?。?/font>4）1，2，3，5，8，－－，－－，34；
?。?/font>5）2，3，5，7，－－，13。
分析與解：（1）從給出的六個(gè)數本身看，看不出什么共同屬性。如果分析彼此之間的關(guān)系，發(fā)現：
a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，a5－a4＝5。是有規律的，“相鄰兩項的差成等差數列”。照此規律，a6＝a5＋6＝15＋6＝21。
已知a7＝28，a7－a6＝7同樣是適合的。
?。?/font>2）從互相之間的差看不出什么規律。但從各自屬性分析發(fā)現：
a1＝13＝1，a2＝23＝8，a3＝33＝27，a4＝43＝64,
可以猜測a5＝53＝125。規律是：“各項等于它的項數的立方”。
由a6＝216＝63也是符合這個(gè)規律的。
?。?/font>3）從相鄰兩項之差看：
a2－a1＝3－1＝2，a3－a2＝7－3＝4，a4－a3＝15－7＝8，
“相鄰兩項差構成等比數列”
a5－a4＝16，a5＝a4＋16＝31。
已知a6＝63，a6－a5＝63－31＝32。也符合以上規律。
換一個(gè)角度，還發(fā)現如下規律：
a1＝1＝21－1，a2＝3＝22－1，a3＝7＝23＝1，a4＝15＝24－1，照此規律，a5＝25－1＝31，a6＝26－1＝63。
你也許還發(fā)現如下規律：
a2＝2al＋1＝2×1＋1＝3，a3＝2a2＋1＝7，
a4＝2a3＋1＝15，照此規律a5＝2a4＋1＝31，
a6＝63＝2a5＋1。
?。?/font>4）對這個(gè)數列構造規律，需要從更廣的角度觀(guān)察，從相鄰三項的關(guān)系，發(fā)現如下規律：
a3＝a1＋a2，a4＝a2＋a3，a5＝a3＋a4，照此規律。
a6＝a4＋a5＝5＋8＝13，a7＝a5＋a6＝8＋13＝21。
a8＝34＝a6＋a7也符合規律。
?。?/font>5）從各項本身性質(zhì)，不難發(fā)現它們是依次排列的質(zhì)數（從小到大）。a1＝2，a2＝3，a3＝5，a4＝7。照此，a5＝11。
說(shuō)明：觀(guān)察、分析數列構造規律，就要從各項的性質(zhì)，相鄰項（兩項或三項）之間的關(guān)系進(jìn)行歸納。開(kāi)始可能是一種猜測，在猜測基礎上再進(jìn)行檢驗。對于一個(gè)無(wú)限數列如果給的項數是有限的，規律不是唯一的。如數列2，3，5，……。
?、偃绻醋魇琴|(zhì)數從小到大排列，那么a4＝7，a5＝11；
?、谌绻醋魇?/font>a2－a1＝1，a3－a2＝2，a4－a3＝3，那么a4＝8，a5＝12；
?、廴绻醋魇?/font>a1＝2，a2＝3，a3＝a1＝a2，那么a4＝8，a5＝13。
例3 把自然數按以下規律分組：
?。?/font>1），（2，3，4），（5，6，7，8，9），……；
其中第一組1個(gè)數，第二組有3個(gè)數，第三組有5個(gè)數，第四組有7個(gè)數，……．求
?。?/font>1）第11組所有數之和；
?。?/font>2）1993排在第幾組的第幾個(gè)數？
解：不難發(fā)現每組的數的個(gè)數等于它的組序號的2倍減1。就是說(shuō)第k組有（2k－1）個(gè)數。
?。?/font>1）先計算前10組所有數的個(gè)數。
1＋3＋5＋……＋（2×10－1）＝［1＋（2×10－1）］×10÷2＝100。
第11組的第1個(gè)數是101，共有（2×11－1）個(gè)數。最后一個(gè)數是100＋（2×11－1）＝121。
第11組所有數之和是：
101＋102＋……＋121＝（101＋121）×21÷2＝2331。
?。?/font>2）如果1993在第k組，那么1993必須大于前（k－1）組中所有數的個(gè)數，并且不大于前k組中所有數的個(gè)數。
前（k－1）組數的個(gè)數是：
1＋3＋5＋……＋［2（k－1）－1］＝｛1＋［2（k－1）－1］｝×（k－1）÷2＝（k－1）2。
同理前k組數的個(gè)數是k2。
?。?/font>k－1）2＜1993≤k2。
又因為442＝1936，452＝2025，所以1993在第45組。
前44組有1936個(gè)數，就是說(shuō)第44組最后一個(gè)數是1936。
1993－1936＝57。
答：第11組所有數之和是2331，1993排在第45組的第57個(gè)數。
說(shuō)明：通過(guò)觀(guān)察或計算，我們還發(fā)現，每一組的最后一個(gè)數正好等于它所在組數的平方。利用這個(gè)規律解決問(wèn)題就更簡(jiǎn)單了。如求第15組的各數之和：
第15組的第1個(gè)數是142＋1＝197，第15組最后一個(gè)數是152＝225。這組共有29個(gè)數，它們的和是
197＋198＋……＋225＝（197＋225）×29÷2＝6119．
練習
自然數按例3規律分組。求
?。?/font>1）987排在第幾組？
?。?/font>2）第11組和第12組兩組中所有數的和是多少？
?。?/font>3）第80組中的正中間是哪個(gè)數？
例4 觀(guān)察下列各數排列規律：
解：（1）通過(guò)觀(guān)察發(fā)現，在這個(gè)數列中依次排列著(zhù)：分母是2的有1個(gè)數，分母是3的有2個(gè)數，分母是4的有3個(gè)數，……。如果按分母不同分組：
?。?/font>1＋2＋3＋…＋25）＋11＝（1＋25）×25÷2＋11＝336
?。?/font>2）先考慮第100個(gè)位置排在第幾組的第幾個(gè)數。前k組所有數的個(gè)數是：
估值：k＝13時(shí)，S13＝91；k＝14，S14＝105
第100個(gè)數一定排在第14組。
100－91＝9。
第100個(gè)位置的數排在第14組的第9個(gè)數。這組的數的分母是15，這
是哪個(gè)數？
例5 有一個(gè)數列：
1，2，3，5，8，13，……。（從第3個(gè)數起，每個(gè)數恰好等于它前面相鄰兩個(gè)數的和）
?。?/font>1）求第1993個(gè)數被6除余幾？
?。?/font>2）把以上各數依次按下面方法分組
?。?/font>1），（2，3），（5，8，13），……。（第n組含有n個(gè)數）。
問(wèn)第1993組的各數之和被6除余幾？
分析：如果能知道第1993個(gè)數是哪個(gè)數，第1993組有哪些數，問(wèn)題很容易解決?？墒且龅竭@一點(diǎn)不容易。由于我們所研究的是“余數”，如能構造出數列各項被6除，余數構成的數列，問(wèn)題也可以得到解決。
解：根據“如果一個(gè)數等于幾個(gè)數的和，那么這個(gè)數被a除的余數，等于各個(gè)加數被a除的余數的和再被a除的余數”。得到數列各項被6除，余數組成的數列是：
1，2，3，5，2，1，3，4，1，5，0，5，5，4，3，1，4，5，3，2，5，1，0，1，1，2，3，5，……。
觀(guān)察規律，發(fā)現到第25項以后又重復出現前24項。呈現周期性變化規律。一個(gè)周期內排有24個(gè)數。（余數數列的前24項）
?。?/font>1）1993÷24＝83……1。
第1993個(gè)數是第84個(gè)周期的第1個(gè)數。因此被6除是余1。
?。?/font>2）因為分組規律是第n組含有n個(gè)數。前1992組共有S1992個(gè)數，
1985028除以24余12，第1992組最后一個(gè)數除以6，余數是5，第1993組各數被6除余數是：
5，4，3，1，4，5，3，2，5，1，0，1，1，2，3，5，2，1，3，4，1，5，0，5；……（以后各數周期性變化）。
一個(gè)周期內24個(gè)數之和為66，它被6整除。
1993除以24余數為1，因此，第1993組各數之和被6除應該余5。（第1993組的第一個(gè)數被6除所得余數）
練習
在例5數列中，求它的第1993項被3除余幾？被7除余幾？
例6 把自然數依次排成以下數陣：
1，2，4，7，…
3，5，8，…
6，9，…
10，…
…
如果規定橫為行，縱為列。（如8排在第2行第3列）求
?。?/font>1）第10行第5列排的是哪個(gè)數？
?。?/font>2）第5行第10列排的是哪個(gè)數？
?。?/font>3）1993排在第幾行第幾列？
分析：這個(gè)問(wèn)題可以從兩個(gè)方面找規律。（1）第一行是：1，2，4，7，11，……；它們相鄰兩個(gè)數之差是1，2，3，4，5，……。第二行是：3，5，8，12，……；它們相鄰兩數之差是2，3，4，5……。
列也有類(lèi)似的規律。
這樣，第10行第一列的數應是
1＋2＋3＋4＋…＋10＝55。
又因為第10行中，相鄰兩數的差依次是
10，11，12，13，……。所以，第10行第5列的數是
55＋10＋11＋12＋13＝101。
第5行第10列的數是：
?。?/font>1＋2＋3＋4＋5）＋（5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13）＝96
以上是先考慮行，再考慮列，也可以先考慮列，再考慮行。
?。?/font>2）數陣排列規律是：將自然數依次“從右上向左下”成“斜行”往復排列。第一斜行只有1個(gè)數，第2斜行有2個(gè)數，第3斜行有3個(gè)數，……，第n斜行有n個(gè)數。
行、列數與斜行數有以下關(guān)系：
“1”排在第1行、第1列，斜行數為1；
“2”排在第1行、第2列，斜行數為2；
“3”排在第2行、第1列，斜行數為2；
“4”排在第1行、第3列，斜行數為3；
“5”排在第2行、第2列、斜行數為3；
“6”排在第3行、第1列，斜行數為3。
…………
不難發(fā)現，同一斜行中，各數的“行數”與“列數”之和是不變的。并且：
行數＋列數－1＝斜行數。
因為在斜行中，是由上往下排的。一個(gè)數在第幾行，它就是所在斜行中的第幾個(gè)數。
利用以上規律，解決問(wèn)題就更簡(jiǎn)單
解：（1）第10行、第5列的數是排在第10＋5－1＝14斜行的第10個(gè)數：
?。?/font>1＋2＋3＋…＋（10＋5－2）］＋10＝101；
?。?/font>2）［1＋2＋3＋…＋（5＋10－2）］＋5＝96；
?。?/font>3）如果1993排在第k斜行。前（k－1）斜行數的個(gè)數是：
前k斜行數的個(gè)數是：
即k（k－1）＜3986＜（k＋1）·k。
估算：k＝63時(shí)，k（k－1）＝3906，（k＋1）·k＝4032。
3902＜3986≤4032。
所以1993排在第63斜行內。
第62斜行最后一個(gè)數是：
1993－1953＝40。就是說(shuō)1993是第63斜行的第40個(gè)數。也就是排在第40行。
求列數：63＋1－40＝24。（列）
答：第10行第5列是101，第5行第10列是96，1993排在第40行第24列。
練習
自然數排成例6形式數陣。求
?。?/font>1）第7行第8列的數是哪個(gè)數？
?。?/font>2）第8行第7列的數是哪個(gè)數？
?。?/font>3）1949排在第幾行第幾列？
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