第三講 趣味算式（一）
趣味算式是指與數字及其運算有關(guān)的趣味數學(xué)問(wèn)題。這類(lèi)問(wèn)題的題目類(lèi)型多樣，解題方法靈活，有利于提高邏輯思維能力和推理能力，也有利于提高計算能力。解題時(shí)主要運用有關(guān)整數運算方面的知識，所以也有利于鞏固整數運算的有關(guān)性質(zhì)和法則。
解答趣味算式題，首先要熟悉以下的一些基本知識
1．和、差、積、商的位數
?。?/font>1）兩個(gè)n位數的和，最多是n＋1位數，最少是n位數（n是自然數）。如999＋999＝1998，100＋100＝200。
一個(gè)m位數與一個(gè)n位數的和（m＞n，m、n是自然數），最多是m＋1位數，最少是m位數，如999＋99＝1098，1000＋100＝1100。
?。?/font>2）兩個(gè)n位數的差（n是自然數），最多是n位數，如99－10＝89。
一個(gè)m位數與一個(gè)n位數的差（m＞n，m、n是自然數），最多是m位數，最少是一位數，如999－10＝989，1000－999＝1。
?。?/font>3）兩個(gè)n位數的積，最多是2n位數（n是自然數），最少數2n－l位數，如99×99＝9801，10×10＝100。
一個(gè)m位數與一個(gè)n位數的積，最多是m＋n位數，最少是m＋n－1位數（m、n是自然數），如999×99＝98901，100×10＝1000。
?。?/font>4）兩個(gè)n位數的商，當商是自然數時(shí)，它是一位數（n是自然數）。
一個(gè)m位數除以一個(gè)n位數，當商是自然數時(shí)，它最多是m＝n＋1位數，最少是m－n位數（m＞n，m、n是自然數），如9999÷11＝909，1001÷91＝11。
2．乘數與積的個(gè)位數字
如果已知兩個(gè)數相乘積的個(gè)位數字，那么兩個(gè)乘數的個(gè)位數字的可能情況見(jiàn)下表：
如果n個(gè)數的個(gè)位數字都相同，那么它們的積的個(gè)位數字的可能情況見(jiàn)下表：
3．奇偶性
我們知道2，4，6，8，10，12，…這些數是偶數，1，3，5，7，9，11，…這些數是奇數，奇、偶數在運算中有以下一些基本性質(zhì)：
?。?/font>1）n個(gè)偶數的和、差、積還是偶數，如8＋16＝24，38－20＝18，16×4＝64。
?。?/font>2）兩個(gè)奇數的和與差都是偶數，如7＋9＝16，13－7＝6。
?。?/font>3）兩個(gè)奇數的積還是奇數，如7×5＝35。
?。?/font>4）一個(gè)奇數與一個(gè)偶數的和與差都是奇數，如3＋4＝7，12－7＝5。
?。?/font>5）一個(gè)奇數與一個(gè)偶數的積是偶數，如14×3＝42。
下面分類(lèi)介紹趣味算式問(wèn)題，這一講先講“添運算符號”問(wèn)題。
按題目給定的條件和要求，添運算符號或括號，是數字趣題中較簡(jiǎn)單的一類(lèi)問(wèn)題。解這類(lèi)問(wèn)題，沒(méi)有一定的法則，需進(jìn)行試添，試添可以從前往后順推，也可以從后往前倒推，使問(wèn)題逐步由繁到簡(jiǎn)，最終得到解決。
例1 王老師批改作業(yè)時(shí)發(fā)現，李強同學(xué)的一個(gè)計算題的結果正確，但丟掉了括號，于是出現了如下錯誤等式：
9×8＋12÷6－2＝45
請你替李強同學(xué)添上括號，使等式成立。
分析與解：因為沒(méi)有括號的算式，要求先乘除后加減，所以添括號應在含有加、減運算符號的各數中考慮，比如對6－2添括號，計算得4，又因為6前面是除號，所以6前面的算式如果能得180，就可以求得本題的一個(gè)解，而9×（8＋12）正好等于180，于是得到本題的一個(gè)解：
9×（8＋12）÷（6－2）＝45
又因為（8＋12）÷（6－2）＝5，于是又得本題的一個(gè)解：
9×[（8＋12）÷（6－2）]＝45
例2 在下面等式中的□內填上適當的運算符號，也可以添上適當的括號，使等式成立。
9□8□7□6□5□4□3□2□1＝60
分析與解：因為題目給出的數字較多，所以要分段試填運算符號。如將等式左邊分成前四個(gè)數字和后五個(gè)數字這樣兩段，如果5□4□3□2□1中的□都填加號，則得15，那么9□8□7□6□中的□填運算符號后，只要它與15進(jìn)行運算后得60，就能得到題目的一個(gè)解。
因為9＋8－7－6＝4，所以本題的一個(gè)解是
?。?/font>9＋8－7－6）×（5＋4＋3＋2＋l）＝60
又如對前五個(gè)數進(jìn)行試填，因為（9－8＋7－6）×5＝10，而后四個(gè)數4＋3－2＋1＝6，這樣又可以得到題目的一個(gè)解：
?。?/font>9－8＋7－6）×5×（4＋3－2＋1）＝60
本題還有其他解，請同學(xué)們自己找找。
例3 在下列數字間，添上運算符號和括號，使等式成立。
4 4 4 4＝1 ①
4 4 4 4＝2 ②
4 4 4 4＝3 ③
4 4 4 4＝4 ④
4 4 4 4＝5 ⑤
?。ㄌ旖蚴?#8220;我愛(ài)數學(xué)”競賽試題）
分析與解：可以從后往前進(jìn)行倒推，如①中的最后一個(gè)4前面先添一個(gè)“－”號或“÷”號，即
4 4 4－4＝1
于是問(wèn)題轉化為對4 4 4＝5進(jìn)行試添運算符號，顯然4÷4＋ 4＝ 5，于是得到①的一個(gè)解：
4÷4＋4－4＝1
若在最后一個(gè)4前添“÷”號，即
4 4 4÷4＝1
問(wèn)題又轉化為對444＝4進(jìn)行試添運算符號，顯然4＋4－4＝4，于是又得到①的一個(gè)解：
?。?/font>4＋4－4）÷4＝1
如果把四個(gè)4分成前后各兩個(gè)數來(lái)考慮，則又可得下面的解：
?。?/font>4＋4）÷（4＋4）＝1
?。?/font>4×4）÷（4×4）＝1
?。?/font>4÷4）÷（4÷4）＝1
?、?、③、④、⑤也有多種添法，請同學(xué)們自己動(dòng)手試填。
例4 把＋、－、×、÷四個(gè)運算符號，分別填入下面等式的○內，使等式成立。
?。?/font>5○13○7）○（17○9）＝12
分析與解：按運算順序，等式中兩個(gè)括號內的數要先進(jìn)行計算，最后進(jìn)行兩個(gè)括號之間的運算。所以解本題，應先確定兩個(gè)括號之間的符號。在試填過(guò)程中發(fā)現，如果括號之間填“＋”號，其它三個(gè)○內填“－”、“×”、“÷”，則不論怎么填都不能使等式成立；如果在兩個(gè)括號之間用“－”或“×”，也不能使等式成立。
當兩個(gè)括號之間用“÷”時(shí)，因為要求前面括號內計算結果是后面括號內計算結果的12倍，所以后面括號內的○應填“－”號，即17－9＝8；因為5＋13×7＝96，于是本題的解是
?。?/font>5＋13×7）÷（17－9）＝12
例5 在下面的十五個(gè)3之間添上＋、－、×、÷號，使下面的算式成立。
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3＝1993
分析與解：因為本題數字多，也不限制必須每?jì)蓚€(gè)數字間都要添運算符號，所以可將給的數字，先湊出一個(gè)接近1993的數，如3333÷3＋333×3＝2110就是一個(gè)接近1993的數，而且已經(jīng)用了九個(gè)3，剩下六個(gè)3，因為2110－1993＝117，所以只要用剩的六個(gè)3湊出一個(gè)117的數就可以了。因為33×3＝99，（3＋3）×3＝18，99＋18＝117，所以得到本題的一個(gè)解
3333÷3＋333×3－33×3－（3＋3）×3＝1993
本題也可以用另外的方法湊出接近1993的數，如333×3＋333×3＝1998，因為1998－1993＝5，所以只要用剩下的七個(gè)3湊出一個(gè)5即可，實(shí)際上3÷3＋3÷3＋3＋3－3＝5，所以又得到本題的一個(gè)解
333×3＋333×3＋3÷3＋3÷3＋3＋3－3＝1993
例6 在算式1＋2×3＋4×5＋6×7＋8×9＝303的合適位置添上括號（ ），使等式成立。
分析與解：這種題目只能用試驗方法，找到題目的解。因為添括號是為了改變運算順序，所以要把先乘后加，用括號改為先加后乘，另外要考慮括號內應包含哪些數，也就是括號應添在哪個(gè)位置。下面進(jìn)行試算。
括號放在（1＋2×3＋4×5＋6×7＋8）×9＝303處，顯然不行，因為左邊運算結果比303大，另外括號內不論得什么數，也不可能是303除以9的商。
括號放在（1＋2×3＋4×5＋6×7）＋8×9＝303處，顯然等于沒(méi)有添括號。
括號放在（1＋2×3＋4×5＋6）×7＋8×9＝303處試算的結果，等式正好成立，所以本題的解是
?。?/font>1＋2×3＋4×5＋6）×7＋8×9＝303
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