第四講 趣味算式（二）
這一講介紹如何解“填數字”問(wèn)題。這類(lèi)問(wèn)題和添運算符號不同，它已經(jīng)給出運算關(guān)系，而要求填寫(xiě)出數字。解決填數字問(wèn)題，也沒(méi)有一定法則，掌握這類(lèi)問(wèn)題的解法，首先要熟悉第三講提到的整數運算的有關(guān)基本知識，還要掌握一些解題技巧，例如要用到列舉法、篩選法、反證法等。解這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵，是找到解題的突破口。
例1 把1－9這九個(gè)數字，分別填入下面算式的□內，使每個(gè)等式都成立。
□＋□＝□ ①
□－□＝□ ②
□×□＝□ ③
分析與解：因為1－9這九個(gè)數，每取三個(gè)數字試乘的情況，要比試加、試減的情況簡(jiǎn)單，所以應從③式入手試填，試填發(fā)現有兩種情況：2×3＝6與2×4＝8符合題目要求。
因為1－9九個(gè)數中，有四個(gè)偶數和五個(gè)奇數，而兩個(gè)奇數或兩個(gè)偶數的和與差都是偶數，一奇一偶的積、差又都是奇數，這就決定了①、②兩式中，只能含有偶數個(gè)奇數，而③式中又不可能含3個(gè)奇數，所以③式只能是2×3＝6。
第二步，由剩余的六個(gè)數字組成①式，它們的可能情況是，1＋4＝5，1＋8＝9，1＋7＝8，4＋5＝9，經(jīng)試填發(fā)現，在1＋4＝5和1＋8＝9的條件下，無(wú)法組成②式，所以應舍去。
當1＋7＝8時(shí)，②式的組成是9－5＝4或9－4＝5，當4＋5＝9時(shí)，②式的組成是8－1＝7或8－7＝1，所以滿(mǎn)足題目要求的解有
本題的分析、解題過(guò)程說(shuō)明，以③式入手就是找到了突破口，然后列舉可能出現的情況，運用和整數運算有關(guān)的知識，將不符合條件要求的情況篩選掉，可以得到題目的解答。
例2 有一個(gè)算式，式中畫(huà)的“×”表示缺掉的數字，求除數的所有不同的質(zhì)因數的和。（本題是北京市第一屆小學(xué)迎春杯數學(xué)競賽試題）
分析與解法1：為了便于分析，將算式中的部分待定數字用字母代替。
所以商數為989。
第一個(gè)數字只能是9，④式的第一個(gè)數字只能是8，所以b＝1，C＝2；
分析與解法2：本題也可以直接求得除數。
位數字為8。
因為③式的三位數減去④式的三位數得三位數，可以判定8與除數的十位數字相乘沒(méi)有進(jìn)位，所以b＝1，或b＝0，又因為很容易判定d＝9，所以b＝0是不可能的。
通過(guò)試乘，除數取113時(shí)，則113×8＝904，積的首位數字大于8，不符合要求，而除數取111時(shí)，則111×9＝999，不是四位數，也不符合要求，所以除數只能是112。
如果本題要求把所有缺掉的數字都補上，那也不難，因為求得除數和商數后，除法豎式就成為已知。
例3 下列乘法豎式中，不同的漢字表示不同的數字，相同的漢字表示相同的數字，請你用合適的數字代替漢字，使乘法豎式成立。
分析與解：顯然，本題應從先確定“大”與“山”所表示的數字入手。因為被乘數的最高位數字“大”與乘數“山”的積仍然是“山”，所以“大”表示1。
因為被乘數的個(gè)位數字“山”與乘數“山”的積的個(gè)位數字為1，所以只能是“山”表示9。
因為被乘數的百位數字“好”，與乘數9相乘時(shí)沒(méi)有進(jìn)位，“好”又不能再表示1，所以“好”表示0。
因為被乘數的十位數字“河”與乘數9相乘，積的個(gè)位數字是0，而被乘數的個(gè)位數字9與乘數9相乘時(shí)，向十位進(jìn)8，所以“河”表示8。
所以本題的解是
例4 下列加法豎式中，不同的字母代表不同的數字，相同的字母代表相同的數字，請你用合適的數字代替字母，使加法豎式成立。
分析與解：從加數與和的個(gè)位數字入手。
因為Y＋N＋N＝Y，所以N＝5或N＝0，但N＝5時(shí)，加數的十位數字T＋E＋E的和就不可能得T，所以只能是N＝0，同時(shí)判定E＝5。
因為加數的百位數字相加，必須向千位進(jìn)1或2，且千位還必須向萬(wàn)位進(jìn)1，所以表示0＝9，同時(shí)判定I＝1。
因為加數百位數字的和要向千位進(jìn)2，所以它在22至28之間，可判定T＝7或T＝8。若T＝7，則R＝8，X＝3，這時(shí)，只剩數字2、4、6還沒(méi)有取用，它們要代替S、F、Y，但是S只能比F大1，所以出現矛盾，即T不能是7。
當T＝8時(shí)，則R＝6或R＝7，而R＝6時(shí)，X＝3，乃出現矛盾，所以只能取R＝7，這時(shí)，X＝4，所剩數字為2、3、6，取S＝3，F＝2，Y＝6，就全部完成數字代替字母的解題過(guò)程，題目給出的加法豎式是
?。ū绢}是美國數學(xué)月刊上的一個(gè)數字趣題。其中三個(gè)加數與和，正好是英文的四個(gè)數詞40、10、10、60）
下列加法豎式，是一個(gè)和例4類(lèi)似的數字趣題，其中三個(gè)加數與和，也正好是英文的四個(gè)數詞，它們是5、2、1、8，請同學(xué)們自己動(dòng)手解這道題。
例5 下列算式中的O代表奇數，X代表偶數。請你用適當的數字代替O和X，使算式成立。
分析與解：從被乘數、乘數和部分積入手，因為被乘數OX X與乘數個(gè)位數字X相乘，部分積是一個(gè)四位數，并且它的個(gè)位數字是偶數。因為188×8＝1504，其千位數字是1；所以被乘數O××中的百位數字O要大于1；因為用O乘以乘數××的十位數字X得數不大于8，所以被乘數O××中的O只能是3，而乘數××中的十位數字×只能是2。在此條件下可以進(jìn)行試乘，按要求被乘數3××乘以乘數的十位數字2，應該得×O×。從試乘中得知，被乘數3××只能取306，308，326，346，348，而這些數再乘以偶數4或6，都不能得到×O××，而乘以8時(shí)，只有其中的346、348可以得到×O××，但是由于346×28＝9688，不符合最后得積OO××的要求，所以本題只有唯一解
例6 下列的算式中，相同的漢字代表同一個(gè)數字，不同的漢字代表不同的數字，如果它們都成立。
迎迎×春春＝杯迎迎杯 ①
數數×學(xué)學(xué)＝數賽賽數 ②
春春×春春＝迎迎賽賽 ③
那么，迎＋春＋杯＋數＋學(xué)＋賽＝？（1988年北京市迎春杯數學(xué)競賽試題）
分析與解：因為③中的乘數相同，所以試乘過(guò)程中的情況最少，經(jīng)試乘得88×88＝7744，所以，春＝8，迎＝7，賽＝4，再代入①得77×88＝6776，所以，杯＝6。
再分析②，被乘數是“數數”，而乘積的個(gè)位數字也是“數”，這就是說(shuō)，除去8、7、4三個(gè)數，剩余的1、2、3、5、9中，只有5能滿(mǎn)足這個(gè)要求，所以，數＝5；而且“學(xué)”必須是奇數，從1、3、9三個(gè)奇數中試乘結果知，學(xué)＝9，即；55×99＝5445。所以
迎＋春＋杯＋數＋學(xué)＋賽＝7＋8＋6＋5＋9＋4＝39
例7 有人把中國古代趣詞中的名言佳句與“蟲(chóng)食算”結合起來(lái)，制作了一些風(fēng)格優(yōu)異的小品，下面就是其中的一例。
年年×歲歲＝花相似 ①
歲歲÷年年＝人÷不同 ②
上面的兩個(gè)算式中，相同的漢字表示相同的數字，不同的漢字表示不同的數字，試解出這兩道算式。
分析與解：由②得
“歲歲”＜“年年”；而由兩個(gè)相同數字組成的兩位數是11，22，33，…，99，顯然“歲歲”不能是11，因為如果是11，乘積的個(gè)位數應該是“年”，這不符合題目要求。如果“歲歲”是33，因為“歲歲”＜“年年”，“年年”最小也應該是44，但是44×33＝1452，與①中積是三位數矛盾，而55×22＝1210，也與①中積是三位數矛盾，所以“年年”只能是33或44。取“年年”為33，則33×22＝726，仍不符合題目要求（想想為什么？），所以“年年”只能是44，故所求的兩道算式是：
44×22＝968
22÷44＝5÷10
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