第十講 動(dòng)手剪拼圖形
一、剪剪拼拼
圖形的分割與剪拼都需要一定的技巧，下面舉例說(shuō)明某些常用技巧的來(lái)路及依據。
例1 你能想出幾種方法，將任意一個(gè)三角形分成面積相等的六個(gè)三角形？
分析：把一個(gè)三角形分成面積相等的六個(gè)三角形，根據等底等高的三角形面積相等這一結論。只要把原三角形分成六個(gè)等底等高的小三角形即可。為此，只要把三角形的任一邊六等分，再將分點(diǎn)與這邊相對的頂點(diǎn)用線(xiàn)段連接起來(lái)，問(wèn)題就解決了。
另外，6=1×6=3×2=2×3。如果我們把分得的每一個(gè)小三角形的面積看成“1”，那么1×6就可看成把原三角形的面積直接六等分，而3×2可看成先把原三角形的面積二等分，再把其中的每一份分成面積相等的三個(gè)小三角形。同理，2×3可看成先把原三角形分成三個(gè)面積相等的三角形，再把其中的每一個(gè)三角形又分成兩個(gè)面積相等的小三角形。
除了上面的幾種分法外，還可以這樣想，因為6=1+5=2+4=3+3。所以對
余下的三角形分成五個(gè)面積相等的小三角形。對6=2+4而言，可先從原三角形
分出的三角形和剩下的三角形分別分成2個(gè)和4個(gè)面積相等的小三角形，對6=3+3可采用與上面類(lèi)似的方法進(jìn)行分割。
解法1 將三角形的任一邊六等分，再將分點(diǎn)與這邊相對的頂點(diǎn)用線(xiàn)段連接起來(lái)，見(jiàn)圖10-1。
解法2 以面積而言，先將原三角形二等分再三等分，或先將原三角形三等分再二等分。分法見(jiàn)圖10-2。
解法3 先將原三角形分成兩個(gè)三角形，使它們面積比為1∶5或2∶4或3∶3。再將面積為“5”、“2”、“4”、“3”的那個(gè)三角形分成5個(gè)或2個(gè)或4個(gè)或3個(gè)面積相等的小三角形，分法見(jiàn)圖10-3。
圖10-1至圖10-3中，在同一三角形中，標有相同符號的線(xiàn)段彼此相等。還有別的分法，請讀者自己給出。
例2把圖10-4兩個(gè)圖形中的某一個(gè)，分成三塊，最后都拼在一起，正好拼成一個(gè)正方形，應怎么分與拼？
分析與解：不管將圖10-4中的哪一個(gè)圖形如何分成三塊，最后拼得的正方形面積總等于圖10-4中兩個(gè)圖形面積之和。
圖10-4中長(cháng)方形的面積為：100×50=5000（平方厘米）。另一個(gè)圖形的面積為：100×70-40×（70-20）=5000（平方厘米）。這兩個(gè)圖形的面積和為10000（平方厘米）。因此，拼得的正方形的面積也是10000平方厘米，其邊長(cháng)為100厘米。而圖10-4中的兩個(gè)圖形，都正好有一邊長(cháng)100厘米。為了方便，可以用它們做正方形的一條邊，這樣就有了下面的一些剪法。
第一種，將圖10-4中不規則的那塊圖形，按圖10-5中虛線(xiàn)所示分成三塊，拼得的正方形見(jiàn)圖10-6。
第二種，將圖10-4中的長(cháng)方形圖形，按圖10-7中虛線(xiàn)所示分成三塊，拼得的正方形見(jiàn)圖10-8。
例3 有一塊長(cháng)24米、寬15米的長(cháng)方形地毯，現在要把它移到長(cháng)20米、寬18米的新房間里去。問(wèn)是否可以找到一種剪裁法，把長(cháng)方形地毯分成形狀與面積都一樣的兩塊，拼合后正好能鋪滿(mǎn)新房間的地面？
分析與解：地毯的面積為24×15=360（平方米），新房間地面面積為18×20=360（平方米），兩者面積相等，但長(cháng)、寬不等。因為24比20多4，18比15多3。所以可先把地毯分成30個(gè)4×3（平方米）的長(cháng)方形，具體分法見(jiàn)圖10-9。把圖10-9中最右邊一列的五個(gè)小長(cháng)方形，移到下邊去，補成圖10-10所示的形狀，圖10-10所示的地毯正好能鋪滿(mǎn)新房間的地面。
現在討論如何將圖10—9所示圖形，分成面積和形狀都相同的兩塊，然后拼成圖10—10所示的長(cháng)方形。
先考慮面積。將圖10—9分成面積相等的兩塊，每塊的面積為180平方米，也就是15個(gè)4×3（平方米）的小長(cháng)方形。再考慮形狀。將15個(gè)大小一樣的長(cháng)方形，象砌墻似的就可擺成圖10—11所示的形狀，然后適當移動(dòng)上面四層小長(cháng)方形的位置，便可得圖10—12所示的階梯狀圖形，兩個(gè)圖10—42那樣的階梯狀圖形，上下“咬”在一起，就能拼成圖10—10所示的長(cháng)方形。這就啟發(fā)我們得到下面的剪拼方法。
按圖10—13中粗實(shí)線(xiàn)，把地毯分成形狀與面積都一樣的兩塊，然后上下一移、左右一錯便能拼成圖10—14中所示的長(cháng)方形，它正好能鋪滿(mǎn)新房間的地面。
例4 圖10—15中有兩個(gè)大小一樣的正方形，現在要把每一個(gè)正方形都分成兩塊，并要求被分得的四塊的形狀和大小都相同，且每一塊中都有A、B、C、D四個(gè)字母，問(wèn)應怎么分？
分析與解：先將圖10—15中（a）、（b）兩個(gè)圖形疊合在一起，為了便于區別，將圖（a）中的字母A、B、C、D改寫(xiě)為a、b、C、d，圖（b）中的字母不變，得圖10—16。因為要求分成四塊后，每塊中只能有A、B、C、D四個(gè)字母，所以相同字母必須分開(kāi)。因此，可在兩個(gè)A、B、C、a、b、c之間畫(huà)上粗實(shí)線(xiàn)，表示把它倆分開(kāi)，見(jiàn)圖10—16。如果把一個(gè)正方形分成了符合要求的兩個(gè)圖形，把這個(gè)圖形繞正方形的中心旋轉90°、180°后所得出的圖形仍符合要求，現將圖10—16繞正方形中心按逆時(shí)針?lè )较蛐D180°，得圖10—17。原在圖10—16的粗實(shí)線(xiàn)在圖10—17中的位置用虛線(xiàn)表示。
圖10—15中每個(gè)正方形都有36個(gè)小方格，其一半應是18個(gè)小方格?，F在把圖10—16中的粗實(shí)線(xiàn)與圖10—17中的虛線(xiàn)都在圖10—15（b）中用粗實(shí)線(xiàn)標出，得圖10—18。在圖10—18中，再將圖10—15（a）中的字母A、B、C、D在相應位置標出，得圖10—19。在圖10—19中，同時(shí)考慮A、B、C、D和a、b、c、d，又可在圖10—19的某些字母之間添粗實(shí)線(xiàn)。從圖10—19中去掉a、b、c、d，得圖10—20?？紤]所分得圖形的連通性和A、B、C、D四個(gè)字母必同在一塊內，又可以在圖10—20上添上一些粗實(shí)線(xiàn)。這時(shí)每一塊中都各有四個(gè)不同的字母A、B、C、D，但是一個(gè)圖形中只有17個(gè)小方格，另一個(gè)圖形卻有19個(gè)小方格，這不符合要求。為此將圖10—20左起第一行中從上到下的第二個(gè)B旁邊的粗實(shí)線(xiàn)略加改變，得圖10—21。圖10—21中的粗實(shí)線(xiàn)正好將正方形分成了符合題目要求的兩塊。
按圖10—21和圖10—22中的粗實(shí)線(xiàn)，正好將圖10—15（a）、（b）中的兩個(gè)正方形，分成了形狀和大小都相同，且每塊都有A、B、C、D四個(gè)字母的四小塊。
例5 圖10—23是邊長(cháng)分別為1、4、8個(gè)長(cháng)度單位的三個(gè)正方形疊在一起組成的一個(gè)不規則圖形，問(wèn)最少分成幾塊后拼在一起，正好是一個(gè)正方形（分時(shí)按圖中已有格子線(xiàn)分）？
分析與解：因為12+42+82=81=92，所以不論分成幾塊，拼成的正方形的邊長(cháng)是9個(gè)長(cháng)度單位。
先不考慮最少分成幾塊，只考慮怎么分后能拼成一個(gè)正方形。很容易看出。將圖10—23按圖中粗實(shí)線(xiàn)分成五塊，便能拼成圖10—24中邊長(cháng)為9的正方形?，F在問(wèn)題是。塊數能否比5少。
從圖10—24可以看出，邊長(cháng)為9個(gè)長(cháng)度單位的正方形，可在邊長(cháng)為8個(gè)長(cháng)度單位的兩邊鑲條邊得到。圖10—24下邊那一條如果由兩塊變成一塊，總塊數便能減少一塊。為此可先從圖10—25的最右邊按粗實(shí)線(xiàn)所示那樣剪下一條，拼成圖10—26的形狀。圖10—26的左、下兩邊長(cháng)度都是9個(gè)長(cháng)度單位，但上、右兩邊不符合要求?？蓪D10—26右上角那一部分，接圖10—26中的粗實(shí)線(xiàn)分開(kāi)，然后錯開(kāi)往下對在剩下大塊的右邊，便可拼成邊長(cháng)為9個(gè)長(cháng)度單位的正方形。塊數減少為3塊。這樣，按圖10—27中的粗實(shí)線(xiàn)將圖10—23分成3塊，便能拼成圖10—28那樣一個(gè)邊長(cháng)為9個(gè)長(cháng)度單位的正方形。經(jīng)試驗，三塊是最少的塊數。
二、動(dòng)手試一試
有些幾何問(wèn)題，只要親自動(dòng)手畫(huà)畫(huà)圖，從圖中便能看出所需結果?，F舉幾例加以說(shuō)明。
例6 有A、B、C、D、E五個(gè)點(diǎn)，排在一條直線(xiàn)上。已知D點(diǎn)在A(yíng)點(diǎn)右邊5厘米的地方，C點(diǎn)在E點(diǎn)右邊6厘米的地方，B點(diǎn)在E點(diǎn)左邊6厘米的地方，B點(diǎn)在A(yíng)點(diǎn)左邊5厘米的地方，求線(xiàn)段BD與線(xiàn)段AE、DC和的差是幾厘米？
分析與解：按題目中的已知條件，將A、B、C.D、E五個(gè)點(diǎn)在直線(xiàn)上標出，具體標法見(jiàn)圖10—29。
從圖10—29中可以看出：
線(xiàn)段BD的長(cháng)度為：5+5=10（厘米），
線(xiàn)段AE的長(cháng)度為：6-5=1（厘米），
線(xiàn)段CD的長(cháng)度為：6+6-5-5=2（厘米），
所求之差為：10-（1+2）=7（厘米）。
例7 小京開(kāi)始站在旗桿正東方10米遠的地方，然后他面向正北方向前進(jìn)12米后，左轉彎90°向正西方向前進(jìn)15米，再左轉彎90°向正南方向前進(jìn)15米，再左轉彎90°向正東方向前進(jìn)9米，問(wèn)此時(shí)小京離旗桿多少米？
分析與解：按畫(huà)地圖的方法，先確定方位，上北下南，左西右東。先隨便點(diǎn)一點(diǎn)O表示旗桿的位置，根據題意畫(huà)得圖10—30，只要能求出線(xiàn)段OE的長(cháng)度，就能知道小京最后離旗桿多少米。
在圖10—30，過(guò)E點(diǎn)作OA的垂線(xiàn)，交OA于F點(diǎn)，下面求EF、OF的長(cháng)度。
EF的長(cháng)度為：15—12=3（米），
OF的長(cháng)度為：9+10-15=4（米）。
因為EF垂直于OF，所以三角形OEF為直角三角形，在這個(gè)直角三角形中，一條直角邊長(cháng)3米，另一條直角邊長(cháng)4米，根據勾三股四弦五這一結論，便可知道斜邊OE為5米，這樣便知小京最后離旗桿的距離是5米。
習題十
1.把下圖分成8個(gè)形狀相同、面積相等的圖形，應怎么分？
2.把右上圖分成形狀相同、面積相等的四份，應怎么分（至少給出五種不同的分法，即每種分法所分得的圖形都是不同的圖形）？
3.如下圖的一塊長(cháng)方形地毯，中間小矩形部分已經(jīng)損壞（圖中用陰影部分表示），現把損壞部分裁去后，將剩下部分分成形狀和面積都一樣的兩塊，且這兩塊放在一起正好可以折成一個(gè)正方米，請問(wèn)應怎么剪裁和拼合？
4.將圖中的正方形分成形狀和大小都一樣的四塊，并且每一塊恰好都有1、2、3、4四個(gè)數字，應怎么分？
5.將圖形分成形狀相同、面積相等的兩塊，應怎么分？
6.如圖，是一個(gè)直角梯形，請在它內部畫(huà)一條直線(xiàn)段，把梯形分成形狀相同、面積相等的兩部分。（單位：厘米）
7.有邊長(cháng)為2厘米的正方形兩個(gè)，邊長(cháng)為1厘米的正方形4個(gè)，現將它們適當擺放（擺放時(shí)不許重疊，不許斷開(kāi)），使擺放后所得圖形的周長(cháng)分別為14厘米、16厘米、18厘米、20厘米、22厘米，各應怎么擺放（畫(huà)出各自的示意圖來(lái)）？
8.小阿毛一開(kāi)始站在操場(chǎng)的正中間，然后他向正北方向前進(jìn)5米，接著(zhù)左轉彎90°向正西方向前進(jìn)8米，再左轉彎90°向正南方向前進(jìn)10米，再左轉彎90°向正東方向前進(jìn)12米，再右轉彎90°又向正南方向前進(jìn)4米，再左轉彎90°向正東方向前進(jìn)5米，再左轉彎90°向正北方向前進(jìn)9米，問(wèn)這時(shí)小阿毛離操場(chǎng)正中間多少米？
9.用四塊同樣大小的等腰直角三角板，你能分別拼出一個(gè)三角形、一個(gè)正方形、一個(gè)長(cháng)方形、一個(gè)梯形、一個(gè)平行四邊形五種不同的圖形嗎？能的話(huà)，請畫(huà)出示意圖來(lái)。
10.十盒花如何擺放，才能保證十條線(xiàn)段中的每一條線(xiàn)段上都正好有三盒花（畫(huà)出擺放的示意圖來(lái)）？
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