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　最近看一作者文中涉及“準變量思維”，覺(jué)得較有意思，在交流中也多次和作者交流了“準變量思維”，相信其過(guò)程對大家有些幫助。

現將部分交流內容整理如下：

1.涉及“準變量思維”的文章。

在算術(shù)思維中，運算式的作用是一種思考的記錄，是直接聯(lián)結題目與答案的橋梁；而在代數思維中，運算式的功用，不再只是直接聯(lián)結問(wèn)題與答案之間的過(guò)程記錄，也充當一個(gè)問(wèn)題轉譯的角色。介于小學(xué)算術(shù)程序思維與中學(xué)代數關(guān)系思維之間的是“準變量思維”，它的核心是充分利用算術(shù)中所隱含的代數關(guān)系與結構，對算術(shù)及其問(wèn)題進(jìn)行“代數的思考”。準變量思維作為算術(shù)程序思維的“最近發(fā)展區”，為學(xué)生的數學(xué)思維從算術(shù)思維發(fā)展到代數思維起到橋梁和紐帶的作用。因此，教學(xué)中要為學(xué)生提供“準變量思維”的素材，將數學(xué)知識進(jìn)行有機的拓展和延伸，從而實(shí)現兩者之間的有效銜接。

例如：在學(xué)習“圓柱體表面積的計算”一課時(shí)，教師引導學(xué)生探究圓柱體表面積，概括出圓柱體表面積計算公式：表面積=側面積+兩個(gè)底面積的“三步計算法”。這時(shí)有的學(xué)生認為這種計算方法比較煩瑣。“有沒(méi)有更巧妙的方法？”難道底面、側面展開(kāi)是“圓”與“長(cháng)方形”就一定要依次計算嗎？圍繞這個(gè)問(wèn)題，教師組織如下的教學(xué)活動(dòng)：

師：前面我們學(xué)習了“圓柱體表面積的計算”，我們一般是怎樣計算它的表面積呢？

生：我們推導出圓柱體表面積的“三步計算”方法，即依次計算底面積、側面積，用側面積加兩個(gè)底面積得出表面積。

師：比如這樣一題：一個(gè)圓柱體的高是15厘米，底面半徑是5厘米，它的表面積是多少？

學(xué)：側面積：2×3.14×5×15=471(平方厘米)

底面積：3.14×25=78.5（平方厘米）

表面積：471+78.5×2=628（平方厘米）

邏輯推導新公式

師：如果我們把剛才的分步列式寫(xiě)成綜合算式，你會(huì )嗎？

生：2×3.14×5×15+3.14×25×2

師：怎樣計算簡(jiǎn)便呢？運用乘法分配律，你該怎樣化簡(jiǎn)呢？

生：2×3.14×5×15+3.14×25×2

   =2×3.14×5×（15+5）

   =31.4×20

   =628（平方厘米）

師：你發(fā)現圓柱體表面積的巧妙算法是什么呢？

生：圓柱表面積=底面周長(cháng)×（高+半徑）

再讓學(xué)生操作驗證，應用拓展。

教師利用學(xué)生提出的問(wèn)題，引導學(xué)生積極探究，得出圓柱體表面積=底面周長(cháng)×（高+半徑）。其思考過(guò)程就是以“準變量思維”為中介，運用代數思維的思考方法，通過(guò)關(guān)系的符號化及其運算，并對運算結構性的、一般性的、形式化的轉換，發(fā)現了圓柱體表面積的巧妙解法，從而使學(xué)生代數思維的訓練落到實(shí)處。

遠山：可能還要麻煩您辛苦一下。我琢磨了很久，但是還沒(méi)有體會(huì )到您的“準變量思維”是什么，另外從案例本身似乎也看不出變量思維，可否明示？還有一點(diǎn)，這個(gè)案例“有沒(méi)有更巧妙的方法”以及認為得出的方法更巧妙等恐怕也經(jīng)不起推敲。一則教師引導學(xué)生得出的方法充其量是“另解”而非“巧解“。二則教師苦費周折引導學(xué)生得出的方法其普適性和靈活性都不及開(kāi)始的方法。請您再琢磨一下，盡快發(fā)給我。

作者：文章已經(jīng)修改。

1. 什么是準變量思維？我付上一篇文章，您看看。

2. 關(guān)于案例。我是根據發(fā)表在教育時(shí)報上的一個(gè)案例“巧用學(xué)生提問(wèn)開(kāi)發(fā)課程資源”寫(xiě)成的。結合自己學(xué)習的有關(guān)準變量思維對案例進(jìn)行解讀。

3.案例來(lái)源：http://www.shuren100.com/jiaoyushibao/kegaidaokan/ketang/143246.shtml。

昨晚對您提出的另解與巧解的看法進(jìn)行了思考。我是這樣想的：這個(gè)案例的意義就在于教師在教學(xué)中要善于利用學(xué)生提出的問(wèn)題資源或者課堂生成的資源，通過(guò)準變量思維，降低學(xué)生學(xué)習代數的門(mén)檻。因為準變量思維是算術(shù)思維與代數思維間的中介，教師在自己的教學(xué)中也要“代數的眼睛和耳朵”和適時(shí)滲透代數思維的意識。在這個(gè)案例中新解的提出是基于三步計算的基礎上，運用準變量思維進(jìn)行變式，得出的新公式，所以絕對不是另解。其二它的巧或者更準確地說(shuō)是更簡(jiǎn)便體現在比減少了計算的步聚，得出了一個(gè)新公式圓柱表面積=底面周長(cháng)×（高+半徑）。這是基于原來(lái)計算基礎上得到的新公式所以它同樣具有普適性。這個(gè)案例引發(fā)教師們對準變量思維的認識和思考。

遠山：看了您的留言，文章還沒(méi)時(shí)間細看。但從您的留言看，恐怕改過(guò)來(lái)的效果不太理想?，F回復幾點(diǎn)，其他的等看了文章再具體細說(shuō)：1.你還是沒(méi)有解釋清楚“準變量思維”。雖然您多次提到體現了“準變量思維”，但具體是準變量思維您指的是什么、如何體現的，尚不明確，至少從文章中沒(méi)看出實(shí)質(zhì)性的東西。2. “其二它的巧或者更準確地說(shuō)是更簡(jiǎn)便體現在比減少了計算的步聚，得出了一個(gè)新公式圓柱表面積=底面周長(cháng)×（高+半徑）。”什么是簡(jiǎn)算？是不是指寫(xiě)的式子比較短？還是體現在思維層面上或計算層面上？3.圓柱表面積=底面周長(cháng)×（高+半徑）很難說(shuō)是“兩步”。求底面周長(cháng)是不是一步？半徑加高是不是一步？底面乘“和”是不是一步？一共幾步？4.您能說(shuō)服自己并使自己相信，求底面積是“一步”，求底面周長(cháng)就不是“一步”？底面加側面積是“一步”，半徑加高就不是“一步”，或者周長(cháng)乘“和”就不是“一步”嗎？如果說(shuō)服不了自己，則您的兩步、三步之“巧”，恐怕很難另人信服。5.關(guān)于您的“準變量思維”實(shí)質(zhì)是什么？是“算術(shù)思維與代數思維間的中介”的，這樣的說(shuō)法恐怕很難是“實(shí)質(zhì)”。其實(shí)，我們引進(jìn)新的名詞時(shí)一定要有自己的理解和通俗的表達。到目前不知您的“準變量思維”是什么。但從您的“中介”二字，我覺(jué)得應該是這樣理解的。算術(shù)思維是就具體的數進(jìn)行計算，代數思維是量的計算，是關(guān)于關(guān)系結構或者模式的處理。準變量思維就是把“數”當“式”計算，就是不先不考慮具體的“結果”，而提取或變換關(guān)系，結構。[“得出的新公式，所以絕對不是另解”，這話(huà)很費解。為什么新的公式就不是另解？“另解”在作者看來(lái)是怎樣的？]

作者：同意以上看法。關(guān)于幾步之說(shuō)在文章里并沒(méi)有這方面的敘述。關(guān)于幾步之說(shuō)顯然我數錯了。

遠山：其實(shí)，我覺(jué)得您可以到教學(xué)中去實(shí)驗一下，按文章中苦心得出來(lái)的方法，似乎并不會(huì )給學(xué)生帶來(lái)多少“實(shí)惠”，采用那種方法的學(xué)生比較少?；蛘呖梢哉f(shuō)那種方法只有在某些情況下才比普通的方法更實(shí)用，而多數時(shí)候并不如原來(lái)被“加工”的那種方法，如此則教師苦心何來(lái)？

作者：這個(gè)案例我是在教育時(shí)報上看到的。網(wǎng)絡(luò )上流傳較廣。沒(méi)在實(shí)踐中檢驗。

插作者的修改稿：

準變量思維是介于算術(shù)思維和代數思維之間的一種數學(xué)思維形式，它的核心是充分利用算術(shù)中所隱含的代數關(guān)系與結構，對算術(shù)及其問(wèn)題進(jìn)行“代數的思考”。準變量思維是從算術(shù)思維發(fā)展到代數思維的橋梁和紐帶。因此，教師要敏銳地發(fā)掘可以培養學(xué)生準變量思維的素材，將數學(xué)知識進(jìn)行有機的拓展和延伸，從而實(shí)現兩者之間的有效銜接。

例如：在學(xué)習《圓柱體表面積的計算》時(shí)，教師引導學(xué)生探究圓柱體表面積，概括出圓柱體表面積 “三步計算法” （表面積=側面積+兩個(gè)底面積的）。這時(shí)有的學(xué)生認為這種計算方法比較煩瑣。“有沒(méi)有更巧妙的方法？”難道底面、側面展開(kāi)是“圓”與“長(cháng)方形”就一定要依次計算嗎？圍繞這個(gè)問(wèn)題，教師組織如下的教學(xué)活動(dòng)：

師：前面我們學(xué)習了圓柱體表面積的計算，我們一般是怎樣計算它的表面積呢？

生：我們推導出圓柱體表面積的“三步計算”方法，即依次計算底面積、側面積，再用側面積加兩個(gè)底面積得出表面積。

師：一個(gè)圓柱體的高是15厘米，底面半徑是5厘米，它的表面積是多少？

生：側面積=2×3.14×5×15=471(平方厘米)，底面積=3.14×25=78.5（平方厘米），表面積=471+78.5×2=628（平方厘米）

師：如果我們把剛才的分步列式寫(xiě)成綜合算式，你會(huì )嗎？

生：2×3.14×5×15+3.14×25×2

師：怎樣計算簡(jiǎn)便呢？運用乘法分配律，你該怎樣化簡(jiǎn)呢？

生：2×3.14×5×15+3.14×25×2

   =2×3.14×5×（15+5）

   =31.4×20

   =628（平方厘米）

師：你發(fā)現圓柱體表面積的巧妙算法是什么呢？

生：圓柱表面積=底面周長(cháng)×（高+半徑）

再讓學(xué)生操作驗證，應用拓展。

教師利用學(xué)生提出的問(wèn)題，引導學(xué)生積極探究，得出圓柱體表面積=底面周長(cháng)×（高+半徑）。其思考過(guò)程就是運用“準變量思維”，運用代數思維的思考方法，（這句話(huà)去掉）通過(guò)關(guān)系的符號化及其運算，并對運算結構性的、一般性的、形式化的轉換，發(fā)現了圓柱體表面積的巧妙解法，從而提升學(xué)生對算術(shù)基礎的理解，蘊伏對算術(shù)和代數之間關(guān)系的認識，培養學(xué)生的代數思維。從而使學(xué)生代數思維的訓練落到實(shí)處。（這句話(huà)去掉）

遠山：您再思考一下第三點(diǎn)怎么加工吧。一、是如何體現“準變量思維”，二、用什么案例。

作者再次修改：

介于小學(xué)算術(shù)程序思維與中學(xué)代數關(guān)系思維之間的是“準變量思維”，它的核心是充分利用算術(shù)中所隱含的代數關(guān)系與結構，對算術(shù)及其問(wèn)題進(jìn)行“代數的思考”。準變量思維是從算術(shù)思維發(fā)展到代數思維的橋梁和紐帶。因此，教師要敏銳地發(fā)掘可以培養學(xué)生準變量思維的素材，將數學(xué)知識進(jìn)行有機的拓展和延伸，從而實(shí)現兩者之間有效的銜接。

例如：在學(xué)習“圓柱體積的計算”一課時(shí)，教師出示這樣一道練習題：

“一張長(cháng)方形紙，長(cháng)是18.84厘米，寬是12.56厘米，怎樣圍圓柱的體積最大？”剛一出示這道題，同學(xué)們議論紛紛。大部分同學(xué)認為一樣大，因為它們是同一張長(cháng)方形紙圍成的；也有幾個(gè)同學(xué)在低頭認真演算。這時(shí)石蕊同學(xué)站起來(lái)說(shuō)：“通過(guò)演算，我發(fā)現以長(cháng)方形長(cháng)作為底面周長(cháng)，以寬作為高時(shí)，圓柱的體積是：

18.84÷3.14÷2=3（厘米）

3.14×3×3×12.56=354.9456（立方厘米）

以寬為底面周長(cháng)，長(cháng)做高時(shí)，圓柱的體積是：

12.56÷3.14÷2=2（厘米）

3.14×2×2×18.84=236.6304（立方厘米）

所以，雖然用的是同一張紙圍成的圓柱，但通過(guò)計算，還是以較長(cháng)的邊為底面周長(cháng)時(shí)圍成的圓柱的體積大。”

聽(tīng)完石蕊同學(xué)的發(fā)言，張凌云同學(xué)說(shuō)：“我還發(fā)現一個(gè)規律：如果用同一張長(cháng)方形紙圍圓柱，那么以長(cháng)為底面周長(cháng)，以寬為高的圓柱的體積與以寬為底面周長(cháng)，以長(cháng)為高的圓柱的體積的比等于長(cháng)與寬的比。”這個(gè)結論是正確的嗎？同學(xué)們聽(tīng)了半信半疑，“你能給大家舉個(gè)例子嗎？”老師提出了要求。張凌云同學(xué)進(jìn)行舉例：

長(cháng)方形的長(cháng)是20厘米，寬是10厘米，用它圍成一個(gè)圓柱，以長(cháng)為底面周長(cháng)，以寬為高時(shí)，圓柱的體積是：

∏×（20÷2∏）²×10=∏×20×20×10/4×∏×∏=1000/∏(立方厘米)
以寬為底面周長(cháng)，以長(cháng)為高時(shí)，圓柱的體積是：

∏×（10÷2∏）²×20=∏×10×10×20/4×∏×∏=500/∏(立方厘米)

兩個(gè)圓柱體積的比是2：1

其他同學(xué)也躍躍欲試，舉例驗證這一發(fā)現。

學(xué)生在推算過(guò)程中把“3.14”這一常量以符號∏替代，運用準變量思維，通過(guò)關(guān)系的符號化及其運算，并對運算結構性的、一般性的、形式化的轉換，發(fā)現了圓柱體積比的規律。教師抓住了這個(gè)閃光點(diǎn)，通過(guò)對一道習題的延伸拓展，蘊伏對算術(shù)和代數之間關(guān)系的認識，促進(jìn)學(xué)生代數思維的發(fā)展。

遠山：稿件收到，看了一下。文章基本上采用的是還是算術(shù)思維（唯一不同的是引進(jìn)了圓周率的字母），雖然您多次提到關(guān)注關(guān)系和結構，但是由于您所舉的例子在過(guò)程中過(guò)多的關(guān)注計算結果，使得各個(gè)量之間的關(guān)系和結構并不明確。 “準變量”思維的案例具備說(shuō)明這個(gè)問(wèn)題的可能性，但從目前的行文沒(méi)有突出問(wèn)題。當然您也告訴我了這是某雜志上的案例?？戳四峁┑?#8220;準變量思維”材料，更堅定了我改您文章的決心。文章大致思路已修改，因為基本上是顛覆了您的思路，所以還是發(fā)給您看看吧。文中計算尚未更改過(guò)來(lái)，文字銜接等尚未細致加工，請您自己處理一下.

修改后的文章：

如在教學(xué)《圓柱體積的計算》時(shí)，某教師出示這樣一道練習題：“一張長(cháng)方形紙，長(cháng)是20厘米，寬是10厘米，怎樣圍圓柱的體積最大？”學(xué)生一般習慣通過(guò)計算，得出：以長(cháng)方形的長(cháng)為圓柱的底面周長(cháng)、以寬為高時(shí)，圓柱的底面半徑為18.84÷3.14÷2=3（厘米），體積為3.14×3×3×12.56=354.9456（立方厘米）。以寬為圓柱的底面周長(cháng)、長(cháng)為高時(shí)，圓柱的底面半徑為12.56÷3.14÷2=2（厘米），體積為3.14×2×2×18.84=236.6304（立方厘米）。因為354.9456>236.6304，所以以長(cháng)方形的長(cháng)為底面周長(cháng)、以寬為高時(shí)圍城的圓柱的體積最大。學(xué)生這樣做，是基于算術(shù)思想的，只能說(shuō)明對這組長(cháng)和寬是成立，對其他的長(cháng)和寬是否也成立仍不得而知。而按嚴密的代數思維應該是這樣的：設長(cháng)方形的長(cháng)和寬分別為a、b（a≥b）厘米,則以a為圓柱的底面周長(cháng)、以b高時(shí)，圓柱的底面半徑為a÷π÷2=a/2π（厘米），體積為π×(a/2π)²×b =4 a²b/4π（立方厘米）;以b為底面周長(cháng)、a為高時(shí)，圓柱的底面半徑為b÷π÷2=b/2π（厘米），體積為π×(b/2π)²×a =4 b²a/4π（立方厘米）。因為a>b,所以4 b²a/4π>4 b²a/4π，即以長(cháng)方形的長(cháng)為底面周長(cháng)、以寬為高時(shí)圍城的圓柱的體積最大。這是代數思維，顯然超出了小學(xué)生的思維水平。在教學(xué)中，我們可以建議學(xué)生先不急著(zhù)算，而進(jìn)行以下嘗試：以20厘米為底面周長(cháng)，以10厘米為高時(shí)，圓柱的底面半徑是20÷2π，體積是π×（20÷2π）×（20÷2π）×10=20×20×10÷4π(立方厘米)；以10厘米為底面周長(cháng)，以20厘米為高時(shí)，圓柱的底面半徑是10÷2π，體積是π×（10÷2π）×（10÷2π）×20=10×10×20÷4π(立方厘米)。比較兩個(gè)結果，得出20×20×10÷4π>10×10×20÷4π。這樣的過(guò)程立足于具體的數值，但“計算”過(guò)程中關(guān)注的不是每一步的計算結果，而是關(guān)系和結果，通過(guò)對關(guān)系的變換，得出具有結構性的、一般性的、形式化的結果，這就是準變量思維。

作者：實(shí)在很不好意思，因為自己文章的不成熟，花費了你太多的時(shí)間和精力進(jìn)行修改。感動(dòng)！感謝！兩個(gè)問(wèn)題：1.如果把題目改為長(cháng)20，寬10時(shí)計算除不盡。所以改為原題長(cháng)是18.84厘米，寬是12.56厘米。2. 20×20×10÷4π通過(guò)計算化簡(jiǎn)結果是1000÷π  10×10×20÷4π通過(guò)計算化簡(jiǎn)結果是500÷π。這樣是不是更容易比較出結果？

遠山：這下我真該暈了——暈的是我們理解的準變量思維好像有天地之別。

關(guān)于“20×20×10÷4π通過(guò)計算化簡(jiǎn)結果是1000÷π，10×10×20÷4π通過(guò)計算化簡(jiǎn)結果是500÷π。這樣是不是更容易比較出結果”的回答。

1.您認為354.9456（立方厘米）>236.6304（立方厘米）與1000/π >500/π有多少區別？?jì)H僅把3.14改成π就叫準代數思想了？

2.您認為這個(gè)問(wèn)題中最本質(zhì)的關(guān)系或結構是什么？是“部分計算”結果與圓周率的關(guān)系？還是長(cháng)、寬與體積的關(guān)系？如此哪種結果能體現您所認為的關(guān)系？

3.準變量思維的滲透是以“更容易比較出結果”為主還是別的？如果是以更容易比出結果則學(xué)生的普通解法最容易比較出結果。

4.雖然您一直提出“代數的眼光和思維”，從1000/π、500/π中您能看出多少關(guān)系或結構？

關(guān)于“1.如果把題目改為長(cháng)20，寬10時(shí)計算除不盡。所以改為原題長(cháng)是18.84厘米，寬是12.56厘米”回答：如果題目容易“除盡”則保留結構的必要性在哪里？教學(xué)中，教師可以根據“除不盡”，如果保留兩位小數，則計算比較復雜，引入“只列式、不計算”。