大約在1629年，法國數學(xué)家費馬研究了作曲線(xiàn)的切線(xiàn)和求函數極值的方法；1637年左右，他寫(xiě)一篇手稿《求最大值與最小值的方法》。在作切線(xiàn)時(shí)，他構造了差分f(A+E)-f(A)，發(fā)現的因子E就是我們所說(shuō)的導數 f'(A)。
17世紀生產(chǎn)力的發(fā)展推動(dòng)了自然科學(xué)和技術(shù)的發(fā)展，在前人創(chuàng )造性研究的基礎上，大數學(xué)家牛頓、萊布尼茨等從不同的角度開(kāi)始系統地研究微積分。牛頓的微積分理論被稱(chēng)為“流數術(shù)”，他稱(chēng)變量為流量，稱(chēng)變量的變化率為流數，相當于我們所說(shuō)的導數。牛頓的有關(guān)“流數術(shù)”的主要著(zhù)作是《求曲邊形面積》、《運用無(wú)窮多項方程的計算法》和《流數術(shù)和無(wú)窮級數》，流數理論的實(shí)質(zhì)概括為：他的重點(diǎn)在于一個(gè)變量的函數而不在于多變量的方程；在于自變量的變化與函數的變化的比的構成；最在于決定這個(gè)比當變化趨于零時(shí)的極限。
1750年達朗貝爾在為法國科學(xué)家院出版的《百科全書(shū)》第四版寫(xiě)的“微分”條目中提出了關(guān)于導數的一種觀(guān)點(diǎn)，1823年，柯西在他的《無(wú)窮小分析概論》中定義導數：如果函數y=f(x)在變量x的兩個(gè)給定的界限之間保持連續，并且我們?yōu)檫@樣的變量指定一個(gè)包含在這兩個(gè)不同界限之間的值，那么是使變量得到一個(gè)無(wú)窮小增量。19世紀60年代以后，魏爾斯特拉斯創(chuàng )造了ε-δ語(yǔ)言，對微積分中出現的各種類(lèi)型的極限重加表達。導數的定義也就獲得了今天常見(jiàn)的形式。
微積分學(xué)理論基礎，大體可以分為兩個(gè)部分。一個(gè)是實(shí)無(wú)限理論，即無(wú)限是一個(gè)具體的東西，一種真實(shí)的存在；另一種是潛無(wú)限，指一種意識形態(tài)上的過(guò)程，比如無(wú)限接近。就數學(xué)歷史來(lái)看，兩種理論都有一定的道理。其中實(shí)無(wú)限用了150年，后來(lái)極限論就是現在所使用的。
求導法則
由基本函數的和、差、積、商或相互復合構成的函數的導函數則可以通過(guò)函數的求導法則來(lái)推導?；镜那髮Х▌t如下：
兩個(gè)函數的加減：對函數的線(xiàn)性組合求導，等于先對其中每個(gè)部分求導后再取線(xiàn)性組合。
兩個(gè)函數的乘積：等于其中一個(gè)的導函數乘以另一者，加上另一者的導函數與其的乘積
兩個(gè)函數的商：其中分子是分子函數的導函數乘以分母函數減去分母函數的導函數乘以分子函數后的差，而其分母是分母函數的平方。
復合函數的求導法則
如果有復合函數，那么若要求某個(gè)函數在某一點(diǎn)的導數，可以先運用以上方法求出這個(gè)函數的導函數，再看導函數在這一點(diǎn)的值。
單調性
根據微積分基本定理，對于可導的函數，有：
如果函數的導函數在某一區間內恒大于零（或恒小于零），那么函數在這一區間內單調遞增（或單調遞減），這種區間也稱(chēng)為函數的單調區間。導函數等于零的點(diǎn)稱(chēng)為函數的駐點(diǎn)（或極值可疑點(diǎn)），在這類(lèi)點(diǎn)上函數可能會(huì )取得極大值或極小值。進(jìn)一步判斷則需要知道導函數在附近的符號。對于滿(mǎn)足的一點(diǎn)，如果存在使得在之前區間上都大于等于零，而在之后區間上都小于等于零，那么是一個(gè)極大值點(diǎn)，反之則為極小值點(diǎn)。而如果存在使得在區間上都大于等于零或都小于等于零，那么稱(chēng)這個(gè)點(diǎn)為拐點(diǎn)。導數說(shuō)白了它其實(shí)就是曲線(xiàn)一點(diǎn)切線(xiàn)的斜率，函數值的變化率。
建議先去了解什么是極限，極限是一個(gè)可望不可及的概念?？梢院芙咏?，但永遠到不了那個(gè)岸。導數是微積分的一個(gè)重要的支柱。牛頓及萊布尼茨對此做出了卓越的貢獻。
導數與物理，幾何，代數關(guān)系密切：在幾何中可求切線(xiàn)；在代數中可求瞬時(shí)變化率；在物理中可求速度、加速度。
導數亦名紀數、微商（微分中的概念），是由速度變化問(wèn)題和曲線(xiàn)的切線(xiàn)問(wèn)題（矢量速度的方向）而抽象出來(lái)的數學(xué)概念，又稱(chēng)變化率。
如一輛汽車(chē)在10小時(shí)內走了 600千米，它的平均速度是60千米/小時(shí)。但在實(shí)際行駛過(guò)程中，是有快慢變化的，不都是60千米/小時(shí)。為了較好地反映汽車(chē)在行駛過(guò)程中的快慢變化情況，可以縮短時(shí)間間隔，設汽車(chē)所在位置s與時(shí)間t的關(guān)系為：
那么汽車(chē)在由時(shí)刻t0變到t1這段時(shí)間內的平均速度是：
當 t1與t0無(wú)限趨近于零時(shí)，汽車(chē)行駛的快慢變化就不會(huì )很大，瞬時(shí)速度就近似等于平均速度 。自然就把當t1→t0時(shí)的極限
物理學(xué)、幾何學(xué)、經(jīng)濟學(xué)等學(xué)科中的一些重要概念都可以用導數來(lái)表示。如，導數可以表示運動(dòng)物體的瞬時(shí)速度和加速度（就勻速直線(xiàn)加速度運動(dòng)為例 位移關(guān)于時(shí)間的一階導數是瞬時(shí)速度二階導數是加速度）、可以表示曲線(xiàn)在一點(diǎn)的斜率（矢量速度的方向）、還可以表示經(jīng)濟學(xué)中的邊際和彈性。
以上說(shuō)的經(jīng)典導數定義可以認為是反映局部歐氏空間的函數變化。為了研究更一般的流形上的向量叢截面（比如切向量場(chǎng)）的變化，導數的概念被推廣為所謂的“聯(lián)絡(luò )”。有了聯(lián)絡(luò )，人們就可以研究大范圍的幾何問(wèn)題，這是微分幾何與物理中最重要的基礎概念之一。
注意：1.f'(x)<0是f(x)為減函數的充分不必要條件，不是充要條件。
2．導數為零的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)。當函數為常值函數，沒(méi)有增減性，即沒(méi)有極值點(diǎn)。但導數為零。（導數為零的點(diǎn)稱(chēng)之為駐點(diǎn)，如果駐點(diǎn)兩側的導數的符號相反，則該點(diǎn)為極值點(diǎn)，否則為一般的駐點(diǎn)，如y=x^3中f‘(0)=0，x=0的左右導數符號為正，該點(diǎn)為一般駐點(diǎn)。）
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