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布爾巴基結構主義 與希爾伯特形式主義的比較研究 黃秦安 作者簡(jiǎn)介：黃秦安(1962- )，男，陜西西安人，陜西師范大學(xué)數學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院教授，博士生導師，研究方向為數學(xué)哲學(xué)與科學(xué)哲學(xué)。西安 710119 人大復?。?/span>《科學(xué)技術(shù)哲學(xué)》2017 年 01 期 原發(fā)期刊：《科學(xué)技術(shù)哲學(xué)研究》2016 年第 20165 期 第 1-6 頁(yè) 關(guān)鍵詞：布爾巴基/ 形式主義/ 結構主義/ 元數學(xué)/ 公理化/ 數學(xué)知識范式/Bourbaki/ formalism/ structuralism/ metamathematics/axiomafization/ paradigm of mathematical knowledge/ 摘要：20世紀初，為克服樸素集合論悖論，構建堅實(shí)的數學(xué)基礎，形式主義者提出了宏偉的“希爾伯特綱領(lǐng)”，哥德?tīng)柌煌耆远ɡ淼陌l(fā)表使得形式主義的整體目標以失敗告終。重建數學(xué)基礎的問(wèn)題再次變得迫切。布爾巴基學(xué)派應運而生，逐漸嶄露頭角并迅猛發(fā)展，對20世紀純粹數學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生了至深的影響。無(wú)論是從哲學(xué)還是數學(xué)的視角看，形式主義與布爾巴基結構主義之間既有著(zhù)難以分割的聯(lián)系，又有著(zhù)許多本質(zhì)上的差異。兩者的共性顯示了其在揭示數學(xué)知識本質(zhì)上的哲學(xué)深度，而兩者之間的異質(zhì)差異性見(jiàn)證了20世紀數學(xué)知識多樣恢宏的范式轉換。 為了解決集合論悖論造成的數學(xué)基礎危機，在數學(xué)界最有影響的是以希爾伯特為代表的形式主義學(xué)派提出的解決方案，然而，希爾伯特建立在元數學(xué)基礎上的證明論卻并沒(méi)有成功。20世紀30年代，布爾巴基結構主義運動(dòng)端倪初現并逐步形成一股強有力的“新數學(xué)基礎”運動(dòng)。那么，形式主義和結構主義的基本思想是什么?其數學(xué)和哲學(xué)主張有什么共性與差異?這些對數學(xué)發(fā)展又有怎樣的啟示? 一、形式主義綱領(lǐng)與其基本目標的落空 形式主義數學(xué)思想形成的一個(gè)重要動(dòng)因是致力于將數學(xué)的抽象化推向舍棄任何具象內容的形式公理化的高度。其先驅和代表人物希爾伯特(D.Hilbert)主張把數學(xué)表示為形式化的系統，在《幾何基礎》這部劃時(shí)代的著(zhù)作中，與歐幾里得的實(shí)質(zhì)公理，學(xué)不同，希爾伯特對點(diǎn)、線(xiàn)、面等基本概念不給予任何解釋?zhuān)湟饬x僅僅存在于其滿(mǎn)足的公理及其結構之中。因此，一個(gè)數學(xué)系統可以稱(chēng)為公理化的系統，是指選取盡可能少的未加定義的原始概念(或者叫作基本概念)，以彼此關(guān)聯(lián)且制約的若干規定(或者叫作公理)為出發(fā)點(diǎn)，通過(guò)邏輯推理，使得所選取的數學(xué)系統變成一個(gè)純演繹系統。這樣，數學(xué)對象的具體內容就被完全舍棄掉了，只剩下形式的外殼。 形式主義數學(xué)思想形成的另一個(gè)重要動(dòng)因是如何克服集合論悖論。集合論誕生之后，很快成為建構任何可能的數學(xué)對象及關(guān)系的一個(gè)絕佳平臺。而集合論悖論(如布拉利—福蒂悖論、康托悖論和羅素悖論等)卻困擾著(zhù)數學(xué)家們。面對數學(xué)基礎危機，形式主義者主張用形式公理化系統去整合整個(gè)古典數學(xué)?！跋柌氐挠媱澥前压诺渌阈g(shù)充分地加以形式化分析同時(shí)力求避免悖論?！盵1]一個(gè)數學(xué)系統的形式化就是把這個(gè)數學(xué)系統用形式語(yǔ)言進(jìn)行描述，而這一形式語(yǔ)言需要滿(mǎn)足符號系統、形成規則和變形規則等幾個(gè)條件。希爾伯特綱領(lǐng)的主要目標是將古典數學(xué)表示為形式化的公理體系，然后證明其相容性。 為了實(shí)現這一綱領(lǐng)，希爾伯特創(chuàng )立了證明論。著(zhù)名數學(xué)家馮·諾伊曼(J.V.Neumann)曾把證明論的思想概括為以下4個(gè)步驟： (1)羅列出在系統中所使用的所有符號。包括符號“～”和“→”(分別表示“否定”和“蘊涵”)。這些符號稱(chēng)為“原始符號”。 (2)列出所有在經(jīng)典數學(xué)中被列為“有意義”類(lèi)的陳述的組合。這些組合叫作“公式”。(這里只是說(shuō)公式是“有意義”的，并不表示必然“為真”。像“1+1=2”這樣的公式是有意義的，“1+1=1”也是有意義的，因為一個(gè)公式有意義與否與其中一個(gè)為真另一個(gè)為假無(wú)關(guān)。而像“1+→=1”和“++1=→”這樣的組合公式就是沒(méi)有意義的。) (3)接下來(lái)需要給出一個(gè)構造的程序，借助于這一程序，可以構造出相當于經(jīng)典數學(xué)中的“可證明的”陳述的所有公式。這樣一個(gè)構造程序就被叫作本系統中的“證明”。 (4)采用有限的組合方式去對那些與在經(jīng)典數學(xué)中采用有限性算術(shù)方法得到的陳述相應的公式加以證明，也就是說(shuō)，可以被(3)中所描述的過(guò)程證明(或構造出來(lái))。[2]73 有學(xué)者相信，如果堅持有窮主義原則和方法，根據哥德?tīng)柌煌耆远ɡ淼慕Y論，希爾伯特的上述證明論目標就是無(wú)法實(shí)現的。[3] 形式主義者對于數學(xué)和元數學(xué)的劃分以及不同的意義賦予可謂意味深長(cháng)。在數學(xué)層面上，形式主義者傾向于保留古典數學(xué)、集合論和實(shí)無(wú)限領(lǐng)域，但到了元數學(xué)的層面上，形式主義者就開(kāi)始否認數學(xué)對象的實(shí)在性，把數學(xué)僅僅看成是符號與符號之間的某種關(guān)系，數學(xué)系統就只不過(guò)是一套形式化了的符號系統而已?！皵祵W(xué)中的真理和存在等價(jià)于其一致性，數學(xué)可以用多重存在的真理構造多重的符號世界?！盵4]希爾伯特的這一見(jiàn)解體現了不同于傳統數學(xué)觀(guān)的新認識，有著(zhù)解構關(guān)于數學(xué)對象存在的柏拉圖主義觀(guān)念的價(jià)值，同時(shí)也留下了對數學(xué)應用性的解釋幾乎“失語(yǔ)”的理論軟肋。 二 布爾巴基結構主義的思想脈絡(luò ) 20世紀30年代，包括形式主義和邏輯主義在內的基礎主義整體目標遭到失敗，這促使數學(xué)家再次思考：數學(xué)究竟應該有一個(gè)怎樣的基礎?數學(xué)基礎如何加以構造?這些嚴峻的問(wèn)題再次被數學(xué)共同體所關(guān)注。布爾巴基學(xué)派由此應運而生。布爾巴基并不是一個(gè)人名，而是一個(gè)集體的筆名(全名為Nicholas Bourbaki)。1935年成立時(shí)有七位數學(xué)家①，之后布爾巴基的成員在不斷地變化著(zhù)，但其宗旨卻始終一致。布爾巴基學(xué)派從一開(kāi)始就計劃通過(guò)回顧式的梳理，對全部現代數學(xué)進(jìn)行一番徹底的探討，并書(shū)寫(xiě)一部百科全書(shū)式的數學(xué)巨著(zhù)《數學(xué)原理》。在1947年，以布爾巴基這一筆名發(fā)表的《數學(xué)的建筑》一文，被布爾巴基看作是自己思想的宣言。[5] 在《數學(xué)的建筑》這篇劃時(shí)代的文獻中，布爾巴基表達了對數學(xué)高度的專(zhuān)業(yè)化發(fā)展帶來(lái)的分化與分裂局面的擔憂(yōu)以及重新構筑數學(xué)統一性的宏偉愿望：“數學(xué)這樣如此強有力建構的有機體，隨著(zhù)其新的生長(cháng)，是會(huì )獲得更強大的凝聚力和統一，還是像外部呈現的那樣走向逐步分裂的趨勢，并成為內在于數學(xué)的本質(zhì)。數學(xué)的領(lǐng)域是否不會(huì )成為巴別塔，這意味著(zhù)其中自主的學(xué)科之間不僅在目標上，而且在方法和語(yǔ)言上會(huì )越來(lái)越普遍地彼此分離?！盵6]布爾巴基認為，數學(xué)不是由一系列孤立的學(xué)科構成的，傳統的數學(xué)分類(lèi)實(shí)際上不符合這門(mén)學(xué)科的深刻性質(zhì)。例如，算術(shù)是研究數的科學(xué)，幾何是研究空間對象的科學(xué)，代數是研究方程的科學(xué)，分析是研究函數的科學(xué)等。布爾巴基認為，真正要緊的不是所研究對象的性質(zhì)，而是它們相互的關(guān)系。 布爾巴基的結構思想得益于19世紀中葉以來(lái)數學(xué)在各個(gè)知識領(lǐng)域的繁榮與進(jìn)步。特別是像群、域、環(huán)、向量空間這樣一些基本的抽象結構，為處理各種數學(xué)對象及其關(guān)系奠定了基礎。利用這些結構的一般性質(zhì)，可以輕易地得到以前是由一些復雜的特殊論證和計算才能得到的東西。與之前的許多數學(xué)哲學(xué)流派和主張相比，布爾巴基顯現出其新的思想特色，這就是結構主義思想及其范式。結構主義范式對于深入理解數學(xué)發(fā)展的特點(diǎn)有著(zhù)多重的價(jià)值。尤其是對于純粹數學(xué)來(lái)說(shuō)，結構主義思想具有一種揭示其知識內在關(guān)聯(lián)性和本質(zhì)的功效。 在對以往數學(xué)，尤其是19世紀中葉以來(lái)的數學(xué)進(jìn)展進(jìn)行梳理的基礎上，布爾巴基學(xué)派提出了數學(xué)的三種基本結構或者叫母結構。[6]一個(gè)是代數結構，比較典型的代數結構有群、環(huán)、域、代數系統、范疇、線(xiàn)性空間等。第二個(gè)是序結構，如果可以在集合中的某些元素之間建立或規定一種順序關(guān)系，那么就可以稱(chēng)之為具有了一種序結構。其中比較典型的有數系中的大小關(guān)系、類(lèi)的包含關(guān)系等，還有諸如半序集、全序集和良序集等等都是具有序結構的。還有一個(gè)是拓撲結構，這一結構可以用于描述具有連續性、分離性、鄰近等空間性質(zhì)的數學(xué)對象。比較典型的有緊致集、連通集和拓撲空間等。一個(gè)系統可以根據不同的運算規則和性質(zhì)形成不同的結構。比如在實(shí)數系中，有加(減)運算或乘(除)運算，它們可以各自按照加法或乘法運算構成兩種互相聯(lián)系的代數結構。而在實(shí)數集合中，由于任意兩個(gè)實(shí)數都可以比較大小，因此其大小關(guān)系可以形成了一種序的結構。同樣還是在實(shí)數集上，其連續性又能體現出其拓撲結構的性質(zhì)。 在三種基本結構(母結構)的基礎上，通過(guò)添加一些性質(zhì)和公理，就可以派生出各種子結構，其中兩種以上的結構可以通過(guò)添加新的條件產(chǎn)生出復合結構。如在實(shí)數集中，如果a>b，則a+c>b+c，這樣代數結構與序結構就被聯(lián)系在一起了。再如，拓撲群是在群結構上通過(guò)引入拓撲結構得到的。H空間(希爾伯特空間)是線(xiàn)性空間(代數結構)添上內積型拓撲(拓撲空間)所構成的數學(xué)系統。 三 布爾巴基對形式主義的承繼性與兩者之間的相似性 與形式主義者相比，布爾巴基的數學(xué)工作則可以看作是在更為廣泛的知識背景之下對數學(xué)進(jìn)行新的構成基礎的探索。從兩者的共性看，與形式主義一樣，結構主義仍有很深的基礎主義、元敘事和宏大敘事痕跡。盡管結構主義者特別聲稱(chēng)其基本立場(chǎng)與基礎主義三大流派的差異，但形式主義是布爾巴基結構主義思想的一個(gè)重要來(lái)源，而結構主義也可以看作是一種新的數學(xué)基礎主義思潮。具體來(lái)看，其承繼性與相似性表現為如下幾個(gè)方面： (1)數學(xué)思想的承繼性。從一定意義上講，布爾巴基結構主義就是形式主義綱領(lǐng)在數學(xué)層面(而非元數學(xué)層面)上的一種實(shí)現。布爾巴基的代表人物之一迪奧多涅認為，布爾巴基“原來(lái)的產(chǎn)生是為了以細致和完備的方式闡明所謂‘形式主義’數學(xué)家的實(shí)踐”。[7]188而雷克(E.R.Reck)和普利斯(M.P.Price)在“當代數學(xué)哲學(xué)中的結構與結構主義”一文中，把形式主義看作是結構主義的一種主要類(lèi)型。[8]所以，形式主義與布爾巴基在數學(xué)思想與立場(chǎng)上的相似性是明顯的。 (2)兩者都具有數學(xué)話(huà)語(yǔ)的宏大敘事性和元敘事性。追求整體性和統一性，是形式主義與布爾巴基結構主義的一個(gè)共同特征。形式主義是數學(xué)基礎主義的一個(gè)典范?！罢摕o(wú)限”是希爾伯特的一篇著(zhù)名的演講，希爾伯特在其中表達了對于數學(xué)基礎在數學(xué)知識判斷上所具有的最高權威的看法：“在某種意義上，數學(xué)成了一個(gè)仲裁法庭，一個(gè)裁決根本問(wèn)題的最高法庭?！盵2]230然而，這種具有終極意義的宏大敘事或元理論的基本立場(chǎng)卻遭到了來(lái)自多方面的質(zhì)疑。法國哲學(xué)家利奧塔爾(J.F.Lyotard)站在后現代的立場(chǎng)上對元敘事的合理性提出批評：“我們不再相信存在著(zhù)一個(gè)能一勞永逸地捕捉住每一個(gè)最初級話(huà)語(yǔ)真理的具有特權的元話(huà)語(yǔ)?！^的元話(huà)語(yǔ)只不過(guò)是所有話(huà)語(yǔ)中的一種?！盵9] (3)對基礎主義的追求。形式主義本身就是典型的基礎主義流派之一，在布爾巴基思想中仍有很濃重的基礎主義痕跡。布爾巴基力圖建立整體化的數學(xué)知識結構。力度強大的理論綜合和對幾乎所有純粹數學(xué)的重新整理，幾十卷浩瀚的數學(xué)巨著(zhù)，都是其重建數學(xué)基礎的成就。 (4)對公理化方法和邏輯方法的推崇和應用。公理化思想可以追溯至2000多年前古希臘著(zhù)名幾何學(xué)家歐幾里得的《幾何原本》。在非歐幾何的發(fā)現過(guò)程中，古希臘時(shí)期的實(shí)質(zhì)公理化逐漸演變?yōu)楫敶男问焦砘椒?。在希爾伯特的《幾何基礎》以及形式主義綱領(lǐng)中，形式公理化方法都發(fā)揮了重要的作用。同樣在布爾巴基學(xué)派那里，公理化方法依然是數學(xué)知識系統化的一個(gè)銳利武器。此外，對邏輯方法的堅持和使用也是形式主義和結構主義的一個(gè)共同特色。其代表人物之一迪奧多涅對邏輯方法的重視甚至超過(guò)了集合論，另一個(gè)代表人物嘉當則表達了數學(xué)建立在邏輯基礎上的觀(guān)點(diǎn)。[10] 四 結構主義與形式主義的異質(zhì)性與差異性 當代著(zhù)名數學(xué)家阿迪亞(M.Atiyah)在2000年一次重要的會(huì )議上所做的題為“20世紀的數學(xué)”的著(zhù)名演講中，把布爾巴基看作是希爾伯特最著(zhù)名的弟子?！安紶柊突鶉L試將希爾伯特的數學(xué)公理化和形式化規劃推進(jìn)到一個(gè)更加卓越的范圍，并取得了不小的成功?！盵11]這一判斷應該說(shuō)只說(shuō)對了一半，即布爾巴基在一定程度上承繼了形式主義的事業(yè)，但布爾巴基的結構主義數學(xué)與數學(xué)哲學(xué)卻不能簡(jiǎn)單地看作是形式主義數學(xué)與數學(xué)哲學(xué)思想的一個(gè)放大、延伸和擴充。除了上節所論述的結構主義與形式主義之間的相似性之外，還應該看到結構主義與形式主義之間的若干本質(zhì)差異。 結構主義作為在時(shí)間上稍后的一種新學(xué)派，對形式主義學(xué)派所遭受的挫折自然是知悉的。因而，布爾巴基在制定自己的研究規劃的時(shí)候，放棄甚至遠離了形式主義的一些基本立場(chǎng)、原則和問(wèn)題，以避免重蹈形式主義的覆轍。[12]吸取形式主義的思想精髓，同時(shí)避免其缺陷和短板，盡力形成自己獨特的研究范式，這正是結構主義自覺(jué)的理論選擇，也是其強大持續的生命力所在。 概括看來(lái)，布爾巴基結構主義與形式主義數學(xué)的差異性體現在哲學(xué)或數學(xué)的觀(guān)念、知識范式、研究邏輯與共同體形式等各個(gè)方面。 首先，在數學(xué)觀(guān)上，由靜態(tài)、絕對主義的數學(xué)觀(guān)向動(dòng)態(tài)發(fā)展的數學(xué)觀(guān)的轉變。形式主義是絕對主義數學(xué)觀(guān)的一個(gè)典型。[13]151與形式主義的絕對主義數學(xué)哲學(xué)主張相比，布爾巴基數學(xué)哲學(xué)顯現為一種動(dòng)態(tài)相對性，并因此拉開(kāi)與形式主義的距離，同時(shí)也構成了與形式主義的哲學(xué)分野之一。布爾巴基這樣寫(xiě)道：“對于公理方法來(lái)說(shuō)，沒(méi)有什么比靜止的科學(xué)概念更異己的了，我們不想給讀者留下一個(gè)印象，仿佛我們企圖給出公理方法的終極狀況的綱要。無(wú)論在數量方面還是在本質(zhì)方面，結構都并非始終不變的，完全可能的是，數學(xué)的進(jìn)一步發(fā)展將導致基本結構的數量的增長(cháng)?！盵6] 其次，在知識范式上，由知識的永恒封閉系統向多樣開(kāi)放系統的轉變。與形式主義試圖一勞永逸地解決數學(xué)基礎問(wèn)題的看法不同，按照布爾巴基的說(shuō)法，數學(xué)雖然有三種基本的母結構，但卻可以通過(guò)添加新的結構性質(zhì)來(lái)構建新的結構類(lèi)型。這也就意味著(zhù)，數學(xué)不是一個(gè)單一的知識體，而是一個(gè)彼此交互作用的動(dòng)態(tài)知識生物體。這是與形式主義綱領(lǐng)的一個(gè)根本性差異。 第三，從元數學(xué)回歸到數學(xué)以及內容與方法的分離。形式主義者區分數學(xué)與元數學(xué)，并對“元數學(xué)”抱有極大的期待。而布爾巴基則從根本上放棄了元數學(xué)的立場(chǎng)。在布爾巴基的數學(xué)宏圖中，直接把研究的視角對準20世紀的純粹數學(xué)，加快了當代數學(xué)的整體重建，因此其規模更為壯觀(guān)，與數學(xué)家和實(shí)際的數學(xué)研究更加接近。 在知識體系上，形式主義建構了元數學(xué)的系統，這樣數學(xué)就被劃分為二元結構：元層面和非元層面的。但布爾巴基取消了元層面，簡(jiǎn)化了數學(xué)知識體系，變?yōu)榻Y構論。進(jìn)而，元數學(xué)和數理邏輯在數學(xué)基礎建構中的核心地位也被動(dòng)搖了：“對于當今幾乎所有數學(xué)家來(lái)說(shuō)，邏輯和集合論已經(jīng)成為邊緣學(xué)科，在1925年以后就已經(jīng)如此”。[7]188即便是劃時(shí)代意義的“哥德?tīng)柌煌耆远ɡ怼?，布爾巴基都不提及。[12]布爾巴基在方法與內容上的這一背離(即在方法上對嚴格性的追求，對邏輯的強烈依賴(lài)與在內容上遠離元數學(xué)和數理邏輯)構成了結構主義思想的一個(gè)內在悖論。 第四，從追求數學(xué)基礎的統一性到追求數學(xué)結構的統一性的轉變。追求數學(xué)的統一，是形式主義和結構主義孜孜以求的一個(gè)共同目標。在“數學(xué)問(wèn)題”這篇著(zhù)名的演講中，希爾伯特宣稱(chēng)：“數學(xué)的有機的統一，是這門(mén)科學(xué)固有的特點(diǎn)，因為它是一切精確自然科學(xué)知識的基礎?！盵14]形式主義者區分了古典數學(xué)和現代數學(xué)，有限數學(xué)和無(wú)限數學(xué)等。因此，有窮主義方法和算術(shù)基礎的可靠l生就成為焦點(diǎn)。與形式主義的元數學(xué)綱領(lǐng)相比，結構主義者卻有著(zhù)更大的野心，它試圖整理的是19世紀中葉以來(lái)數學(xué)各個(gè)領(lǐng)域的知識總體。除了使用公理化方法之外，布爾巴基選擇了采用結構的觀(guān)念作為建筑數學(xué)的工具。[15]與形式主義的基礎統一性相比，布爾巴基追求的是結構的統一性。 第五，與希爾伯特的哥廷根學(xué)院派數學(xué)團體不同，布爾巴基開(kāi)創(chuàng )了一種新的數學(xué)研究范式。布爾巴基是數學(xué)共同體緊密合作的范例。以集體筆名的形式長(cháng)達數十年發(fā)表論文和專(zhuān)著(zhù)，為布爾巴基首創(chuàng )。在之前和之后，再也沒(méi)有出現過(guò)像布爾巴基學(xué)派這樣如此長(cháng)的時(shí)間、如此大的規模和如此有影響力的數學(xué)團體。更重要的是，布爾巴基開(kāi)創(chuàng )了一種與工作數學(xué)家(working mathematicians)緊密相關(guān)的數學(xué)哲學(xué)范式。[16]在布爾巴基看來(lái)，一種數學(xué)哲學(xué)如果沒(méi)有與大多數數學(xué)家的數學(xué)研究有緊密的關(guān)系，就不能認為是很好地體現了數學(xué)的基本發(fā)展趨勢。迪奧多涅就曾在“布爾巴基的數學(xué)哲學(xué)”一文中提出：“真正的數學(xué)的認識論或數學(xué)哲學(xué)應該以數學(xué)家具體的研究方式為其主題?！盵7]187這種工作數學(xué)家的數學(xué)哲學(xué)，其基本特點(diǎn)是數學(xué)家的數學(xué)立場(chǎng)和哲學(xué)取向與其數學(xué)研究相一致。[17] 五 若干回顧與反思 強的意義下(即有限主義立場(chǎng))的形式主義綱領(lǐng)在30年代以來(lái)已成強弩之末。但形式主義規劃在數學(xué)的專(zhuān)業(yè)化方向上卻是碩果累累，特別是在集合論、證明論、元數學(xué)、遞歸論、圖靈機等學(xué)科領(lǐng)域上的發(fā)展。[13]20②而在純粹數學(xué)領(lǐng)域，自1935年始，布爾巴基結構主義在輝煌了近半個(gè)世紀之后，到1983年，布爾巴基出版了其最后一部著(zhù)作之后就陷入沉寂。那么，形式主義和布爾巴基運動(dòng)的理論軟肋何在?對于認識數學(xué)的發(fā)展和數學(xué)哲學(xué)又有怎樣的啟示呢? 形式主義與結構主義對應用數學(xué)和現實(shí)世界的不敏感性和弱的解釋力，是其各自主張的共同缺陷。由于形式主義者視數學(xué)為純粹的符號系統，如此一來(lái)，數學(xué)與實(shí)在的關(guān)系就被割裂開(kāi)來(lái)。因此其理論就無(wú)法對數學(xué)在科學(xué)、社會(huì )、現實(shí)生活中作用給出很好的解釋。形式主義數學(xué)的這一缺陷常被學(xué)者所詬病。③同樣，結構主義對自然科學(xué)問(wèn)題的淡漠甚至讓赫爾曼(R.Hermann)感到驚訝：“布爾巴基的傳奇興起于量子力學(xué)繁盛的時(shí)期，在達到其全速發(fā)展的時(shí)期，正是愛(ài)因斯坦的幾何學(xué)引力理論被最終理解，基本粒子物理開(kāi)始散播……許多核心數學(xué)正在通過(guò)系統、控制和最優(yōu)化理論整合到工程和經(jīng)濟學(xué)當中的時(shí)代，然而這些發(fā)展卻沒(méi)有在他們的文獻中留下一絲痕跡?！盵20]④而數學(xué)只有與科學(xué)和現實(shí)世界保持豐富的聯(lián)系，從中汲取無(wú)盡的養料和源泉，才可能避免退化，保持旺盛的活力。 形式主義數學(xué)與結構主義數學(xué)作為追求嚴格性數學(xué)范式的兩個(gè)典范，其所秉持的范式與信念受到了多樣化、非形式化和非嚴格化數學(xué)知識范式及其觀(guān)念的挑戰。在形式主義和在結構主義那里，嚴格性是衡量數學(xué)知識可信性的一個(gè)重要指標。而對嚴格性的追求又與公理化理論的語(yǔ)境與框架緊密相關(guān)。[21]這一純粹的數學(xué)內部嚴格性標準受到了來(lái)自多方的批評。數學(xué)家瑟斯頓(W.Thurston)并不看重形式化的證明，而是強調了在進(jìn)行數學(xué)研究時(shí)想法的涌動(dòng)和數學(xué)共同體關(guān)于有效性標準的看法的重要性。[22]而在推測性數學(xué)的倡導者那里，數學(xué)傳統的嚴格性受到了質(zhì)疑。其代表人物賈弗(A.Jaffe)和奎因(F.Quinn)在引起極大反響的“假設數學(xué)：走向數學(xué)和理論物理的文化綜合”一文中，主張把數學(xué)分為由證明所確立的“嚴格數學(xué)”(rigorous mathematics)和建立在推測和直覺(jué)基礎上的“假設數學(xué)”(theoretical mathematics)，并論證了允許“推測數學(xué)”(speculative mathematics)存在的理由。[23]在“證明和數學(xué)中的革命”一文中，賈弗還特別談到了布爾巴基的形式論證。賈弗認為隨著(zhù)數學(xué)的發(fā)展，人們日益感到有必要放寬證明嚴格化的標準，而“在另一個(gè)方向上，從柯西到布爾巴基的鐘擺卻晃得太遠了”。[24] 通常而言，一個(gè)流派或學(xué)派最顯著(zhù)和突出的特色也恰恰就是其可能的缺陷和不足。形式主義規劃的突出特點(diǎn)是過(guò)于強勢和嚴苛的主張。事實(shí)是，如果把有限主義原則予以放寬，那么證明論可以沿著(zhù)一條新的道路繼續前進(jìn)。比如在1935年，數學(xué)家根岑(G.Gentzen)運用超限歸納法證明了算術(shù)的相容性。[25]而結構主義對形式化結構系統的青睞，排斥了難以結構化的數學(xué)對象和實(shí)體，自然就給自己設立了認識的局限和盲點(diǎn)。比較而言，形式化和結構化并不能完全覆蓋數學(xué)知識的所有領(lǐng)域。尤其是20世紀下半葉，數學(xué)知識演化出現了多樣化的態(tài)勢。非形式化和非結構化的知識類(lèi)型不斷出現，構成了數學(xué)知識建構的突出特征。諸如混沌、分形、突變理論、非線(xiàn)性科學(xué)(如非線(xiàn)性動(dòng)力系統)、模糊數學(xué)、隨機數學(xué)等復雜性科學(xué)學(xué)科，都是宏大的范式難以刻畫(huà)的。其中，復雜關(guān)聯(lián)度(即與其他學(xué)科的交叉度高，難以完全析出知識的結構性獨立指標)、內隱性(即難以完全刻畫(huà)和窮盡的)和邊際模糊性(即沒(méi)有明顯的結構形態(tài))構成了這些學(xué)科的知識特點(diǎn)。 注釋?zhuān)?/span> ①這七位數學(xué)家分別是嘉當(Henri Gartan)、謝瓦萊(Claude Chevalley)、迪奧多涅(Jean Dieudonné)、德?tīng)査_特(Jean Delsarte)、曼德?tīng)柌剂_依特(Szolem Mandelbrojt)、波塞爾(René de Possel)和韋爾(André Weil)。 ②在哲學(xué)理論觀(guān)點(diǎn)上，其后繼者庫里(H.Curry)是一個(gè)代表。庫里提出了作為結構主義的形式主義理論。在庫里看來(lái)，形式主義就意味著(zhù)把數學(xué)當作是形式系統的命題。后來(lái)，庫里確認了形式主義所堅持的數學(xué)的本質(zhì)在于其形式的方法的見(jiàn)解，進(jìn)而認定了數學(xué)是關(guān)于形式方法的科學(xué)。[18]此外，魯濱遜(A.Robinson)、科恩(P.Cohen)、亨利(J.Henle)和德特勒夫森(M.Detlefsen)等都發(fā)展了各自不同樣式的形式主義。 ③需要說(shuō)明的是，在數學(xué)與物理學(xué)的關(guān)系上，希爾伯特所堅持的并不是嚴格的形式主義態(tài)度。希爾伯特對物理學(xué)的數學(xué)基礎、相對論、量子力學(xué)等都有濃厚的興趣和研究。[19] ④在布爾巴基的成員中，嘉當可能是個(gè)例外，他曾在研究愛(ài)因斯坦的相對論時(shí)發(fā)展了聯(lián)絡(luò )論(theory of connections)。 參考文獻： [1]CLELAND C E.The concept of computability[J].Theoretical computer science,2004(317):209-225. 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