實(shí)驗一 特殊函數與圖形
著(zhù)名的Riemann函數大家都很熟悉了，但是關(guān)于它的圖像你是否清楚呢？除了最上面那幾點(diǎn)，其他都很難畫(huà)吧？你想不想看看下面那些“擠在一起”的點(diǎn)是怎樣分布的呢？還有幾何中的馬鞍面、單葉雙曲面等是怎樣由直線(xiàn)生成的，是不是也想目睹一下呢？這些，都離不開(kāi)繪圖．
實(shí)際上繪圖一直是數學(xué)中的一種重要手段，借助圖形，往往可以化繁為簡(jiǎn)，使抽象的對象得到明白直觀(guān)的體現．比如函數的基本性質(zhì)，一個(gè)圖形?？梢允怪荒苛巳?，非常有效．它雖不能代替嚴格的分析與證明，但在問(wèn)題的研究過(guò)程中，可以幫助研究人員節約相當一部分精力．此外，它還可以使計算、證明、建模等的結果得到更明白易懂的表現，有時(shí)，這比科學(xué)論證更有說(shuō)服力．
同時(shí)，數學(xué)的教學(xué)與學(xué)習過(guò)程也離不開(kāi)繪圖．借助直觀(guān)的圖形，?？梢允钩鯇W(xué)者更容易接受新知識．如數學(xué)分析中有不少函數，其解析式著(zhù)實(shí)讓人望而生畏，即使對其性質(zhì)作了詳盡的分析，還是感到難明就里；但如果能看到它的圖形，再配合理論分析，則問(wèn)題可以迎刃而解．又如在幾何的學(xué)習中，會(huì )遇到大量的曲線(xiàn)與曲面，也離不開(kāi)圖形的配合．
傳統的手工作圖，往往費力耗時(shí)，效果也不盡理想．計算機恰恰彌補了這個(gè)不足，使你可以方便地指定各種視角、比例、明暗，從各個(gè)角度進(jìn)行觀(guān)察．
本實(shí)驗通過(guò)對函數的圖形表示和幾個(gè)曲面（線(xiàn)）圖形的介紹，一方面展示它們的特點(diǎn)，另一方面，也將就Matlab軟件的作圖功能作一個(gè)簡(jiǎn)單介紹．大家將會(huì )看到，Matlab 的作圖功能非常強大．
1．平面作圖函數：plot，其基本調用形式：
plot(x,y,s)
以x作為橫坐標，y作為縱坐標．s是圖形顯示屬性的設置選項．例如：
x=-pi:pi/10:pi;
y=sin(x);
plot(x,y,'--rh','linewidth',2,'markeredgecolor','b','markerfacecolor','g')
圖1
在使用函數plot時(shí)，應當注意到當兩個(gè)輸入量同為向量時(shí)，向量x與y必須維數相同，而且必須同是行向量或者同是列向量．
繪圖時(shí)，可以制定標記的顏色和大小，也可以用圖形屬性制定其他線(xiàn)條特征，這些屬性包括：
linewidth 指定線(xiàn)條的粗細．
markeredgecolor 指定標記的邊緣色
markerfacecolor 指定標記表面的顏色．
markersize 指定標記的大?。?/span>
若在一個(gè)坐標系中畫(huà)幾個(gè)函數，則plot的調用格式如下：
plot(x1,y1,s1,x2,y2,s2,……)
2．空間曲線(xiàn)作圖函數：plot3，它與plot相比，只是多了一個(gè)維數而已．其調用格式如下：
plot3(x,y,z,s)．例如：
x=0:pi/30:20*pi;
y=sin(x);z=cos(x);
plot3(x,y,z)
得到三維螺旋線(xiàn)：
圖2
3．空間曲面作圖函數：
（1）mesh函數．繪制彩色網(wǎng)格面圖形．調用格式：
mesh(z)，mesh(x,y,z)和mesh(x,y,z,c)．
其中，mesh(x,y,z,c)畫(huà)出顏色由c指定的三維網(wǎng)格圖．若x、y均為向量，則length(x)=n，length(y)=m，[m,n]=size(z)．
（2）surf在矩形區域內顯示三維帶陰影曲面圖．調用格式與mesh類(lèi)似．
（3）ezmesh用符號函數作三維曲面網(wǎng)格圖．
調用格式：
ezmesh(x,y,z)
其中x = x(s,t), y = y(s,t),z = z(s,t)．畫(huà)圖區域默認為： -2*pi < s < 2*pi 且-2*pi < t < 2*pi.
或者用格式：
ezmesh(x,y,z,[smin,smax,tmin,tmax])
（4）ezsurf用符號函數作三維曲面圖．調用格式與ezmesh類(lèi)似．
（5）sphere畫(huà)球體命令．
4．meshgrid，調用格式：
[x,y]=meshgrid(m,n)，
這里的m，n為給定的向量，可以定義網(wǎng)格劃分區域和劃分方法．矩陣x和矩陣y是網(wǎng)格劃分后的數據矩陣．
5．圖像的修飾與其他函數：
（1）axis equal 控制各個(gè)坐標軸的分度，使其相等；
（2）colormap設置繪圖顏色．
調用格式：
colormap([r g b])
其中r,g,b都是0-1之間的數．
或者用格式：
colormap(s)
s為顏色映像．下面舉幾個(gè)常用的例子：
| 顏色映像 | 相應的顏色系 | 顏色映像 | 相應的顏色系 |
| autumn | 紅黃色系 | hsv | 色調飽和色系 |
| gray | 線(xiàn)性灰色系 | hot | 黑紅黃白色系 |
| cool | 青和洋紅色系 | pink | 柔和色系 |
（3）grid網(wǎng)格函數 grid on添加網(wǎng)格．grid off取消網(wǎng)格．
（4）find找出符合條件的元素在數組中的位置．調用格式：
y=find(條件)
例如：輸入：
a=[4 5 78 121 4 665 225 4 1];
b=find(a>7)
輸出：b =3 4 6 7
數學(xué)分析中，特別是積分部分，我們接觸了不少有趣的函數，由于其中有的不是一一對應的，用上面的方法無(wú)法畫(huà)出它們的圖像，這時(shí)就只能用參數了．
此外還有些圖形只能用參數來(lái)畫(huà)，比如空間曲線(xiàn)，在計算機上不接受“兩個(gè)曲面的交線(xiàn)”這種表示，所以也只能用參數來(lái)實(shí)現．
用參數方式作圖的關(guān)鍵在于找出合適的參數表示，尤其是不能有奇點(diǎn)，最好也不要用到開(kāi)方．所以要找的參數最好是有幾何意義的．當然這也不可一概而論，需要多積累經(jīng)驗．
1．利用函數plot在一個(gè)坐標系中畫(huà)以下幾個(gè)函數圖像，要求采用不同顏色、不同線(xiàn)形、不同的符號標記．函數為：．
程序如下：
t=0:pi/20:2*pi;
x=sin(t);
y=cos(t);
z=sin(2*t);
plot(t, x, '--k*', t, y, '-rs', t, z, ':bo')
圖像如下：
圖3
2．繪制類(lèi)似田螺線(xiàn)的一條三維螺線(xiàn)(方程自己設計)．
程序如下：
t=0:.1:30;
x=2*(cos(t)+t.*sin(t));
y=2*(sin(t)-t.*cos(t));
z=1.5*t;
plot3(x,y,-z) %取 –z 主要是為了畫(huà)圖看起來(lái)更清楚
axis equal
圖像如下：
圖4
3．利用函數，繪制一個(gè)墨西哥帽子的圖形．
程序如下：
[a,b]=meshgrid(-8:.5:8); %先生成一個(gè)網(wǎng)格
c=sqrt(a.^2+b.^2)+eps;
z=sin(c)./c;
mesh(a,b,z)
axis square
圖像如下：
圖5
思考：這里的 eps 是什么？其作用是什么？
4．利用surf繪制馬鞍面圖形（函數為：）．
程序如下：
[x,y]=meshgrid(-25:1:25,-25:1:25);
z=x.^2/9-y.^2/4;
surf(x,y,z)
title('馬鞍面')
grid off
圖像如下：
圖6
5．分別用ezmesh和ezsurf各繪制一個(gè)圓環(huán)面，嘗試將兩個(gè)圓環(huán)面放在一個(gè)圖形界面內，觀(guān)察它們有什么不同之處．
提示：圓環(huán)面的方程為： ，而圓環(huán)面的參數方程為：
程序參見(jiàn)附錄1．
圖像如下：
圖7
6．繪制黎曼函數圖形，加深對黎曼函數的理解．
說(shuō)明：黎曼函數的定義為
程序參見(jiàn)附錄2．
圖像如下：
圖8
1．作出下圖所示的三維圖形：
圖9
提示：圖形為圓環(huán)面和球面的組合.
2．作出下圖所示的墨西哥帽子及其剪裁圖形：
圖10
3．畫(huà)出球面、橢球面、雙葉雙曲面、單葉雙曲面．
4．若要求田螺線(xiàn)的一條軸截面的曲邊是一條拋物線(xiàn)：時(shí)．試重新設計田螺線(xiàn)的參數方程，并畫(huà)出該田螺線(xiàn)．
5．作出下圖所示的馬鞍面（顏色為灰色，并有一個(gè)標題：“馬鞍面”）：
圖11
6．繪制圖8所示的黎曼函數圖形，要求分母的最大值的數值由鍵盤(pán)輸入（提示：使用input語(yǔ)句）．
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