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最近有一個(gè)很有趣的視頻，講述了這樣一件數學(xué)趣事：全體自然數的和是-1/12。
這就是那個(gè)視頻
雖然果殼和知乎上都已經(jīng)有了問(wèn)答，但是數學(xué)語(yǔ)言過(guò)于晦澀，不利于理解，所以我自己寫(xiě)了一份更簡(jiǎn)潔的日志作為闡述，不過(guò)盡量保證了嚴謹。
首先說(shuō)視頻，他是這么證明的：
設
這個(gè)東西等于多少呢？很顯然，這要看你在什么地方停下來(lái)了，如果你停在第奇數個(gè)1上，結果就是1；如果停在偶數個(gè)1上，那結果就是0。既然這樣的話(huà)，那就平均一下好了，它等于1/2?？吹竭@里，你顯然會(huì )覺(jué)得這實(shí)在荒唐愚蠢，但是更“荒唐”的東西還在后面，但新奇的東西也在后面，你最好還是繼續看下去。
好，有了S1=1/2，他又令
那么取兩個(gè)S2錯開(kāi)一位相加，即
則有2S2=S1=1/2，，也就是S2=1/4 ！雖然這讓人很不服氣，但是他接著(zhù)計算
既然S2=1/4，那么我們大功告成了，S=-1/12 ——全體自然數的和是 -1/12 ！
看到這里的時(shí)候，我想幾乎所有人都和我一樣覺(jué)得這實(shí)在是牽強附會(huì )荒唐可笑，但視頻中一再聲稱(chēng)這種算法的意義，所以我翻墻出去做了個(gè)簡(jiǎn)單的研究，得到了這樣的結論：我們確實(shí)可以對全體自然數求和得到 -1/12 ，但這個(gè)和并非我們做加法得到的代數和，而是發(fā)散級數和—— 這個(gè) -1/12 根本就不“ 加 ” 出來(lái)的。于是，下面就是我對這個(gè)問(wèn)題的解釋?zhuān)m然有一些公式，但是都極其簡(jiǎn)單，你可以輕松閱讀不費腦子。
要弄明白這個(gè)問(wèn)題，我們首先要知道什么是“ 級數”以及 “ 發(fā)散級數” ，而這是一個(gè)非常簡(jiǎn)單的問(wèn)題。
隨便找一個(gè)數列，比如等差數列 an=n ，也就是1 、2、3 、4 、5、6 ……
把數列中的每個(gè)元素都用加號連接起來(lái)，就是一個(gè)級數， 其實(shí)就是求總和。對于上面的an，它的級數就是
其中，級數的前n項的和被稱(chēng)作部分和，記作Sn（其實(shí)就是“數列的前n項和”，高考復習翻來(lái)覆去做過(guò)的那個(gè)東西）。
那么只要上過(guò)高中就能意識到，隨著(zhù)n趨于無(wú)窮，級數的部分和Sn有可能趨近于某一個(gè)值，即有極限，比如級數1+1/2+1/4+1/8……，它的部分和就會(huì )不斷趨近于2。這樣的級數稱(chēng)為收斂級數，這個(gè)部分和的極限就是收斂級數的和；
級數的部分和Sn也可能不趨近于某一值，即無(wú)極限。比如1+2+3+4+……，越加越大趨于無(wú)窮；又比如1-1+1-1+……，部分和一會(huì )兒是1一會(huì )兒是0，永遠不會(huì )固定。只要級數的部分和不是越來(lái)越接近某一個(gè)定值，就都是發(fā)散級數。
事情到這里，都是高中數學(xué)就學(xué)過(guò)的內容。很明顯的，在這樣的背景下，一個(gè)發(fā)散級數的和沒(méi)有意義，但是在應用數學(xué)中，尤其是物理學(xué)的數學(xué)應用中，常常被迫需要計算發(fā)散級數的和。于是，數學(xué)家們發(fā)明了很多種算法，在保證收斂級數的和不變的前提下，又讓發(fā)散級數確實(shí)能算出一個(gè)東西來(lái)，這就是發(fā)散級數和，也就是視頻里計算出來(lái)的那個(gè)東西。
但是要注意，視頻里加來(lái)加去的計算只是發(fā)現了發(fā)散級數的和，但并不能給出良性的定義，也就不是嚴格意義上的發(fā)散級數求和，所以千萬(wàn)不要覺(jué)得數學(xué)家和物理學(xué)家是在胡鬧，更不要對科學(xué)的嚴謹產(chǎn)生懷疑。
那么，如何計算發(fā)散級數和呢？
事實(shí)上，發(fā)散級數和有許多種算法，這些方法強度不同，但結果一致，這里先撿一個(gè)最簡(jiǎn)單也最弱的“切薩羅求和”。
恩納斯托·切薩羅（Ernesto Cesàro，1859-1906）
切薩羅求和（Cesàro summation）是意大利數學(xué)家恩納斯托·切薩羅（Ernesto Cesàro）發(fā)明的發(fā)散級數求和法。對于一個(gè)發(fā)散級數
如果tn有極限，那么這個(gè)極限就是發(fā)散級數的和，稱(chēng)為切薩羅和。不難體會(huì )到，切薩羅和本質(zhì)上是在求數學(xué)期望，視頻里輔助用的級數1-1+1-1+……=1/2那個(gè)“平均一下”就是這么來(lái)的。
當n無(wú)窮增大的時(shí)候，分子上的1只有n的一半那么多，所以它顯然是1/2。
這個(gè)乍看怪異的級數和首先由意大利數學(xué)家路易吉·格蘭迪（Luigi Guido Grandi）于1703年發(fā)現，因此被稱(chēng)為格蘭迪級數，當時(shí)被當作一個(gè)佯謬。后來(lái)那個(gè)著(zhù)名流體力學(xué)奠基者，荷蘭數學(xué)家丹尼爾·伯努利（Daniel Bernoulli），以及瑞士的大數學(xué)家萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler）都對它做過(guò)研究，一直都是爭議的焦點(diǎn)。直到19世紀才由切薩羅等人提出了這樣的良好定義。
路易吉·格蘭迪（Luigi Guido Grandi，1761-1742）
萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler，1718–1781）
丹尼爾·伯努利（Daniel Bernoulli，1700-1782）
而到了量子物理時(shí)代，格蘭迪級數及其衍生級數意外的變得有用——這或許讓你聯(lián)想起薛定諤的貓，要么是死（0）要么是活（1），那它就是半死不活（1/2）。但它們的關(guān)系顯然不是這么幼稚簡(jiǎn)單，它被用來(lái)研究量子化的費米子場(chǎng)（費米子包括組成實(shí)體萬(wàn)物的基本粒子，比如電子、質(zhì)子、中子，以及中微子這樣極其重要的基本粒子），它們同時(shí)具有正的和負的本征值。另外在玻色子（比如光子）的研究中，格蘭迪級數也有戲份，比如揭示宇宙中“真空不空”的“卡西米爾效應”
而格蘭迪級數最重要的衍生級數，就是視頻里的另一個(gè)輔助用的級數：
它最早于18世紀中期由歐拉發(fā)現（又是他，而且當時(shí)他已經(jīng)瞎了）。視頻里發(fā)現這個(gè)級數和的時(shí)候錯開(kāi)了一位，但實(shí)際上錯開(kāi)多少位結果都一樣，例如錯開(kāi)兩位：
當然，歐拉這樣的數學(xué)大師是用了更復雜的方法才發(fā)現了它，并被當作另一個(gè)佯謬提出。這個(gè)佯謬直到19世紀80年代初才由剛才的恩那斯托·切薩羅等人研究出了定義良好的計算方法，但是，這個(gè)級數不能直接用上面的切薩羅求和計算，因為tn仍然沒(méi)有極限，需要做一些復雜的擴展，這里就不加說(shuō)明了，或者采用下面灰字部分的 阿貝爾求和也能輕易算出——如果你不想看，不看也可以。
阿貝爾求和（Abel summation）來(lái)自挪威數學(xué)家尼爾斯·阿貝爾（Niels Henrik Abel）在冪級數研究上的總要結果阿貝爾定理（不要介意這個(gè)定理是干什么用的）。
如果|x|<1，且冪級數（也就是級數中的每一項都有一個(gè)指數）
收斂，那么
就是級數
的阿貝爾和。
雖然看上去比較玄，但明白了其中的意思就是“比1小但無(wú)限接近于1”，就能明白就是一個(gè)無(wú)限接近1的數，整個(gè)算法也就不難明白了。
下面再給出一種更簡(jiǎn)單，同時(shí)也更巧妙的算法：
看明白了嗎？把兩個(gè)格蘭迪級數“相乘”（實(shí)際上是一種被稱(chēng)為柯西乘積的數列卷積，但是這兩個(gè)數列的數字實(shí)在簡(jiǎn)單，恰好與直接乘法結果一致），可以用一個(gè)棋盤(pán)格子表示其結果中的每一項，黑色表示1，紅色表示-1，那么斜著(zhù)數一數黑紅格子數，就可以數出1個(gè)黑的、2個(gè)紅的、3個(gè)黑的、4個(gè)紅的……，也就是1-2+3-4+……，所以
有沒(méi)有覺(jué)得很有趣？
現在回到最初的問(wèn)題上來(lái)，“全體自然數的和是-1/12？”
是一個(gè)發(fā)散得非常厲害的級數，不論切薩羅求和還是阿貝爾求和都強度不夠，對它無(wú)能為力。真正給出這個(gè)發(fā)散級數的良性定義的計算方法的，是印度數學(xué)家斯里尼瓦瑟·拉馬努詹（Srinivasa Ramanujan）給出的拉馬努詹求和。但這個(gè)求和非常復雜：
若函數f(x)在x=1處不發(fā)散，那么令
C(0)就是級數的拉馬努詹和了……好吧，恐怕沒(méi)有足夠數學(xué)基礎的人是無(wú)法看懂了，所以我并不打算在這里講述——能看懂的人不需要我這樣的水平來(lái)講；看不懂的人我這樣的水平也講不了。不過(guò)可以簡(jiǎn)單介紹一下拉馬努詹這個(gè)人，因為他是一個(gè)傳奇的數學(xué)神才——天才只是一個(gè)更加優(yōu)秀的常人，但神才是一個(gè)超出常人理解的存在，一個(gè)開(kāi)了外掛的存在。他從沒(méi)有接受過(guò)高等數學(xué)教育，卻僅憑直覺(jué)就能直接發(fā)現驚人的數學(xué)公式，證明他正確工作就甩給天才們了——于是留下了一連串的拉馬努詹猜想，而絕大多數都被證明正確。
斯里尼瓦瑟·拉馬努詹（Srinivasa Ramanujan，1887-1920）
他總能用直覺(jué)和洞察力給出不可思議的數學(xué)公式，比如他發(fā)現：
又如他重病時(shí)，他在劍橋大學(xué)的導師哈代前去探望，哈代說(shuō)：“我乘計程車(chē)來(lái)，車(chē)牌號碼是1729，這數真沒(méi)趣，希望不是不祥之兆?！?拉馬努詹答道：“不，那是個(gè)有趣得很的數?？梢杂脙蓚€(gè)立方之和來(lái)表達而且有兩種表達方式的數之中，1729是最小的?！保?729是1和12的立方和，也是9和10的立方和，后來(lái)這類(lèi)數稱(chēng)為的士數。）說(shuō)完不久，拉馬努詹就病死了……
后來(lái)哈代這樣評價(jià)他：
“他的知識的缺陷和他的深刻一樣令人吃驚。這是一個(gè)能夠發(fā)現模方程和定理的人……直到前所未聞的地步，他對連分數的掌握……超出了世界上任何一個(gè)數學(xué)家，他自己發(fā)現了ζ 函數的泛函方程和解析數論中的很多著(zhù)名問(wèn)題的主導項；但他卻沒(méi)有聽(tīng)說(shuō)過(guò)雙周期函數或者柯西定理，對復變函數只有最模糊的概念……”
拉馬努金的傳奇故事還有很多，這里點(diǎn)到為止，有興趣的同學(xué)可以自行查閱。
除了拉馬努詹求和，全體自然數組成的發(fā)散級數還可以用黎曼ζ 函數計算，這里給出維基百科的頁(yè)面，如果上過(guò)大學(xué)數學(xué)，應該能獲得感性認識。
好，這就是日志的結尾了，重申開(kāi)頭部分提過(guò)的那句話(huà)：全體自然數之和等于-1/12并不是加法游戲搞出來(lái)的代數和，而是將其作為發(fā)散級數，經(jīng)過(guò)嚴謹的定義計算獲得的發(fā)散級數和，只有聲明它是切薩羅和、阿貝爾和、拉馬努詹和或者任何級數和才有意義。而這個(gè)級數和同樣在物理學(xué)中有重要應用，特別是在當代物理的量子論和弦論當中。
另外，還需謹記：數學(xué)和科學(xué)永遠嚴謹，一絲不茍，如果你發(fā)現其中有看似荒唐或者怪異的結論——請先跳出自己常識認知的藩籬，了解其中的深意再做評價(jià)。舉個(gè)最常見(jiàn)的例子，陳景潤證明哥德巴赫猜想時(shí)得出了“任何充分大的偶數都是兩個(gè)自然數的和，一個(gè)質(zhì)因數不超過(guò)1個(gè)（即質(zhì)數），另一個(gè)的質(zhì)因數不超2個(gè)”，簡(jiǎn)稱(chēng)“1+2”，如果一聽(tīng)到這個(gè)簡(jiǎn)稱(chēng)就跑出去說(shuō)“陳景潤證明了1+2=3”，并且藉此說(shuō)“到現在數學(xué)都沒(méi)證明1+1=2”，那就真是太可笑了——我初三的數學(xué)老師就是這么一個(gè)家伙，我很討厭他，因為他欺負我。
另外，本人非數學(xué)專(zhuān)業(yè)，歡迎指正。
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