第一部分有理數知識點(diǎn)梳理
一、有理數的意義
1、 正數和負數
知識點(diǎn)1 負數的引入
正數和負數是根據實(shí)際需要而產(chǎn)生的，隨著(zhù)社會(huì )的發(fā)展，小學(xué)學(xué)過(guò)的自然數、分數和小數已不能滿(mǎn)足實(shí)際的需要，比如一些有相反意義的量：收入200元和支出100元、零上6和零下
等等，它們不但意義相反，而且表示一定的數量，怎樣表示它們呢？我們把一種意義的量規定為正的，把另一種和它意義相反的的量規定為負的，這樣就產(chǎn)生了正數和負數。
用正數和負數表示具有相反意義的量時(shí)，哪種意義為正，是可以任意選擇的，但習慣把“前進(jìn)、上升、收入、零上溫度”等規定為正，而把“后退、下降、支出、零下溫度”等規定為負。
知識點(diǎn)2 正數和負數的概念
（1） 像3、1.5、、584等大于0的數，叫做正數，在小學(xué)學(xué)過(guò)的數，除0以外都是正數，正數比0大。
（2） 像－3、－1.5、、－584等在正數前面加“－”(讀作負)號的數，叫做負數。負數比0小。
（3） 零即不是正數也不是負數，零是正數和負數的分界。
注意：（1）為了強調，正數前面有時(shí)也可以加上“＋”（讀作正）號，例如：3、1.5、也可以寫(xiě)作＋3、＋1.5、＋
。
（2）對于正數和負數的概念，不能簡(jiǎn)單理解為：帶“＋”號的數是正數，帶“－”號的數是負數。例如：－a一定是負數嗎？答案是不一定。因為字母a可以表示任意的數，若a表示的是正數，則－a是負數；若a表示的是0，則－a仍是0；當a表示負數時(shí)，－a就不是負數了（此時(shí)－a是正數）。
知識點(diǎn)3 有理數的有關(guān)概念
（1） 有理數：整數和分數統稱(chēng)為有理數。
注：（1）有時(shí)為了研究的需要，整數也可以看作是分母為1的數，這時(shí)的分數包括整數。但是本講中的分數不包括分母是1的分數。
（2）因為分數與有限小數和無(wú)限循環(huán)小數可以互化，上述小數都可以用分數來(lái)表示，所以我們把有限小數和無(wú)限循環(huán)小數都看作分數。
（3）“0”即不是正數，也不是負數，但“0”是整數。
（2） 整數包括正整數、零、負整數。例如：1、2、3、0、－1、－2、－3等等。
（3） 分數包括正分數和負分數，例如：、、0.6、－、－、－0.6等等。
知識點(diǎn)4 有理數的分類(lèi)
（1） 按整數、分數的關(guān)系分類(lèi)：
（2） 按正數、負數與0的關(guān)系分類(lèi)：
注 通常把正數和0統稱(chēng)為非負數，負數和0統稱(chēng)為非正數，正整數和0稱(chēng)為非負整數（也叫做自然數），負整數和0統稱(chēng)為非正整數。如果用字母表示數，則a>0表明a是正數；a<0表明a是負數；a0表明a是非負數；a0表明a是非正數。
2、 數軸
數與形的第一次聯(lián)姻——數軸，使數與直線(xiàn)上的點(diǎn)之間建立了對應關(guān)系，揭示了數與形的內在聯(lián)系，并由此成為數形結合的基礎。
知識點(diǎn)1 數軸的概念
規定了原點(diǎn)、正方向和單位長(cháng)度的直線(xiàn)叫做數軸
數軸的定義包含三層含義：一，數軸是一條直線(xiàn)，可以向兩端無(wú)限延伸；二，數軸有三要素——原點(diǎn)、正方向、單位長(cháng)度，三者缺一不可；三，原點(diǎn)的選定、正方向的取向、單位長(cháng)度大小的確定，都是根據實(shí)際需要“規定”的（通常取向右為正方向）。
知識點(diǎn)2 數軸的畫(huà)法
（1）畫(huà)一條直線(xiàn)（一般畫(huà)成水平的直線(xiàn)）。
（2）在直線(xiàn)上選取一點(diǎn)為原點(diǎn)，并用這點(diǎn)表示零（在原點(diǎn)下面標上“0”）。
（3）確定正方向（一般規定向右為正），用箭頭表示出來(lái)。
（4）選取適當的長(cháng)度作為單位長(cháng)度，從原點(diǎn)向右，每隔一個(gè)單位長(cháng)度取一點(diǎn)，依次表示為1，2，3……；從原點(diǎn)向左，每隔一個(gè)單位長(cháng)度取一點(diǎn)，依次表示為－1，－2，－3……
注 （1）原點(diǎn)的位置、單位長(cháng)度的大小可根據實(shí)際情況適當選??；
（2）確定單位長(cháng)度時(shí)，根據實(shí)際情況，有時(shí)也可以每隔兩個(gè)(或更多的)單位長(cháng)度取一點(diǎn)，從原點(diǎn)向右，依次表示為2，4，6，……；從原點(diǎn)向左，依次表示為－2，－4，－6，……；
知識點(diǎn)3 數軸上的點(diǎn)與有理數的關(guān)系
所有的有理數都可以用數軸上的點(diǎn)表示。正有理數可以用原點(diǎn)右邊的點(diǎn)表示，負有理數可以用原點(diǎn)左邊的點(diǎn)表示，零用原點(diǎn)表示。
知識點(diǎn)4 利用數軸比較有理數的大小
在數軸上表示的兩個(gè)數，右邊的數總比左邊的數大。正數都大于0；負數都小于0；正數大于一切負數。
3、相反數
知識點(diǎn)1 相反數的概念
（1）相反數的幾何定義：在數軸上原點(diǎn)的兩旁，到原點(diǎn)距離相等的兩個(gè)點(diǎn)所表示的數，叫做互為相反數。如下圖，4與－4互為相反數，與－互為相反數。
（2）相反數的代數定義：只有符號不同的兩個(gè)數（除了符號不同以外完全相同），我們說(shuō)其中一個(gè)是另一個(gè)的相反數，0的相反數是0。
知識點(diǎn)2 相反數的表示方法
一般地，數a的相反數是－a。這里a表示任意的一個(gè)數，可以是正數、負數、或者0。
知識點(diǎn)3 多重符號的化簡(jiǎn)
（1）在一個(gè)數的前面添上一個(gè)“＋”號，仍然與原數相同，如＋5＝5，＋（－5）＝－5。
（2）在一個(gè)數的前面添上一個(gè)“－”號，就成為原數的相反數。如－（－3）就是－3的相反數，因此，－（－3）＝3。
4、絕對值
知識點(diǎn)1 絕對值的概念
（1）絕對值的幾何定義：一個(gè)數a的絕對值就是數軸上表示數a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離，數a的絕對值記作“”
（2）絕對值的代數定義：一個(gè)正數的絕對值是它本身；一個(gè)負數的絕對值是它的相反數；0的絕對值是0。即
知識點(diǎn)2 兩個(gè)負數大小的比較
因為兩個(gè)負數在數軸上的位置關(guān)系是：絕對值較大的負數一定在絕對值較小的負數的左邊，所以，兩個(gè)負數，絕對值大的反而小。
比較兩個(gè)負數大小的方法是：一、先分別求出這兩個(gè)負數的絕對值；二、比較這兩個(gè)絕對值的大??；三、根據“兩個(gè)負數，絕對值大的反而小”做出正確的判斷。
知識點(diǎn)3 有理數大小的比較法則
正數都大于0，負數都小于0，正數大于一切負數，兩個(gè)負數，絕對值大的反而小。
二、有理數的運算
1、有理數的加法
知識點(diǎn)1 有理數的加法
把兩個(gè)有理數合成一個(gè)有理數的運算叫做有理數的加法。
相加的兩個(gè)有理數有以下幾種情況：（1）兩數都是正數；（2）兩數都是負數；（3）兩數異號，即一個(gè)是正數，一個(gè)是負數；（4）一個(gè)是正數，一個(gè)是0；（5）一個(gè)是負數，一個(gè)是0；（6）兩個(gè)都是0。
知識點(diǎn)2 有理數加法法則
（1）同號兩數相加，取相同的符號，并把絕對值相加。
（2）絕對值不相等的異號兩數相加，取絕對值較大的加數的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值?；橄喾磾档膬蓚€(gè)數相加得0。
（3）一個(gè)數同0相加，仍得這個(gè)數。
知識點(diǎn)3 有理數加法的運算定律
（1）加法交換律：。
（2）加法結合律：。
2、有理數的減法
知識點(diǎn)1 有理數減法的意義
有理數減法的意義與小學(xué)學(xué)過(guò)的減法的意義相同。已知兩個(gè)加數的和與其中的一個(gè)加數，求另一個(gè)加數的運算，叫做減法。減法是加法的逆運算。
知識點(diǎn)2 有理數減法法則
減去一個(gè)數，等于加上這個(gè)數的相反數，即
3、有理數的加減混合運算
知識點(diǎn)1 有理數加減法統一成加法的意義
對于有理數的加減混合運算中的減法，可以根據有理數減法法則將減法轉化為加法。這樣一來(lái)，就將原來(lái)的混合運算統一為加法運算。統一成加法以后的式子是幾個(gè)正數或負數的和的形式，有時(shí)，我們把這樣的式子叫做代數和。
知識點(diǎn)2 有理數加減混合運算的方法
一、運用減法法則將有理數混合運算中的減法轉化為加法。
二、運用加法法則、加法交換律、加法結合律簡(jiǎn)便運算。
4、有理數的乘法
知識點(diǎn)1 有理數乘法法則
兩數相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘。任何數同0相乘，都得0。
知識點(diǎn)2 有理數乘法法則的推廣
（1）幾個(gè)不等于0的數相乘，積的符號由負因數的個(gè)數決定。當負因數有奇數個(gè)時(shí)，積為負；當負因數有偶數個(gè)時(shí)，積為正。
（2）幾個(gè)數相乘，只要有一個(gè)因數為0，積就為0。
知識點(diǎn)3 有理數乘法的運算定律
（1）乘法交換律：。
（2）乘法結合律：。
（3）分配律：。
5、有理數的除法
知識點(diǎn)1 倒數的概念
乘積是1的兩個(gè)數互為倒數。
由于，所以當a是不為0的有理數時(shí)，a的倒數是。若a、b互為倒數，則ab＝1。
知識點(diǎn)2 有理數除法法則
一、除以一個(gè)數等于乘以這個(gè)數的倒數。即。
二、兩數相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除。0除以任何一個(gè)不等于0的數，都得0。
6、有理數的乘方
知識點(diǎn)1 有理數乘方的意義
求n個(gè)相同因數的積的運算，叫乘方。記作“”。乘方的結果叫做冪。在中，叫做底數，n叫做指數， 讀作的n次方，。
知識點(diǎn)2 乘方運算的符號法則
正數的任何次冪都是正數；負數的奇次冪是負數，負數的偶次冪是正數。
知識點(diǎn)3 科學(xué)計數法
把一個(gè)大于10的數記成“”的形式，其中a是整數數位中只有一位的數，這種記數法叫做科學(xué)記數法。如42 000 000＝4.2×。
7、有理數的混合運算
知識點(diǎn)1 有理數混合運算的運算順序
先算乘方，再算乘除，最后算加減，如果有括號，就先算括號里面的。
第二部分 有理數計算練習題
計算的關(guān)鍵：審題，判斷運算順序，然后再根據法則進(jìn)行計算。一定要注意符號問(wèn)題。
（－12）＋13 －3－（－2） （－3.5）－2 8－（9－10）
3－［(－2)－10］ （+3.41）－（－0.59）
(－0.6)+1.7+(+0.6 )+(－1.7 )+(－9 ) －3－4＋19－11＋2
8＋（－）－5－（－0.25）
（－7
（－2
－＋（＋） 90－（－3）
－0.5－（－3）＋2.75－（＋7）
(-16)+(+20)-(+10)-(-11);
－24＋3.2-16-3.5+0.3;
0-1+2-3+4-5;
–4.2+5.7-8.4+10.2; –30-11-(-10)+(-12)+18;
(-7)-(-10)+(-8)-(+2);
; ;
(-1.2)+[1-(-0.3)] (-12)-(+8)+(-6)-(-5) (+3.7)-(-2.1)-1.8+(-2.6).
(－5．3)＋(＋0．2)＋(－0．7)＋(＋9．8) (－)＋(－5．8)＋(＋)＋(－2)
(－0．32)＋(＋9)－(－10．32)－(＋0．4) －3＋－6；
30
(－3)2－(－3)3－22＋(－2)2 (-2)2-(-52)×(-1)5+87÷(-3)×(-1)4．
-9+5×(-6)-(-4)2÷(-8)； 2×(-3)3-4×(-3)+15．
3＋50÷22×()－1
(-6)-(+5)+(-9)+(-4)-(-9) (-22)÷14×(-4)
22+(2-5)×3×[1-(-5)2]
3.28-4.76+1-； 2.75-2-3+1； 42÷（-1）-1÷（-0.125）;
(-48) ÷82-(-25) ÷(-6)2; -+()×(-2.4).
-23÷1×（-1）2÷（1）2 -14-（2-0.5）××[()2-()3];
-1×[1-3×(-)2]-( )2×(-2)3÷(-)3 (0.12+0.32) ÷[-22+(-3)2-3×];
-6.24×32+31.2×(-2)3+(-0.51) ×624.
-32- {1+[]×(-2)4}÷(-);
（-6）-（+6）-（-7） 0-（+8）+（-27）-（+5）
(-)+(+0.25)+(-)-(+) (+3)+(+4)-(+1)+(-3)
10-[（-8）+（-3）-（-5）] -1-（6-9）-（1-13）
[1.8-(-1.2+2.1)-0.2]-(-1.5) -︱--（-）︱-︱（-）+（-）︱
-30-(+8)-(+6)-(-17) ︱-15︱-(-2)-(-5)
-0.6+1.8-5.4+4.2 - -+-
-0.8-(-0.08)-(-0.8)-(-0.92)-(-9) - ︱-0.25︱+-(-0.125)+ ︱-0.75︱
(3-6-7)-(-12-6+5-7) (-2.5)+(+)+(-)+(+1)
6-9-9-[4-8-(7-8)-5] ︱(-)+(-)︱(-)+︱
3+22×(－) -72十2×(－3)2＋(－6)÷(－)2
(－3)2×[ ] 8十(－3)2×(－2) 100÷(－2)2－(－2)÷(－)
－34÷2×(－)2 9-10+21； （+）-（-）-（+）；
-（-）- ； ×
17- 8÷（-2）+ 4×（-5） -2÷(-5)×(-)
(-)-； -×(-3)+(+18)÷(+3)-(-2)；
-1 -()×(+78)； ÷.
-6÷(-3×2) 17-8÷(-2)+4×(-3)
32-50÷(-2)2×(+0.1)-1
–13-[1-(1-0.5×43)] (-8÷23)-(-8÷2)3
–55+7+99-87
(-5) ×(-2)2 -32×(-3)2
-32÷2÷2 20-5÷(-15)
(-12) ×5+(-1) ×52 - 12×5+(-1×5)2
(-2)2-(-52) ×(-1)5-87÷(-3) ×(-1)4 –14-(1-0.5) ××[2-(-3)2]
(-1)8- (1+2-3)×(-24)
12＋7－5－30＋2
4－5×（－）3 －3－[－5＋（1－0.2×）÷（－2）]
－14－×[ 2－（－3）2 ] －8－3×（－1）3－（－1）4
（－0.1）3－ {0.85－[12＋4×（3－10）]}÷5
（+3.41）－（－0.59）
(－0.6)+1.7+(+0.6 )+(－1.7 )+(－9 ) －3－4＋19－11＋2
－0.5－（－3）＋2.75－（＋7）
（1－１－＋）×（－24） 3＋50÷2×()－1
8＋(―)―5―(―0.25) ―82+72÷36
7×1÷(－9＋19) 25×+(―25)×＋25×(－)
(－79)÷2＋×(－29) (－1)3－(1－)÷3×[3―(―3)2]
(– 1) － (＋6)－2.25＋
－3÷（－1）×（－4）
(+12)+(-14)-（-56）+(-27)
(-12)÷4×(-6)÷2
2
（+12）-（-18）+（-7）-（+15） （-3）×（-9）－8×（-5）
－63 ÷7＋45÷（－9）
100
4×(-3)2+6; (-)×(-8+-);
(-3)3 ×0.5-(-1.6)2 ÷(-2); -32×(-3)2-(-3)3÷3;
(- 1+)×(-42); -×[-32×(-)2-2];
-22÷(-2)×(-)2; 16÷(-2)3-(-)×(-4);
–3-4+19-11+2; -3×(-2)3-(-1)1001÷0.5.
(-12.8)-(+13.2)+(-7.3)-2.5
100
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