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為什么要進(jìn)行期權定價(jià)？

期權交易最重要的是權利金價(jià)格。期權定價(jià)的過(guò)程，是根據影響期權價(jià)格的因素，通過(guò)適當的數學(xué)模型，去分析模擬期權價(jià)格的市場(chǎng)變動(dòng)情況，最后獲得合理理論價(jià)格的過(guò)程。由于期權交易中期權市場(chǎng)價(jià)格有時(shí)會(huì )偏離公允價(jià)格，無(wú)論是一般投資者還是做市商，都需要有自己的判斷，利用模型獲得較為合理的定價(jià)，交易所也需要發(fā)布理論上的合理價(jià)位供大家參考。

通過(guò)定價(jià)模型可以給出期權價(jià)格的風(fēng)險指標，從而用于控制投資風(fēng)險。期權定價(jià)模型主要是基于無(wú)套利均衡定價(jià)理論，基本思想是指如果市場(chǎng)上存在無(wú)風(fēng)險的套利機會(huì )，那么市場(chǎng)處于不均衡狀態(tài)，套利的力量會(huì )推動(dòng)市場(chǎng)重新均衡，而套利機會(huì )消除后的均衡價(jià)格即是市場(chǎng)的真實(shí)價(jià)格。

期權定價(jià)模型需要的主要參量有標的物價(jià)格，行權價(jià)格，標的物價(jià)格的波動(dòng)率，期權合約的到期時(shí)間，無(wú)風(fēng)險利率。這些參量是影響期權價(jià)格的主要因素。

看漲與看跌期權定價(jià)原理介紹

1. 看漲期權定價(jià)原理

權利金=內涵價(jià)值+時(shí)間價(jià)值

內涵價(jià)值取決于標的物價(jià)格與執行價(jià)格，這是確定的；時(shí)間價(jià)值取決于剩余時(shí)間，利率，波動(dòng)率等因素，是不確定的；為期權定價(jià)，主要是研究期權的時(shí)間價(jià)值。

我們定義下面的符號：

    S:表示標的物價(jià)格；

    X:表示期權的執行價(jià)格；

    C:表示看漲期權的價(jià)格；

    P:表示看跌期權的價(jià)格；

    T:表示期權到期日。

看漲期權權利金上限：C≤S

 如果C≥S，則若看漲期權到期作廢，其買(mǎi)方的損失將超過(guò)直接購買(mǎi)標的物的損失，這便失去了期權投資的意義。投資者便不如直接購買(mǎi)標的物，損失更小而成本更低。所以權利金不應該高于標的物的市場(chǎng)價(jià)格。即通過(guò)期權方式取得標的物存在的潛在損失不應該高于直接從市場(chǎng)上購買(mǎi)標的物所產(chǎn)生的最大損失。

看漲期權價(jià)格下限：C=Max[0,(S-X)]

證明：期權未到期時(shí)是含有時(shí)間價(jià)值的，所以期權權利金的下限一定出現在到期日T，此時(shí)沒(méi)有時(shí)間價(jià)值

如果在到期日T，標的物價(jià)格S≤執行價(jià)格X，那么以執行價(jià)格行使看漲期權沒(méi)有價(jià)值，即C=0；

如果在到期日T，標的物價(jià)格S≥執行價(jià)格X,那么以執行價(jià)格行使看漲期權價(jià)值就等于標的物與期權執行價(jià)格的差，即C=S-X。

綜上，看漲期權在到期日的價(jià)值，也就是看漲期權的價(jià)格下限可以表示為：C=Max[0,(S-X)]

2. 看跌期權定價(jià)原理

看跌期權權利金上限：P≤X

如果P>X，則若看跌期權到期行權，看跌期權多頭頭寸在執行價(jià)格X處轉化為標的物空頭，此時(shí)理論上的最大盈利（標的物價(jià)格跌至零）為X，沒(méi)有彌補權利金P的損失，失去了投資期權的意義，所以看跌期權權利金上限為執行價(jià)格X

看跌期權價(jià)格下限：P=Max[0,(X-S)]

證明：期權未到期時(shí)是含有時(shí)間價(jià)值的，所以期權權利金的下限一定出現在到期日T，此時(shí)沒(méi)有時(shí)間價(jià)值

如果在到期日T,標的物價(jià)格高于期權的執行價(jià)格，那么，以執行價(jià)格行使看跌期權就沒(méi)有價(jià)值，即P=0；

如果在到期日T,標的物價(jià)格低于期權的執行價(jià)格，那么，以執行價(jià)格行使看跌期權，價(jià)值就等于執行價(jià)格與標的物價(jià)格的差，即P=X-S。

綜上，看跌期權在到期日的價(jià)值，也就是看跌期權的價(jià)格下限可以表示為：P=Max[0,(X-S)]

二叉樹(shù)期權定價(jià)模型

二叉樹(shù)期權定價(jià)模型是常用的期權定價(jià)模型之一，該模型由約翰·考克斯（John C.COX）、羅斯（S.A.Ross）以及馬克·魯賓斯坦因（Mark Rubinstein）在1979年提出。

二叉樹(shù)模型是標的資產(chǎn)價(jià)格的變化只存在兩種可能性，也就是說(shuō)標的資產(chǎn)的價(jià)格只存在兩種可能的新價(jià)格。

二叉樹(shù)模型可以用來(lái)對典型的不支付紅利的歐式期權定價(jià)，也可將模型修改后對美式期權及支付紅利期權定價(jià)。

二叉樹(shù)期權定價(jià)模型假設條件：

    交易成本與稅收為零

    投資者可以以無(wú)風(fēng)險利率借入或貸出資金

    市場(chǎng)無(wú)風(fēng)險利率為常數

    股票的波動(dòng)率為常數

    不支付股票紅利

模型中使用的符號假定：

 S：期權標的資產(chǎn)的即期價(jià)格

 X:：期權執行價(jià)格

 T：期權的到期時(shí)間

：在T時(shí)刻標的資產(chǎn)的價(jià)格

  σ：期權標的資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)的標準差

 r: 在T時(shí)刻到期的投資的無(wú)風(fēng)險利率（r>0）

 c: 看漲期權的價(jià)格

 p: 看跌期權的價(jià)格

1. 一階段二叉樹(shù)模型

一階段的含義

標的資產(chǎn)的價(jià)格變化從一個(gè)給定的價(jià)格開(kāi)始，在期權到期時(shí)價(jià)格變化為一個(gè)新的價(jià)格。在這里我們定義一個(gè)階段后，標的資產(chǎn)價(jià)格上升至或者下降至，并且期權是歐式期權，也就是期權只有到期時(shí)才能行權。

一階段二叉樹(shù)模型構造

我們首先構造一個(gè)看漲期權，假設標的資產(chǎn)價(jià)格上升至

一階段二叉樹(shù)模型

現在我們定義標的資產(chǎn)價(jià)格的變化，我們定義兩個(gè)參數，u表示標的資產(chǎn)價(jià)格上升,d表示資產(chǎn)價(jià)格下降：

構造一個(gè)無(wú)風(fēng)險對沖組合，這個(gè)投資組合由標的資產(chǎn)和一份賣(mài)出的看漲期權組成。此時(shí)我們買(mǎi)入   n數量的標的資產(chǎn)，該投資組合的價(jià)值為H，這里H=nS-c，這反映了我們擁有數量的價(jià)格為S的標的資產(chǎn)，同時(shí)我們賣(mài)出一份看漲期權。一階段后該投資組合的價(jià)值為H+或者H-：

由于該組合為無(wú)風(fēng)險的對沖組合，所以無(wú)論標的資產(chǎn)價(jià)格如何變動(dòng)，組合的價(jià)值都是不變的，它們都是按照無(wú)風(fēng)險利率增長(cháng)，因此

最終我們得到：

其中：

我們發(fā)現期權的即期價(jià)格為兩種可能期權價(jià)格

同理可以得到一階段看跌期權的公式：

2. 二階段二叉樹(shù)模型

一階段二叉樹(shù)模型中，資產(chǎn)價(jià)格變化只有兩個(gè)結果，我們現在延伸模型至更加現實(shí)的情況，即資產(chǎn)價(jià)格變化多于兩個(gè)結果，從而衍生出二階段，三階段等二叉樹(shù)模型，但基本方法和一階段并無(wú)區別，在此我們不在贅述。

B-S期權定價(jià)模型

B-S期權定價(jià)模型，即Black-Scholes-Merton期權定價(jià)模型(Black-Scholes-Merton Option Pricing Model)，翻譯為布萊克—斯克爾斯期權定價(jià)模型。為包括股票、債券、貨幣、商品在內的新興衍生金融市場(chǎng)的各種以市價(jià)價(jià)格變動(dòng)定價(jià)的衍生金融工具的合理定價(jià)奠定了基礎。

1. 布萊克-斯科爾斯期權定價(jià)方法的基本思想

期權價(jià)格及其所依賴(lài)的標的資產(chǎn)價(jià)格都受同一種不確定因素影響，他們假設的資本價(jià)格

2. 布萊克-斯科爾斯有一系列的假設條件

• 股票價(jià)格服從對數正態(tài)概率分布，股票預期收益率與價(jià)格波動(dòng)率為常數

• 無(wú)風(fēng)險利率是已知的并且保持不變

• 期權有效期內沒(méi)有紅利支付

• 不存在無(wú)風(fēng)險套利機會(huì )

• 證券交易為連續進(jìn)行

• 投資者能夠以同樣的無(wú)風(fēng)險利率借入和借出資金

• 沒(méi)有交易成本與稅收，所有證券均可無(wú)限可分

3. 布萊克-斯科爾斯期權基本定價(jià)公式

在以上假設的基礎上，布萊克-斯科爾斯給出以下公式：

從理論上說(shuō)，布萊克-斯科爾斯期權定價(jià)公式只有在利率r為常數時(shí)才正確。實(shí)踐中，公式中采用的利率r等于期限為T(mén)的無(wú)風(fēng)險利率。

4. 布萊克-斯科爾斯模型的優(yōu)越性

首先，模型中包含的變量均是可以觀(guān)察或者是估計的；

其次，模型體現的創(chuàng )新思想是期權價(jià)格與標的資產(chǎn)的期望收益無(wú)關(guān)，即風(fēng)險中性定價(jià)。期權價(jià)格不依賴(lài)于投資者的風(fēng)險偏好，簡(jiǎn)化了期權的定價(jià)。

布萊克-斯科爾斯定價(jià)理論近40年來(lái)獲得了巨大發(fā)展，應用于除股票外的其他衍生工具期權定價(jià)，包括相應的計算公式、相同的方法被應用到貨幣期權、期貨期權、利率期權等領(lǐng)域。

影響期權價(jià)值的重要因素

標的價(jià)格對于期權價(jià)值的影響

標的的價(jià)格是對于期權機制影響最大的因素之一。當標的的當前價(jià)格高于行權價(jià)格時(shí)，標的價(jià)格的波動(dòng)會(huì )直接影響到期權的內在價(jià)值，而標的價(jià)格的波動(dòng)同樣會(huì )影響到標的價(jià)格在未來(lái)時(shí)間里的價(jià)格分布預期進(jìn)而影響到期權的時(shí)間價(jià)值。

通常，我們用指標Delta來(lái)衡量標的價(jià)格的變動(dòng)對于期權價(jià)值的影響程度，Delta=期權價(jià)值的變動(dòng)/標的價(jià)格的變動(dòng)。

假設期權標的價(jià)格上漲1元，期權的理論價(jià)值上漲0.5元，則我們認為該期權的Delta=0.5.一般而言，看漲期權的delta值在0-1之間，通常平價(jià)期權的delta值在0.5附近，期權的價(jià)內程度越高，則delta值約接近于1，價(jià)外程度越高，則delta值越接近于0.從通俗的角度理解，一個(gè)行權價(jià)為0的期權，基本上可以認為它的波動(dòng)與股價(jià)波動(dòng)完全相同，而一個(gè)行權價(jià)極度高于股票現價(jià)，不可能在期權期限內到達行權價(jià)之上的期權則可以認為是一張廢紙，價(jià)值為0不會(huì )隨著(zhù)股價(jià)波動(dòng)而變化?？纯掌跈嗟腄elta值也存在類(lèi)似規律。如下圖所示：

假設一個(gè)行權價(jià)為10元，標的隱含波動(dòng)率為30%，剩余期權為1年，當期利率為年化4%的歐式看漲期權，在不同價(jià)格下，其股價(jià)上漲1%所對應的期權價(jià)值的變動(dòng)幅度如下表：

如上表所示，隨著(zhù)標的價(jià)格的下降，投資期權的實(shí)際杠桿率不斷上升，投資高度價(jià)外期權可以獲得很高的投資杠桿。但是需要注意的是，高度價(jià)外期權的風(fēng)險同樣很高，一旦投資者認為股價(jià)已經(jīng)不可能到達行權價(jià)之上，期權的價(jià)格可能快速下跌接近于0，成為一張廢紙。此外，由于價(jià)外期權的價(jià)值均為時(shí)間價(jià)值，因此投資者持有期權期間的時(shí)間價(jià)值損耗同樣十分嚴重。

期權價(jià)值對于隱含波動(dòng)率的敏感性

期權的時(shí)間價(jià)值來(lái)自于期權標的價(jià)格波動(dòng)可能帶來(lái)的收益，因此期權標的的波動(dòng)性對于期權的時(shí)間價(jià)值影響很大，若一只個(gè)股由于利好，公司決策等因素導致股價(jià)可能大幅波動(dòng)，其期權的價(jià)值也會(huì )隨之升高。同樣的，若是由于某些基本面因素導致投資者認為標的價(jià)格后期可能走穩，波動(dòng)變小，那么即使期權標的的價(jià)格沒(méi)有下跌，期權的價(jià)值也會(huì )大幅下降。

通常情況下，我們用Vega值來(lái)衡量波動(dòng)率變化對于期權價(jià)值的影響。Vega=期權價(jià)值的變動(dòng)/波動(dòng)率的變動(dòng)。

依然以上述期權為例，當其他條件一定時(shí)，期權標的的波動(dòng)性從30%降低到25%時(shí)，不同價(jià)內價(jià)外程度的期權價(jià)值的變化程度。

可以看到，當期權的價(jià)外程度越高，波動(dòng)率變化帶來(lái)的影響越大，因此，若是預期標的的波動(dòng)率上升，則可以買(mǎi)入高度價(jià)外期權進(jìn)行投機。若是預期波動(dòng)率將下降，則可以考慮賣(mài)空高度價(jià)外的期權。

很容易可知，剩余期限越長(cháng)的期權，受到波動(dòng)率變化的影響越大，而一個(gè)即將到期的期權受波動(dòng)率變化的影響則微乎其微。

Theta值：剩余期限對于期權價(jià)值的影響

期權的剩余期限是期權時(shí)間價(jià)值的重要影響因素。剩余期限越長(cháng)，期權的時(shí)間價(jià)值主要來(lái)自于兩個(gè)方面。一方面時(shí)間價(jià)值來(lái)自于期權收益的不對稱(chēng)性，當標的價(jià)格波動(dòng)至期權行權價(jià)之下時(shí)，期權的收益不會(huì )隨著(zhù)標的價(jià)格繼續下跌而下降。期權的剩余期限越長(cháng)，則期權標的價(jià)格的可能分布區間越廣，這種不對稱(chēng)性所帶來(lái)的收益也越高。另一方面，持有看漲期權的收益類(lèi)似于以一定杠桿買(mǎi)入期權標的，期權的時(shí)間價(jià)值中也包括這部分杠桿的資金成本。在持有期權期間，隨著(zhù)時(shí)間流逝期權的時(shí)間價(jià)值是在不斷地流失的。即使期權標的價(jià)格沒(méi)有發(fā)生變化，期權的價(jià)值也會(huì )不斷地下降。因此，期權的持有方需要考慮持有期權期間的成本。

我們通常用Theta來(lái)衡量期權期限對于期權價(jià)值影響程度的敏感性指標。不同剩余期限的期權，時(shí)間變化對于期權的影響程度也不一樣。仍然以上述期權為例。假設期權存續期內期權一直處于平價(jià)狀態(tài)，隨著(zhù)時(shí)間流逝期權價(jià)值的變化情況?？梢钥吹?，隨著(zhù)剩余時(shí)間的逐漸縮短，期權時(shí)間價(jià)值的流逝速度也逐漸加快。

容易得知，價(jià)外程度越高的期權，由于價(jià)外期權需要在到期前標的價(jià)格達到行權價(jià)之上才能有行權價(jià)值，因此隨著(zhù)時(shí)間流逝，若其標的價(jià)格未上漲，在期權到期前標的價(jià)格到達行權價(jià)之上的概率也隨之縮小，期權的理論價(jià)值也會(huì )快速縮水，而高度價(jià)內期權由于標的價(jià)格大幅高于行權價(jià)，在一定范圍內，期權的行權收益會(huì )隨著(zhù)標的價(jià)格的下跌而下降，因此其收益的不對稱(chēng)性表現的并不明顯，并且對于價(jià)內期權而言，時(shí)間價(jià)值只是期權的一部分，因此期權的價(jià)內程度越高，期權價(jià)值對于剩余期限的敏感度越低。

與之類(lèi)似的是，期權的隱含波動(dòng)率越高，期權的時(shí)間價(jià)值敏感度越高。

RHO值：利率對于期權敏感度的分析

持有看漲期權可以獲得期權標的價(jià)格上漲的收益，并且看漲期權的價(jià)格低于期權標的的價(jià)格，因此，持有期權期間的盈虧可以看作以杠桿借入資金后持有期權標的的結果(在過(guò)去的文章中我們曾經(jīng)介紹過(guò)如何以股票組合模擬看漲期權的效果)，因此，期權的時(shí)間價(jià)值中也包括這部分杠桿所帶來(lái)的利息價(jià)值。這部分的價(jià)值與市場(chǎng)同期的資金無(wú)風(fēng)險收益率息息相關(guān)。因此利率的變動(dòng)會(huì )對所有期權的價(jià)值產(chǎn)生影響。通常我們用指標Rho來(lái)衡量期權價(jià)值對于利率變動(dòng)的敏感性。

在持有期權期間，若期權的利率上升，則看多期權的價(jià)值上升，看空期權的價(jià)值下降(若投資者無(wú)法使用高杠桿拋空，且拋空后的現金無(wú)法使用時(shí)如此，若拋空證券本身需要投資者投入等同于標的價(jià)格的資金作為抵押，則看空期權的價(jià)值同樣上升。)利率下降，則看多期權價(jià)值下降，看空期權價(jià)值上升。

利率的變動(dòng)對于不同期權的影響程度也有所不同，仍然以之前的例子，假設在其他條件未發(fā)發(fā)生變化的情況下，市場(chǎng)無(wú)風(fēng)險利率從4%上升到了6%，則期權價(jià)值的變化如下表：

可以看到，市場(chǎng)利率上升后對于期權價(jià)值有較大的影響，價(jià)外程度越高的期權，受到利率上升影響越大，而價(jià)內期權受到的影響則相對較小。事實(shí)上，期權對利率變動(dòng)的敏感度rho與期權對標的價(jià)格的敏感度alpha正相關(guān)，alpha越高，則期權的實(shí)際杠桿比例越大，受利率的影響也越大。

通過(guò)上面的分析容易得到另外一個(gè)結論，剩余期限越長(cháng)的期權，對于利率的敏感度越高，隱含波動(dòng)率越高的期權，其價(jià)值與利率的敏感度越低。