0 引 言
隨著(zhù)信息時(shí)代和數字世界的到來(lái)，數字信號處理已成為當今一門(mén)極其重要的學(xué)科和技術(shù)領(lǐng)域。數字信號處理在通信、語(yǔ)音、圖像、自動(dòng)控制、雷達、軍事、航空航天、醫療和家用電器等眾多領(lǐng)域得到了廣泛的應用。在數字信號處理應用中，數字濾波器十分重要并已獲得廣泛應用。數字濾波器根據其沖激響應函數的時(shí)域特性，可分為兩種，即無(wú)限長(cháng)沖激響應(IIR)濾波器和有限長(cháng)沖激響應(FIR)濾波器。IIR濾波器的特征是具有無(wú)限持續時(shí)間的單位脈沖響應；FIR濾波器的單位脈沖響應只能延續一定時(shí)間，它由于可以很方便地實(shí)現線(xiàn)性相位特性和容易實(shí)現而在工程上得到廣泛應用。FIR數字濾波器的設計方法有多種，如：窗函數設計法、頻率采樣法、最優(yōu)設計法(雷米茲法)等。鑒于現有的文獻多數都是僅介紹設計思想和方法，沒(méi)有從實(shí)際應用和實(shí)現的角度來(lái)考慮多帶FIR濾波器的設計。
FIR濾波器的濾波運算，當輸入序列是有限長(cháng)時(shí)，用FFT快速卷積進(jìn)行計算只要進(jìn)行2次FFT，1次IFFT就可完成線(xiàn)性卷積(濾波)計算。對于無(wú)限長(cháng)序列可以采用重疊相加法或者重疊保留法將它化為有限長(cháng)序列卷積運算。而H(k)如果可以在濾波器設計時(shí)直接獲得，則只要1次FFT，1次IFFT就可完成濾波運算，因此稱(chēng)為FIR濾波器FFT快速算法。下面討論FIR濾波器頻域直接計算H(k)的方法。
1 FIR濾波器的頻域設計
1．1 H(k)計算公式
根據FIR濾波器頻域采樣法設計，如果濾波器的類(lèi)型和階數N確定，可以在頻域上確定h(n)的N點(diǎn)FFT，用H1(k)表示。因此，有：
可見(jiàn)，當L為N的整數倍時(shí)只要通過(guò)對H1(k)內插O，再進(jìn)行比例放大，就可得到H(k)。
(2)假設濾波器具有線(xiàn)性相位特性，則H1(k)可用幅度函數和相位函數的采樣表示，記為：
從上面分析可見(jiàn)，只要確定濾波器的階數N和H1(k)(H1k)就可計算出H(k)。下面討論其確定方法。
1．2 濾波器的階數和H1(k)確定方法 在設計一個(gè)濾波器之前，必須首先根據工程實(shí)際的需要確定濾波器的技術(shù)指標。數字濾波器常常被用來(lái)實(shí)現選頻操作，因此，指標的形式一般在頻域中給出幅度和相位響應，并且對于FIR濾波器的設計，相位響應指標通常希望系統在通頻帶中具有線(xiàn)性相位。確定了技術(shù)指標后，就可以建立一個(gè)目標的數字濾波器模型。確定濾波器的階數和H1(k)。
下面以一個(gè)實(shí)際例子來(lái)說(shuō)明計算過(guò)程。假設要設計一個(gè)多帶FIR線(xiàn)性相位數據濾波器的技術(shù)指標為：對模擬信號進(jìn)行采樣的周期T=O.000 1 s，在fp=[1 000，2 000，3 000]Hz處的衰減小于2 dB，在fr=[1 250，1 750，3 250]Hz處的衰減大于40 dB。則：
(1)濾波器的技術(shù)指標
濾波器的技術(shù)指標如下：
通帶截止頻率：
(2)目標濾波器的模型
采用理想濾波器模型作為所要設計的目標濾波器模型。根據指標要求，選用如圖1所示的幅度模型。
(3)確定濾波器的階數和H1(k)
根據過(guò)渡帶的指標要求，由理想濾波器模型的過(guò)渡帶為2π/N可以確定濾波器階數N=40。根據線(xiàn)性相位的約束條件，N為偶數，濾波器的幅度函數要求奇對稱(chēng)，即H1k滿(mǎn)足：H1k=-Hl(N-k)。
由邊界頻率：
可求出邊界頻率采樣點(diǎn)kp=[4，8，12]。
以理想濾波器為目標濾波器進(jìn)行設計，則幅度函數采樣點(diǎn)為：
(4)設計結果性能分析
根據內插公式可求出所設計的濾波器的頻率響應。這里，直接利用Matlab編程分析得到的結果如圖2所示。
由圖2可見(jiàn)，濾波器的邊界頻率符合要求，但是，阻帶衰減僅達到16 dB，因此，必須進(jìn)行優(yōu)化。
1．3 優(yōu)化設計
1．3．1 簡(jiǎn)易優(yōu)化設計法
由內插公式可知，頻率采樣濾波器的頻響在采樣點(diǎn)上等于采樣點(diǎn)的值，因此，在不增加階數的情況下，可通過(guò)修改邊界頻率點(diǎn)的采樣值進(jìn)行優(yōu)化。根據指標要求：通帶衰減小于A(yíng)p=2 dB，阻帶衰減大于A(yíng)r=40 dB。將通帶和阻帶的邊界采樣點(diǎn)的值按式(10)，式(11)計算：
根據式(10)，式(11)，將Ap，Ar代入，利用Matlab編程，相應的語(yǔ)句如下：
計算結果：Hp=0．794 3，Hr=0．010 O，優(yōu)化式(7)得到新的設計結果。進(jìn)行頻率特性分析得到如圖3所示的結果。由圖3可見(jiàn)，濾波器的邊界頻率符合要求，但是，阻帶最小衰減已經(jīng)超過(guò)了20 dB，得到了明顯改善。
l.3．2 自適應搜索優(yōu)化
上述方法簡(jiǎn)單但不是最優(yōu)，達到的性能指標不高。下面利用自適應搜索算法對過(guò)渡點(diǎn)進(jìn)行進(jìn)一步的優(yōu)化。自適應搜索算法采用均方誤差最小準則。對于具有線(xiàn)性相位的FIR數字濾波器，其性能主要取決于幅度函數，因此定義誤差函數E(ω)為：
式中：Hd(ω)為設計的目標濾波器的幅度函數；H(ω)為設計的濾波器的幅度函數，其表達式為：
則均方誤差為：
式中：M為頻域采樣點(diǎn)數，應盡量大，取
設：Hi為過(guò)渡點(diǎn)，η為搜索步長(cháng)。則可以導出該過(guò)渡點(diǎn)調整算法為：
可以證明，O<η<2／N時(shí)，該算法是收斂的。
根據上述算法，利用Matlab編程對過(guò)渡點(diǎn)進(jìn)行自適應調整，得到如圖4所示結果。
由圖4可見(jiàn)，濾波器的邊界頻率符合要求，阻帶衰減超過(guò)40 dB，符合指標要求，但是過(guò)渡帶增大。N增大一倍后，設計結果如圖5所示，濾波器指標滿(mǎn)足要求。
2 結 語(yǔ)
FIR濾波器的FFT快速算法實(shí)現，只要一次的FFT和一次的IFFT就可以實(shí)現，在階數高的情況下，具有很高的運算效率。采用在頻域上直接設計可以很方便地得到所需的濾波器的頻域系數。當L為N的整數倍時(shí)，只要通過(guò)對H1(k)內插0，再進(jìn)行比例放大，就可得到H(k)，因此，可以作為L(cháng)，N選擇時(shí)參考。文中提出的根據所要設計的濾波器的技術(shù)指標來(lái)確定邊界頻率點(diǎn)幅度取樣和自適應搜索算法，可供教學(xué)和科研設計中進(jìn)行濾波器優(yōu)化時(shí)使用。
