三角函數的值域（最值）問(wèn)題，其實(shí)質(zhì)上是對含有三角函數的復合函數的求值，是三角函數基礎知識的綜合應用。這類(lèi)問(wèn)題的解決涉及到問(wèn)題轉換、等價(jià)化歸等常用方法。下面就其類(lèi)型與解法舉例說(shuō)明。
一、一次型：y=asin(ωx+φ)+b型函數
這是一個(gè)基本型，其本質(zhì)是y=at+b，其中t=sin(ωx+φ)的一次函數問(wèn)題，其解法關(guān)鍵是求出t=sin(ωx+φ)的范圍。
例1、求函數y=2sin2x+■+2在x∈0，■上的最值。
解：∵0≤x≤■，∴■≤2x+■≤■，
∴-■≤sin2x+■≤1
∴sin2x+■=1時(shí)，ymax=4；
sin2x+■=-■時(shí)，ymin=1。
二、合一型：
y=asinωx+bcosωx+c型函數
這類(lèi)題目解決的思路是把問(wèn)題化歸為y=asin(ωx+φ)+b的形式，一般而言f(x)max=a+b，f(x)min=-a+b，但若附加了x的取值范圍，最好的方法是通過(guò)圖像加以解決。
例2、在0≤x≤■條件下，求y=cos2x-4sinxcosx-3sin2x的最大值和最小值。
解：利用二倍角余弦公式的變形公式，有y=■-2sin2x-3■
=2(cos2x-sin2x)-1
=2■cos2xcos■-sin2xsin■-1
=2■cos2x+■-1
∵0≤x≤■，■≤2x+■≤■
∴-1≤cos2x+■≤■
綜上所述，
當cos2x+■=■時(shí)，ymax=1
當cos2x+■=-1時(shí)，ymin=-2■-1
三、二次型：y=asin2x+bsinx+c
或y=acos2x+bcosx+c(a≠0)型函數
其解法是令t=sinx或t=cosx，通過(guò)換元化為關(guān)于t的二次函數y=at2+bt+c值域或最值的問(wèn)題，但需要注意新元t的取值范圍。
例3、求函數y=cos2x-3sinx的最大值。
解：y=cos2x-3sinx
=-sin2x-3sinx+1
令t=sinx,t∈-1，1
∴y=-t2-3t+1=-t+■2+■
∴當t=-1時(shí)，ymax=3
四、分式型:如y=■
或y=■(ac≠0)型函數
利用正（余）弦函數的有界性，轉化為以函數y為主元的不等式，是解決這類(lèi)問(wèn)題的最佳方法。
例4.求函數y=■的值域。
解：∵y=■
∴(y+2)sinx=3+2y
∴sinx=■且sinx≤1
∴■≤1
解不等式得y∈-■，-1
五、和、差、積型：
y=a（sinx±cosx）+bsinxcosx+c
sinα+cosα,sinα-cosα,sinαcosα這三者之間有著(zhù)相互制約，不可分割的密切聯(lián)系。sinαcosα是紐帶，三者之間知其一，可求其二。令t=sinx±cosx換元后依題意可靈活使用配方法、重要不等式、函數的單調性等方法來(lái)求函數的最值。同樣需要注意新元t的取值范圍。
例5、已知y=2sinθcosθ+sinθ-cosθ(0≤θ≤π)，求y的最大值、最小值。
解：設t=sinθ-cosθ
=■sinθ-■
又∵0≤θ≤π
∴-■≤θ-■≤■
∴-1≤t≤■
∵2sinθcosθ=1-t2
∴y=-t2+t+1=t-■2+■
當t=■時(shí)，ymax=■；
當t=-1時(shí)，ymin=-1
處理三角函數值域問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是實(shí)現新問(wèn)題向舊問(wèn)題轉化，復雜問(wèn)題向簡(jiǎn)單問(wèn)題轉化，未知問(wèn)題向已知問(wèn)題轉化。應該注意的是求三角函數的最值方法有多種，像配方法、不等式法、數形結合法、導數法等，這里不再贅述。（市實(shí)高徐玲玲）
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