国精品午夜福利视频_ 高中數學(xué)：平面向量的數量積在解析幾何中的應用

在解析幾何中涉及到長(cháng)度、角度、垂直等的諸多問(wèn)題中，如能適當地構造向量，利用向量的數量積的幾何意義和運算法則，將其轉化為向量的運算，往往使問(wèn)題簡(jiǎn)捷獲解。

一、與長(cháng)度有關(guān)的問(wèn)題

通過(guò)向量的數量積可以計算向量的長(cháng)度，這給解決線(xiàn)段長(cháng)度問(wèn)題拓寬了思路，提供了方便。這里常用的公式有：；若，則；若，則A、B兩點(diǎn)的距離公式為。

例1. 在△OFQ中，，＝1，該三角形面積。以O為中心，F為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q，求：（I）用c表示；（II）的最小值及此時(shí)點(diǎn)Q的坐標；（III）最小時(shí)的橢圓方程。

分析：本題重點(diǎn)是對（I）的求解。取圖1的坐標系后設，則可用表示。如何消去，將其轉化為，則是解題的關(guān)鍵。根據面積條件易求；再由條件及可求得，從而可消去，得到的關(guān)于c的表達式。

解：（I）取坐標系如圖1所示。設Q（），又F，則

圖1

，

因為

所以

又，得，

即

所以，故知

于是，得

（II）由（I）知，當且僅當時(shí)，，此時(shí)點(diǎn)Q坐標為（）

（III）設橢圓方程為，由（II）知Q，又點(diǎn)Q在橢圓上，得

所以所求橢圓方程為。

二、與角度有關(guān)的問(wèn)題

設向量都是非零向量，夾角為，則；若，則。以上是解決有關(guān)夾角問(wèn)題的重要公式，稱(chēng)為夾角公式。利用上述公式，就能比較方便、容易地解決涉及角的諸多問(wèn)題。

例2. 給定拋物線(xiàn)，F是C的焦點(diǎn)，過(guò)F的直線(xiàn)l與C相交于A、B兩點(diǎn)，設l的斜充為1，求與夾角的大小。

分析：設出后，不難用韋達定理求出，于是容易求出及，再用夾角公式即可獲解。

解：由焦點(diǎn)F（1，0），，

則，

代入，整理，得

設、，則

于是有＝

所以

所以與夾角的大小為。

例3. 已知兩點(diǎn)M（－1，0）、N（1，0），且點(diǎn)P使，成公差小于零的等差數列。

（I）點(diǎn)P的軌跡是什么曲線(xiàn)？

（II）若點(diǎn)P的坐標為，記為與的夾角，求。

分析：（I）設P（x，y），求出各有關(guān)向量的坐標，利用數量積公式，將題設條件轉化為即所求軌跡方程；（II）求夾角公式，結合（I）知＝0，先求出，進(jìn)而求出。

解：（I）設P（x，y），則M（－1，0）、N（1，0），得

，

＝（2，0）

所以

于是，是公差小于零的等差數列，等價(jià)于

所以點(diǎn)P的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，為半徑的右半圓（除去兩端點(diǎn)）。

（II）因為點(diǎn)在右半圓上，

所以

則

所以

因為

所以

，

所以。

三、與垂直有關(guān)的問(wèn)題

對于非零向量，有；若，，則。這是體現“垂直”內涵的等式，借此可把解析幾何復雜的位置關(guān)系轉化為純粹的向量運算。所以解析幾何中涉及到垂直問(wèn)題（垂直的判斷或應用），利用這些向量關(guān)系式求解是非常方便的。

例4. 已知直線(xiàn)和圓，問(wèn)是否存在實(shí)數b，使從點(diǎn)A（3，3）發(fā)出的光線(xiàn)被直線(xiàn)l反射后與圓O相切于點(diǎn)？若存在，求出b的值；若不存在，說(shuō)明理由。

分析：本題解法雖多，但利用向量知識求解顯得簡(jiǎn)捷明快。

假設存在這樣的b，則OB垂直于反射線(xiàn)所在直線(xiàn)A'B（A'為A關(guān)于l的對稱(chēng)點(diǎn)），利用的條件便可獲解。

解：假設存在滿(mǎn)足條件的實(shí)數b，易得點(diǎn)A（3，3）關(guān)于直線(xiàn)的對稱(chēng)點(diǎn)A'（3－b，3＋b），則反射光線(xiàn)所在的直線(xiàn)為A'B，如圖2

圖2

因為

，

又

則

解得

所以符合所給條件的實(shí)數b存在，其值為4。

例5. 如圖3，過(guò)拋物線(xiàn)的對稱(chēng)軸上任一點(diǎn)P（0，m），作直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)Q是點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對稱(chēng)點(diǎn)，設P分有向線(xiàn)段所成的比為，試證：。

圖3

分析：欲證得結論，需要分別求出的坐標，為此設，AB：，將其代入拋物線(xiàn)方程后求出，，且易求出各有關(guān)向量坐標及的坐標表示，然后通過(guò)向量運算和向量垂直的充要條件使結論獲證。

證明：依題意設，代入，得

（*）

設，則由（*），得

由點(diǎn)P（0，m）分有向線(xiàn)段所成的比為，得

，從而得

因點(diǎn)Q與點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)對稱(chēng)，則Q（0，－m），從而得：

，，，

于是

所以。

通過(guò)以上各例使我們體會(huì )到：（1）利用向量數量積求解解幾題的一般思路是，把線(xiàn)段或角化為向量表示，并用已知向量表示未知向量，然后通過(guò)向量運算而獲解。（2）利用向量求解具有容易掌握的規律性。

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