最近在寫(xiě)的系列主要是面向高中生和大學(xué)數學(xué)系的本科生們, 希望搭建一座橋梁, 為高中的初等數學(xué)與大學(xué)的近現代數學(xué)建立聯(lián)系, 或許可以給喜歡數學(xué)的學(xué)生一點(diǎn)（未必合適的）引導, 讓他們了解一些近現代數學(xué)尤其是代數學(xué)研究發(fā)展的歷程, 激發(fā)（也許是澆滅）他們學(xué)習數學(xué)的熱情. 之所以選擇這些問(wèn)題, 是因為它們是代數學(xué)發(fā)展的基石, 其發(fā)展歷程富有啟發(fā)性, 能給予學(xué)生們很好的訓練, 讓他們通過(guò)自己的思考去重復前人的發(fā)現, 體會(huì )“再發(fā)現”的樂(lè )趣, 從而領(lǐng)悟數學(xué)思想. 這個(gè)過(guò)程或許有助于他們今后的科研探索. 然而, 十多年的大學(xué)教書(shū)經(jīng)歷告訴我, 上述想法的實(shí)現其實(shí)很難, 因為我們的教育尤其是中學(xué)教育是畸形的, 存在著(zhù)太多的不足, 搞不清先天的和后天的哪個(gè)比重更大. 需要說(shuō)明的是, 以下的思考是基于本人在大學(xué)的教書(shū)經(jīng)驗和教訓作出的, 結合了少許的與中學(xué)老師的交流.
每次教大一的課程, 我都會(huì )在期中考試后讓學(xué)生們寫(xiě)一個(gè)總結, 希望他們能夠反思一下進(jìn)入大學(xué)后的幾個(gè)月的學(xué)習情況. 在日常教學(xué)過(guò)程中, 常常發(fā)現他們身上有太多應試教育的難以磨滅的痕跡, 這導致學(xué)生們明顯不適應大學(xué)課堂. 或許通過(guò)自我反思他們能轉變思維方式, 找到合適于自己的學(xué)習方法. 從學(xué)生的反饋看, 很多人上大學(xué)前對大學(xué)生活完全是陌生的, 上了幾個(gè)月課, 覺(jué)得被大學(xué)騙了, 尤其是“被高中老師騙了”. 大學(xué)的宣傳可能正能量偏多了一點(diǎn), 而可能不止一位高中老師跟學(xué)生們說(shuō)過(guò): 你們苦過(guò)這三年, 上了大學(xué)就輕松了! 然而真正的大學(xué)生活似乎完全不是一回事, 當然不排除在某些大學(xué)或者某些專(zhuān)業(yè)是可能非常輕松的. 在這樣的氛圍里, 學(xué)生們表現出了各種能力的欠缺.
第一種是自理和自控能力不足. 學(xué)生們高考結束后甚至是在獲得保送資格之后就解脫了, 他們用包括撕書(shū)在內的各種舉動(dòng)來(lái)宣泄心中壓抑已久的情緒, 如同一根彈簧被拉伸到彈性限度之外, 再也沒(méi)有了彈性. 進(jìn)入大學(xué)后, 很多學(xué)生對所學(xué)專(zhuān)業(yè)缺乏興趣, 失去奮斗的目標, 關(guān)鍵是沒(méi)有了來(lái)自老師家長(cháng)的壓力, 無(wú)法恢復到高中時(shí)的學(xué)習狀態(tài), 有經(jīng)常打游戲度日的, 也不乏網(wǎng)吧的常駐人口. 在這個(gè)過(guò)程中, 來(lái)自家長(cháng)、老師、輔導員或者同學(xué)的幫助都起不了作用, 一些學(xué)生只能選擇休學(xué)甚至退學(xué). 如果以上還算是個(gè)別情況的話(huà), 普遍情況是在超過(guò)半數的大學(xué)課堂有超過(guò)半數的學(xué)生在低頭看手機,
第二種是主動(dòng)意識不夠, 這表現在很多方面.
首先是不會(huì )自主學(xué)習. 比如有不少學(xué)生就說(shuō)自己除了吃飯睡覺(jué)就是學(xué)習, 但是效率很低, 事倍而功不到一半, 因為他們還是在用高中劃重點(diǎn)的方式學(xué)習數學(xué), 習慣性地把定義、命題和定理作為重點(diǎn)畫(huà)出來(lái), 死記硬背, 而自覺(jué)或不自覺(jué)地過(guò)濾掉數學(xué)概念的背景, 無(wú)視命題、定理等之間存在的內在聯(lián)系. 這就像抗日戰爭中鬼子采用囚籠政策, 當公路、鐵路被破壞后, 只剩下孤零零的炮樓.
其次是沒(méi)有動(dòng)手的意識. 在課堂上, 習慣于被動(dòng)地接受教師課堂講授的知識. 對于課上提出的問(wèn)題, 不善于抓住有限的時(shí)間去思考, 只看不動(dòng), 等著(zhù)老師講解; 或者滿(mǎn)足于自己有的一點(diǎn)想法, 光說(shuō)不練, 真正要寫(xiě)下來(lái)卻破綻百出.
再次是沒(méi)有主動(dòng)交流的意識. 有些學(xué)生也能意識到自己學(xué)習方法的問(wèn)題, 但是由于各種原因, 不會(huì )主動(dòng)求助于老師或者同學(xué). 上課時(shí), 明明沒(méi)有聽(tīng)懂, 也羞于啟齒問(wèn)問(wèn)題. 他們不知道, 如果問(wèn)出來(lái), 哪怕是很初等的問(wèn)題, 也可以迅速地解答自己的疑惑, 從而提高課堂效率.
最重要的還是主動(dòng)探索能力匱乏. 在過(guò)去的十幾年里, 教過(guò)幾屆大一學(xué)生, 也面試過(guò)不少學(xué)生, 中學(xué)生和大學(xué)生都有, 大部分學(xué)生通常會(huì )在兩類(lèi)問(wèn)題上不知所措. 一類(lèi)問(wèn)題是常規的, 比如求一些數列的通項公式, 有的學(xué)生會(huì )套用方法, 如果追問(wèn)一下為什么這個(gè)方法是可行的? 大多數的回答是書(shū)上是這么寫(xiě)的或者老師是這么教的. 大部分學(xué)生沒(méi)有意識去主動(dòng)問(wèn)為什么, 也沒(méi)有主動(dòng)探索一下方法背后的原因. 另一類(lèi)問(wèn)題是開(kāi)放式的, 比如先解釋一個(gè)沒(méi)有接觸過(guò)的概念, 讓學(xué)生們舉一些例子或者做一些簡(jiǎn)單的推理, 很多學(xué)生會(huì )束手無(wú)策, 不知從何下手; 給一些提示, 試圖引導他們去做一些初步的探索, 也會(huì )發(fā)現阻力很大. 惰性在不知不覺(jué)中已經(jīng)形成了.
有句話(huà)是“分, 分, 分, 學(xué)生的命根”, 很準確地刻畫(huà)了中學(xué)生的處境. 現在的大學(xué)里, 學(xué)生們對分數的關(guān)注度也到了一個(gè)前所未有的高度. 在這一點(diǎn)上竟然有這樣驚人的一致, 著(zhù)實(shí)令人詫異! 然而在實(shí)質(zhì)性的教育層面上, 國內的中學(xué)教育與大學(xué)教育存在很大的不同, 兩者如同四輪馬車(chē)與高鐵一樣難以銜接. 受專(zhuān)業(yè)所限, 我只就我所了解的數學(xué)教育進(jìn)行探討, 其他學(xué)科不便置喙. 每年都有幾百萬(wàn)學(xué)生進(jìn)入大學(xué), 需要學(xué)習令不少人頭疼的高等數學(xué), 其中有數萬(wàn)名學(xué)生進(jìn)入數學(xué)院系, 要系統學(xué)習數學(xué)分析、高等代數、解析幾何、抽象代數、常微分方程等數十門(mén)專(zhuān)業(yè)性很強的數學(xué)課程. 大學(xué)數學(xué)與高中數學(xué)有顯著(zhù)的不同, 這可能出乎很多大學(xué)新生的意料之外, 以至于一些高中（或者高考）時(shí)表現很優(yōu)秀的學(xué)生也非常不適應.
從教學(xué)內容上看, 中學(xué)教材采用模塊化, 知識點(diǎn)比較散, 幾乎涵蓋了數學(xué)的所有分支. 廣度有了, 自然不能深入, 每個(gè)知識點(diǎn)都是淺嘗則止, 所以看起來(lái)比較直觀(guān)易懂, 能力強一些的學(xué)生看看書(shū)可能就會(huì )了. 但深度不夠導致一個(gè)很大的弊端, “高中的數學(xué)知識是欠邏輯的”（學(xué)生的話(huà)）, 也就是知識點(diǎn)之間缺乏聯(lián)系, 本該有的一些聯(lián)系被距離遙遠的模塊徹底淡化. 而大學(xué)數學(xué)就系統得多, 中學(xué)課本里的大部分章節都是大學(xué)數學(xué)的一門(mén)課或者一個(gè)研究方向, 甚至一個(gè)專(zhuān)業(yè). 每門(mén)課都集中于一個(gè)數學(xué)分支, 嚴密抽象, 理論性強, 需要學(xué)生有較強的邏輯推理能力. 課程內容都有足夠的深度, 既自成體系, 有上下關(guān)聯(lián). 有人說(shuō), 大學(xué)里一周里學(xué)到的數學(xué)內容比高中三年學(xué)到的都多, 可能有點(diǎn)夸張, 換成一個(gè)學(xué)期就應該沒(méi)有爭議了.
從教師的講課方式上看, 兩者大相徑庭. 中學(xué)數學(xué)內容比較少, 老師們通常采用的是“一停, 二看, 三通過(guò)”的原則（不一定準確）: 講完一個(gè)知識點(diǎn), 中學(xué)老師都會(huì )停下來(lái), 給學(xué)生足夠的時(shí)間消化吸收, 還要輔之以一定的例題和練習. 然后看看學(xué)生們掌握的情況, 根據需要不斷地重復教學(xué), 用大量的題目讓學(xué)生們課后反復練習, 還有各種周考月考. 重復了一定次數以后, 大部分學(xué)生掌握了, 于是繼續下一個(gè)知識點(diǎn). 中學(xué)老師幾乎了解班上所有學(xué)生的特點(diǎn), 有一定的時(shí)間保證可以適當做一些面對面的輔導. 而大學(xué)課程如果不是水課的話(huà), 一般都是節奏快, 知識容量大. 大學(xué)老師會(huì )不斷向學(xué)生灌輸新的知識, 一般不會(huì )停下來(lái)復習, 充其量是在用到某個(gè)學(xué)過(guò)的知識點(diǎn)時(shí)提一下, 但也只能蜻蜓點(diǎn)水, 點(diǎn)到為止.大學(xué)的師和學(xué)生的關(guān)系要比中學(xué)的遠了許多. 一個(gè)學(xué)期下來(lái), 任課教師叫不出幾個(gè)學(xué)生的名字這是很正常的; 如果任課教師能叫出班上所有學(xué)生的名字（當然學(xué)生不少于 20 人）, 那反而是一件很奇怪的事情. 大概是作為回應吧, 也有學(xué)生上了一個(gè)學(xué)期的課不知道任課教師的名字, 甚至不知道老師長(cháng)啥樣. 我 2002 年在北大做博士后時(shí)講習題課. 期末考試前有個(gè)學(xué)生去辦公室找我答疑, 見(jiàn)了我的第一句話(huà)是: “請問(wèn)朱老師在嗎?”
從學(xué)生的學(xué)習方式看, 差異很大. 很多學(xué)生都有同樣的體會(huì ): 中學(xué)數學(xué)是刷題刷出來(lái)的, 或者準確地說(shuō), 中學(xué)數學(xué)給他們留下的最深（希望不是全部）的印象是刷題. 學(xué)生們總有做不完的練習題, 其中很大一部分是機械性的重復. 在大量的重復訓練中, 學(xué)生們形成了條件反射, 會(huì )套用一些方法快速做題, 從而能有效應對考試. 然而這種訓練方式的后果是明顯的: 學(xué)生們窮于應付作業(yè), 根本沒(méi)有時(shí)間思考, 或者更嚴重的, 他們根本沒(méi)有產(chǎn)生要思考的念頭! 長(cháng)此以往, 他們的思維能力在退化, 接受新知識的能力也在退化, 因為沒(méi)有足夠的重復次數, 他們學(xué)不明白新知識. 這些都給學(xué)生的大學(xué)生活帶來(lái)了隱患, 因為大學(xué)數學(xué)一般是刷題刷不出來(lái)的, 很多課程沒(méi)有那么多習題供學(xué)生練習, 很多高年級的選修課的教材根本沒(méi)有課后練習! 有人說(shuō)數學(xué)研究不是玩技巧的, 而是玩概念的, 很有道理. 大學(xué)的很多課程都是數學(xué)家們對一些問(wèn)題感興趣, 提煉出其中共性得到一個(gè)新的概念, 圍繞這個(gè)概念進(jìn)行探索, 逐步建立起一個(gè)新的數學(xué)理論, 原始問(wèn)題在新的理論下一步步獲得解決. 這樣的課程對初學(xué)者是有一定挑戰性的, 光看書(shū)已經(jīng)不容易懂了, 因為他們從書(shū)上看不出或者根本不關(guān)心問(wèn)題的起源和探索路徑, 自然也不明白為什么要講那些看起來(lái)不那么友好的數學(xué)命題. 對大部分學(xué)生來(lái)說(shuō), 課前適當預習, 了解一下課程的框架, 帶著(zhù)問(wèn)題聽(tīng)課效果會(huì )好一點(diǎn), 否則課后復習難度較大. 有的學(xué)生就反映, 復習過(guò)程有時(shí)要花費比老師講課更長(cháng)的時(shí)間.
不得不提一下中美教育的對比. 在這一方面, 仁者見(jiàn)仁, 智者見(jiàn)智. 從學(xué)生平均的數學(xué)能力看, 東風(fēng)壓倒西風(fēng), 比如公認的中國學(xué)生數學(xué)基本功扎實(shí), 而美國學(xué)生常常出現算 2 × 2 也要動(dòng)用計算器的奇葩事. 從頂尖學(xué)生的表現看, 西風(fēng)壓倒東風(fēng).
最近幾年的每年 8 月初都有一件在國內引起廣泛關(guān)注的事情, 那就是國際數學(xué)奧林匹克的結果. 原因很簡(jiǎn)單, 中國隊最近四年都沒(méi)有獲得團體第一, 而之前被碾壓的美國隊有三次獨占鰲頭. 聽(tīng)聽(tīng)美國奧數隊領(lǐng)隊、卡耐基梅隆大學(xué)數學(xué)系教授羅博深（Po-Shen Loh）怎么說(shuō)的吧:“我覺(jué)得最重要的不是比賽的輸贏(yíng)”, “對我而言, 有這個(gè)機會(huì )帶領(lǐng)這些學(xué)生盡情享受數學(xué), 讓更多人喜歡數學(xué)才是最重要的. 我最希望的不是現在催他們做這些奧數題目, 而是讓他們真的學(xué)到一些更有用的東西, 這樣可以讓他們以后有一個(gè)非常好的、非常成功的未來(lái).” 因為他認為, 18 歲不應該是終點(diǎn)而是出發(fā)點(diǎn). 在培訓的過(guò)程中, 羅博深和他邀請來(lái)的各行各業(yè)的其他教練“不僅僅只是教授這些學(xué)生奧數的方法, 而且教他們真正的數學(xué), 這些數學(xué)不只是 IMO 需要用到的”. 教練們也會(huì )和學(xué)生們交流, 奧林匹克數學(xué)競賽這條道路可能會(huì )通向哪里. 大概正是這種以興趣為導向、以未來(lái)為目標的理念和圍繞這種理念的有效行動(dòng)才是美國在近幾年崛起的真正原因, 并且在美國領(lǐng)先于世界的數學(xué)研究隊伍的支持下, 這樣的勢頭是可持續的. 這樣, 一大批對數學(xué)有濃厚興趣的學(xué)生們會(huì )不斷涌現出來(lái), 成為數學(xué)研究領(lǐng)域的生力軍.
美國大學(xué)的數學(xué)研究者們對于學(xué)生包括中學(xué)生的培養的確非常有熱情, 比如一些名校的博士生在暑假期間常常有打工的機會(huì ), 主要任務(wù)是指導一些高中生嘗試做科研. 2011 年, MIT 的 Pavel Etingof 教授與另外六位作者合作出版了一本書(shū), 題目是 Introduction to Representation Theory.
這本書(shū)的內容包括代數、有限群、quiver（箭圖）表示論, 以及范疇論和有限維代數結構理論, 其中的大部分內容在國內高校數學(xué)院系的本科甚至研究生課程中都講不到. 在 Etingof 的主頁(yè)可以找到這本書(shū)的 PDF 文檔. 他在前言中說(shuō), 這本書(shū)是他在 2004 年給其他六位合作者的授課講稿, 而這六位聽(tīng)眾當時(shí)都是高中生! 其中的 Tiankai Liu 應該是華人, 在 2001, 2002, 2004 年三次代表美國隊參加國際數學(xué)奧林匹克都獲得金牌. 還有一位合作者是來(lái)自 South Eugene 高中的 Dmitry Vaintrob, 他在 2006 年獲得面向高中生的 Siemens 競賽的第一名, 論文題目是 The string topology BV algebra, Hochschild cohomology and the Goldman bracket on surfaces, 論文已經(jīng)涉及到很深的數學(xué)理論, 在 Dmitry Vaintrob 的主頁(yè)上也能找到.
再看看我們在做什么? 曾經(jīng)看過(guò)一道競賽訓練題, 其本質(zhì)是把八位數19101112（華羅庚先生的誕生日）分解質(zhì)因數. 很容易找到因數 8, 然后就一籌莫展了. 后來(lái)借助網(wǎng)絡(luò )工具才直到 19101112 = 8×1163×2053. 看到結果有點(diǎn)傻眼了: 有誰(shuí)能只用紙筆得到這個(gè)分解? 后來(lái)發(fā)現自己孤陋寡聞了, 有學(xué)生說(shuō)這種分解質(zhì)因數早就背過(guò)! 細細一想真的極為恐怖: 他們?yōu)槭裁匆尺@個(gè)? 他們又背了多少類(lèi)似的東西?
類(lèi)似的事情大數學(xué)家Euler 做過(guò), 只是要有意義得多, 不可同日而語(yǔ). Fermat 曾猜想形如的數都是素數. 差不多一百年后的 1729 年, Euler 知道了這個(gè)猜想; 三年后, 他終于發(fā)現, 從而否定了Fermat 的猜想. 可以想見(jiàn), 當年 Euler 僅用紙和筆當然還有他那無(wú)與倫比的大腦進(jìn)行演算時(shí)經(jīng)歷了怎樣的難度. 當然, Euler 不是完全用蠻力的, 他摸索出來(lái)一個(gè)高效的方法, 在《How Euler Did Even More》[6]一書(shū)中有一節專(zhuān)門(mén)探討了 Euler 怎么得到上述因式分解的.
無(wú)獨有偶, 與 Euler 齊名的德國數學(xué)家 Gauss 在前人的基礎上猜想: 小于正實(shí)數 的素數個(gè)數與 差不多. Gauss 是在統計了 3 000 000 以?xún)鹊乃財抵蟮贸龅慕Y論. 他的猜想后來(lái)被證明了, 進(jìn)一步的研究（估計的誤差）涉及到更深刻的數學(xué)問(wèn)題.
2007 年, 下面的彩圖曾經(jīng)風(fēng)靡整個(gè)世界, 占據了不少?lài)H主要媒體的重要版面, 甚至出現在一些時(shí)裝上. 這是 John Stembridge 用計算機畫(huà)的圖, 其中有240個(gè)點(diǎn)及一些點(diǎn)之間的連線(xiàn). 它是一個(gè)具有高度對稱(chēng)的數學(xué)研究對象（例外李代數的根系）在平面上的投影, 具有令人震撼的對稱(chēng)美. 然而更讓人吃驚的是那張展現同一個(gè)數學(xué)對象的黑白圖片, 它是 Peter McMullen 在 20 世紀 60 年代用鉛筆在紙上畫(huà)出來(lái)的!
橫亙在高中和大學(xué)之間的是高考這座千仞大山. 南京師大附中的王棟生老師說(shuō),“高考不是一個(gè)好制度, 但是它是目前社會(huì )條件下唯一比較公平的制度”. 在相當長(cháng)的一段時(shí)間內, 高考不太可能做太大的改動(dòng), 中學(xué)教育也不太可能做實(shí)質(zhì)性的改革——當然免不了一些自上而下的折騰. 所以, 中學(xué)教育的問(wèn)題在短時(shí)間內是無(wú)解的. 北大的錢(qián)理群教授退休之后投身中學(xué)教育十余年, 在包括他的母校南京師大附中在內的不少中學(xué)實(shí)踐他的語(yǔ)文教育理念, 結果是“屢挫屢戰, 屢戰屢挫”, “節節敗退”, 直到幾年前宣布退出. 學(xué)生們說(shuō), 不是不想聽(tīng)他的課, 可是他講的內容與高考無(wú)關(guān), 有幸的話(huà)高考之后再找機會(huì )聽(tīng). 錢(qián)理群教授感嘆: 在現行的中國中學(xué)教育體制下, 應試教育之外的任何教育都很難進(jìn)入校園.
不過(guò), 錢(qián)理群?jiǎn)拘训臑閿挡欢嗟闹行W(xué)教師還在“絕望中抗爭”, 他們希望探索一條素質(zhì)教育之路, 當然前提是對高考有幫助. 然而這種探索的難度是很大的.
首先, 大部分中學(xué)教師具有足夠的能力和正確的理念來(lái)實(shí)施素質(zhì)教育嗎? 因為女兒在上學(xué), 近十余年還是比較關(guān)注中小學(xué)教育的, 也自以為是地發(fā)現了中小學(xué)教育的若干問(wèn)題, 比如重復做同一份試卷, 抄寫(xiě)各知識點(diǎn)很多遍, 背教參上的標準答案, 有趣的歷史、地理也僵化成一個(gè)個(gè)冷漠的知識點(diǎn), 甚至有不少老師為了應付作文考試讓學(xué)生提前把各種題材都寫(xiě)一篇, 反復修改后“背”下來(lái), 考試時(shí)默寫(xiě)到試卷上! 更要命的是這種現象是普遍的!
其次, 設身處地地想一想, 中學(xué)老師有余力實(shí)行所謂的素質(zhì)教育嗎? 近有期中、期末各種統考, 還有月考甚至周考, 遠有至關(guān)重要的高考, 這些考試在很大程度上“考的就是熟練程度和對陷阱的敏感度”（學(xué)生的話(huà)）, 大量重復訓練成了一種必然. 而學(xué)生的成績(jì)應該是衡量老師的教學(xué)效果的唯一標準吧, 誰(shuí)愿意吃力不討好地花更大的精力實(shí)施短期難以見(jiàn)效的所謂素質(zhì)教育? 班上的學(xué)生人數多且又參差不齊, 不太可能有某一套素質(zhì)教育方案適用所有的孩子, 也沒(méi)有時(shí)間對每個(gè)孩子進(jìn)行所謂的因材施教.
第三, 素質(zhì)教育有足夠的市場(chǎng)嗎? 對于大多數孩子來(lái)說(shuō), 如果在高考中失利, 即使帶著(zhù)不錯的素質(zhì)進(jìn)入不太理想的大學(xué), 其結果是不難想象的, 其中應該會(huì )有一部分人能脫穎而出, 但比例不會(huì )太高. 孩子是一個(gè)家庭的未來(lái), 對很多家庭來(lái)說(shuō)似乎是唯一的希望, 所以一些探索素質(zhì)教育的學(xué)校和老師遇到的最大阻力是來(lái)自于家長(cháng), 甚至是學(xué)生. 錢(qián)理群曾經(jīng)感慨, 我們在培養一些“精致的利己主義者”. 當然板子不能只打在學(xué)生身上.
盡管如此, 探索之路應該也必須要走下去, 或許可以走得靈活一點(diǎn). 素質(zhì)教育不應該與高考沖突. 就數學(xué)教育而言, 如果我們不是把寶貴的時(shí)間花費在大量重復訓練上, 而是有意識地引導學(xué)生們去探索書(shū)本上的知識, 讓學(xué)生們在碰壁的過(guò)程中領(lǐng)悟數學(xué)的奧秘, 在上下求索的過(guò)程中發(fā)現數學(xué)好玩, 不知不覺(jué)中具有了探索未知領(lǐng)域的勇氣, 提高了邏輯思維和解決問(wèn)題的能力, 這對于應付高考即使不是如探囊取物一般也會(huì )起到催化劑的作用吧. 在這一方面值得借鑒的是 Moore 方法. 1911 年拓撲學(xué)家 R. L. Moore 在賓夕法尼亞大學(xué)的研究生拓撲課程中，先把課程內容切割成幾十個(gè)定義和命題, 要求學(xué)生在不參考文獻的前提下獨立完成證明, 并在課堂上講解自己的思路, Moore 和同學(xué)一起聽(tīng)課并參與討論、點(diǎn)評. 1920 年以后，該方法漸漸在國外流行起來(lái), 有相當一部分大學(xué)數學(xué)系開(kāi)設類(lèi)似課程, 例如著(zhù)名數學(xué)家 Halmos 就曾用 Moore 方法給一年級本科生開(kāi)設線(xiàn)性代數課程. 當然, 這個(gè)方法推廣到中學(xué)是否能收到預期效果很難說(shuō), 因為這對于師生的要求都很高. 一方面, 教師需要站在一定的高度融合課程內容, 并把課程內容分割成難度適中的問(wèn)題, 既要有一定的難度給學(xué)生們適度的挑戰, 又要保持整體的連貫性, 讓學(xué)生們在探索過(guò)程中逐漸領(lǐng)悟問(wèn)題的前因后果; 另一方面, 需要學(xué)生有一定的自學(xué)能力和探索精神, 在一定的引導下堅持自主探索解決問(wèn)題的方法. 學(xué)生的整體水平是參差不齊的, 教師要隨時(shí)準確了解學(xué)生的狀況, 根據學(xué)生的能力做適當調整, 以免“畫(huà)虎不成反類(lèi)犬”. 從我在大學(xué)課堂中的實(shí)踐來(lái)看, 難度不小.
按照德國著(zhù)名數學(xué)家和教育家 Klein（克萊因, 1849--1925）的觀(guān)點(diǎn), 中學(xué)數學(xué)教師要做好引導必須要“站得更高的視角來(lái)審視、理解初等問(wèn)題, 只有觀(guān)點(diǎn)高了, 事物才能顯得明了而簡(jiǎn)單”. 目前, 大部分中學(xué)數學(xué)教師未必具有這樣的素質(zhì), 因為他們不一定是數學(xué)系畢業(yè)的; 即使是數學(xué)系畢業(yè)的, 當年所學(xué)到的大學(xué)數學(xué)也忘得差不多了, 記住的部分也很難與中學(xué)教育相結合. 目前的教育環(huán)境讓中學(xué)老師也疲于奔命, 沒(méi)有精力去了解各種數學(xué)理論及其發(fā)展史, 更談不上在教學(xué)中適當引導學(xué)生. 在這一方面大學(xué)應該承擔應有的責任, 與中學(xué)建立緊密地合作關(guān)系, 在探索過(guò)程中提供必要的火力支援. 鄭州外國語(yǔ)學(xué)校曾經(jīng)做過(guò)有益的嘗試. 他們與幾所大學(xué)合作, 請大學(xué)老師為他們的數理化三科的教師講授與中學(xué)課程有緊密聯(lián)系的大學(xué)內容, 以期讓教師們站得更高, 從而更有針對性地進(jìn)行教學(xué)工作. 不管效果如何, 這是走出了有前瞻性的第一步, 如果能持續下去, 效果會(huì )顯現出來(lái)的.
大學(xué)課堂更應該成為素質(zhì)教育的主要場(chǎng)所, 因為相對中學(xué)而言, 大學(xué)具有先天的優(yōu)勢. 大學(xué)不再面臨高考指揮棒了, 可以自主安排教學(xué)計劃, 嘗試不同的培養模式. 大學(xué)生也不用再?lài)@幾個(gè)主要科目了, 而是有專(zhuān)業(yè)性的選擇, 盡管這種選擇未必是根據個(gè)人興趣做出的. 大學(xué)教師也有條件按照好的教育理念來(lái)實(shí)施教育, 雖然目前的評價(jià)機制讓教學(xué)淪為雞肋. 大學(xué)更需要在教育理念上做變革, 做一些有意義的實(shí)質(zhì)性探索, 而不是僅僅在各種場(chǎng)合空談教育理念. 我們要走的路還很長(cháng), 因為大學(xué)數學(xué)教育有自身的嚴重問(wèn)題. 比如, van der Waerden（范德瓦爾登, 1903-1996）的名著(zhù) Algebra 中大概是為了敘述方便, 把一個(gè)明顯的小結論寫(xiě)成了命題的形式. 一位老先生在寫(xiě)書(shū)的時(shí)候美其名曰“挖補定理”, 結果國人如獲至寶, 又是注記, 又是探索, 又是推廣, 為之發(fā)表了數十篇文章, 順便也寫(xiě)入教材, 納入習題, 忙得不亦樂(lè )乎. 發(fā)表文章是為了生存, 這倒也罷了, 要命的是學(xué)生們都好騙, 工工整整把“定理”及其證明都抄寫(xiě)下來(lái)以備不時(shí)之需. 這招的確有點(diǎn)用, 一些半開(kāi)卷的數學(xué)考試是允許學(xué)生們帶一張寫(xiě)滿(mǎn)字的 A4 紙到考場(chǎng)的, 于是學(xué)生們也多了一項技能, 能在一張紙上盡可能地寫(xiě)下更多的字. 這不由讓人有了一點(diǎn)憧憬: 過(guò)一段時(shí)間后學(xué)生們應該有能力在一張紙上抄下整本書(shū), 這可是與微雕有異曲同工之妙啊. 更有趣的是, 也許是有的考試要求學(xué)生們只能帶寫(xiě)了一面的 A4 紙（可能只是段子, 沒(méi)有考證過(guò)）, 學(xué)生們就活學(xué)活用地“發(fā)明”了只有一面的 Mobius 紙. 也有一些考試的題目有七八十分的往年考題, 于是, 考前輔導班就應運而生了, 都是高年級同學(xué)義務(wù)做的, 并且還贈送精心收集的往年考題收藏版. 當然也可能會(huì )搞砸了, 因為任課教師偶爾也會(huì )一時(shí)心血來(lái)潮換題了......
就像羅博深教授所說(shuō)的, 帶領(lǐng)“學(xué)生盡情享受數學(xué), 讓更多人喜歡數學(xué)才是最重要的”. 然而做起來(lái)并不容易. 有句老話(huà)說(shuō)得好: 興趣是最好的老師. 然而在教學(xué)過(guò)程中, 我們會(huì )發(fā)現情況很不樂(lè )觀(guān): 真正對數學(xué)感興趣的學(xué)生屈指可數. 也許是孤陋寡聞了, 兄弟院?？赡軙?huì )好很多. 學(xué)生們是從什么時(shí)候開(kāi)始喪失了對數學(xué)的興趣? 我們應該如何呵護學(xué)生們的脆弱的好奇心, 讓他們“不憚以前驅”, 敢于探索數學(xué), 發(fā)現和欣賞數學(xué)之美; 擅于應用數學(xué), 解決生活中遇到的問(wèn)題?
挪威數學(xué)家 Abel 曾經(jīng)說(shuō)過(guò), 應該讀大師的著(zhù)作, 這樣才能更好地向大師們學(xué)習. 當然, 對于大部分人而言, 讀大師的原著(zhù)既不現實(shí), 也沒(méi)必要. 由于近幾百年尤其是近一百年的發(fā)展, 數學(xué)已經(jīng)今非昔比. 現代數學(xué)有更精準的語(yǔ)言, 更合理的記號, 更深刻的理論, 從而可以更簡(jiǎn)潔明快地闡述以前的數學(xué).
高中有一門(mén)選修課是數學(xué)史, 問(wèn)學(xué)生的時(shí)候, 不少人都不知道. 有的說(shuō)好像有一本教材, 只是課從來(lái)沒(méi)開(kāi)過(guò). 歷史首先是精彩的, 如果只是時(shí)間、地點(diǎn)、人物、事情的流水賬, 比如赤壁之戰寫(xiě)成: “東漢末年, 在長(cháng)江赤壁一帶, 孫劉聯(lián)軍以火攻大破曹軍”, 那就成了簡(jiǎn)單的“歸納中心思想”, 毫無(wú)趣味了. 看看《資治通鑒》或《三國演義》 的描寫(xiě), 情節曲折, 跌宕起伏, 令人手不釋卷. 更重要的是, 作為歷史上為數不多的以弱勝強的戰役, 苦肉計、連環(huán)計, 妙計疊出, 給后人留下了太多可借鑒的地方, 又有多少文人墨客爭相傳誦, 成就了多少千古名篇.
翻過(guò)幾本數學(xué)史方面的書(shū)籍包括高中教材, 大多數乏善可陳, 其主要問(wèn)題就是記流水賬, 既缺乏精彩的語(yǔ)言文字, 又沒(méi)有必要的數學(xué)理論的推理. 要知道, 與人類(lèi)發(fā)展史一樣, 數學(xué)發(fā)展史同樣也是波瀾壯闊的, 尤其是數學(xué)家們經(jīng)過(guò)多年的苦心探索, 在某一個(gè)歷史時(shí)刻靈光乍現, 新的思想火花的迸發(fā)實(shí)現了歷史性的突破, 其精彩程度不亞于一場(chǎng)驚心動(dòng)魄的戰役, 有時(shí)還是結合了多國數學(xué)家智慧的世界大戰! 而其中的數學(xué)思想是彌足珍貴的財富, 是數學(xué)史教材中應該花大力氣展現的地方, 因為這才能讓后人了解到奇妙的數學(xué)理論的發(fā)展歷程, 領(lǐng)悟到其中閃光的思想, 從而得到借鑒和啟發(fā).
其實(shí)每一本數學(xué)教材就是一部數學(xué)思想史, 是前人多年智慧的結晶. 只是大多數教材都是把數學(xué)理論單獨拿出來(lái), 其中充斥著(zhù)從天而降的定義、晦澀難懂的命題, 看似精彩但卻莫名奇妙的證明, 這難免令人望而生畏; 再加上多如牛毛的練習, 學(xué)生們的好奇心和求知欲逐漸被消磨殆盡了. 等到他們進(jìn)入大學(xué)學(xué)習更為系統的理論的時(shí)候無(wú)所適從, 搞得大學(xué)數學(xué)教育也很狼狽. 所以教學(xué)中的一個(gè)關(guān)鍵之處是把略顯枯燥的數學(xué)理論與流水賬式的數學(xué)史更好地結合起來(lái), 引導學(xué)生們追隨前人的足跡, 走數學(xué)家走過(guò)的路, 切身經(jīng)歷數學(xué)發(fā)展的歷程, 體驗數學(xué)研究的苦與樂(lè ), 感知數學(xué)家們在歷史突破的那一瞬間的情懷. 這樣, 學(xué)生們通過(guò)自己的努力重復前人的發(fā)現, 體會(huì )“再發(fā)現”的樂(lè )趣, 就能更好地欣賞數學(xué)之美, 領(lǐng)悟數學(xué)思想, 體會(huì )到數學(xué)好玩, 而不僅僅滿(mǎn)足于記住結論, 會(huì )做難題或考個(gè)高分. 大部分數學(xué)理論都是從實(shí)際問(wèn)題中來(lái), 最后又回到解決實(shí)際問(wèn)題中去, 所以學(xué)生們如能應用所學(xué)的數學(xué)知識, 解決身邊的問(wèn)題, 他們的好奇心會(huì )被激發(fā), 求知欲會(huì )增強, 探索能力得以培養. 當然, “冰凍三尺, 非一日之寒”, 要改變現狀實(shí)現目標談何容易! 不過(guò), 也不可小視微薄的個(gè)人之力, “愚公移山”、“蚍蜉撼樹(shù)”未必是貶義詞.
錢(qián)理群教授在中學(xué)進(jìn)行的語(yǔ)文教育的嘗試失敗了, 如果進(jìn)行數學(xué)方面的嘗試結果會(huì )如何呢? 這是我很想知道的事情. 在數學(xué)教育過(guò)程中, 問(wèn)題引導的方式應該起到關(guān)鍵的作用. 當然, 問(wèn)題的選擇很關(guān)鍵, 也是最為困難的. 哪些有趣的數學(xué)問(wèn)題可以介紹給學(xué)生, 供其中力所能及的并且有興趣的學(xué)生探索? 初步的選擇自然是課本知識的整理和升華, 這即使是對于考試來(lái)說(shuō)也是不無(wú)裨益的. 除此以外, 最好是在數學(xué)發(fā)展史中起到關(guān)鍵的推動(dòng)作用的問(wèn)題, 沿著(zhù)歷史足跡走, 按照人類(lèi)的認知規律進(jìn)行教學(xué). 我根據自己的研究興趣列舉一些有趣的問(wèn)題, 不過(guò)沒(méi)有經(jīng)過(guò)實(shí)踐檢驗, 未必適合大部分中學(xué)生.
首先是代數學(xué). 我正在寫(xiě)代數學(xué)發(fā)展史方面的系列: 尺規作圖、高次方程求根、線(xiàn)性方程組、線(xiàn)性空間, 后面還有群、環(huán)、域、表示論等. 這個(gè)歷史過(guò)程可以參看文獻[2]. 其中的很多問(wèn)題都是從中學(xué)代數學(xué)內容中稍微提升一下即可.
其次是在微積分. 中小學(xué)階段至少有兩個(gè)遺留問(wèn)題: 圓和矩形的面積公式. 估計有不少人會(huì )覺(jué)得矩形的面積公式?jīng)]問(wèn)題, 實(shí)際上這需要一個(gè)中學(xué)證明不了的平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理. 這兩個(gè)問(wèn)題的核心就是微積分, 微積分的歷程可以參看文獻[3].
第三是幾何學(xué). 中學(xué)的平面幾何在大學(xué)里用得很少, 倒是中學(xué)不怎么用的尺規作圖有用處. 古希臘還有一個(gè)杰出成就是知道正多面體只有五個(gè), 這個(gè)問(wèn)題很有意思, 與群論有關(guān), 也與更深刻的數學(xué)理論有對應. 當然更深刻的就是幾何公理尤其是平行公理的獨立性問(wèn)題, 這引出了非歐幾何.
第四是數論. 眾所周知的 Goldbach 猜想的影響力并不像它在國內的名聲那樣, 真正有趣的是 Fermat 大定理. Simon Singh 的杰作《費馬大定理: 一個(gè)困惑了世間智者 358 年的迷》[7] 堪稱(chēng)此類(lèi)書(shū)籍的典范. 其中會(huì )涉及到 Bernoulli 數, 這與
的公式有關(guān), 也與很多數論問(wèn)題如 Riemann 猜想關(guān)系密切. 當然初等數論也有很多有趣的問(wèn)題[1], 不過(guò)如果懂一點(diǎn)群論再看初等數論會(huì )好很多, 不論是理解理論本身還是欣賞其中的美.
第五是組合數學(xué). 有趣的問(wèn)題很多, 只舉一個(gè)我關(guān)心的問(wèn)題------和諧圖. 考慮一個(gè)連通圖（也就是由平面上一些點(diǎn)——稱(chēng)為頂點(diǎn)——和某些頂點(diǎn)之間的連線(xiàn)得到的圖, 整個(gè)圖形是連在一起的）, 給每個(gè)頂點(diǎn)賦一個(gè)正整數值. 如果存在一種賦值方法使得每個(gè)頂點(diǎn)的賦值的 2 倍等于與之相鄰的頂點(diǎn)的賦值之和, 則稱(chēng)這種圖為和諧圖. 例如
這個(gè)圖在代數里也能見(jiàn)到, 它與前面提到的 Peter McMullen 的鉛筆畫(huà)是一回事. 從某種意義上說(shuō), 它與正二十面體也是一回事. 算是代數、幾何、組合的聯(lián)合體. 當然不僅僅是這一個(gè)圖. 讀者可以嘗試把所有的調和圖都找出來(lái), 它們與所有正多邊形和正多面體有完美的對應關(guān)系（McKay 對應）, 也與代數學(xué)的其他分支如 Lie 群 Lie 代數、箭圖等有密切關(guān)系.
以上都是一家之言, 由于對中學(xué)教學(xué)不是很熟悉而難免有失偏頗. 教育是一個(gè)長(cháng)期的事情, 不能看短期效應. 其中的很多問(wèn)題需要探索, 很多想法需要實(shí)踐檢驗, 需要有思想的數學(xué)教師的參與, 更需要有好奇心和求知欲的學(xué)生的參與. 歡迎有想法的同行和感興趣的同學(xué)來(lái)探討數學(xué)教育問(wèn)題, 我的郵箱是 zhufuhai@nankai.edu.cn 或 526373490@qq.com.
參考文獻
本文轉自：數林廣記，感謝朱教授授權轉載。
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