研究一下偉大數學(xué)家或一般數學(xué)家的著(zhù)作，人們不能不注意到和區分出兩種相反的趨勢，或者毋寧說(shuō)是兩種完全不同的精神類(lèi)型。一些人尤其專(zhuān)注于邏輯；讀讀他們的著(zhù)作，人們被誘使相信，他們運用沃邦（1633-1707，法國著(zhù)名的軍事工程師和元帥一一譯注）的方法，只是一步一步地前進(jìn)。這種方法推動(dòng)他們有步驟地工作，去奪取一個(gè)更為有利的位置，而沒(méi)有隨便拋棄任何東西。另一些人受直覺(jué)指引，他們像勇敢的前衛騎兵，迅猛出擊，但有時(shí)也要冒幾份風(fēng)險。
所探討的問(wèn)題迫使他們采取這種或那種方法。雖然人們往往稱(chēng)前者為解析家，稱(chēng)后者為幾何學(xué)家；但是這并不防礙第一種人依然是解析家，即使當他們研究幾何學(xué)的時(shí)侯；而另一種人還是幾何學(xué)家，即使當他們從事純粹解析的時(shí)侯。正是他們精神的本性，使他們成為邏輯主義者和直覺(jué)主義者，當他們處理新課題時(shí)，他們也不能把它撇到一邊。
在數學(xué)家中間，并非教育能助長(cháng)一種趨勢而抑制另一種趨勢。數學(xué)家是天生的，不是人為的，他似乎生來(lái)就是幾何學(xué)家或解析家。
我樂(lè )于引證一些例子，這樣的例子實(shí)在太多了；但是，為了強調對照，我愿以一個(gè)極端的例子開(kāi)始，請允許我在兩個(gè)活著(zhù)的數學(xué)家中尋找例證吧。
梅雷（Meray）先生想證明，二項式方程總是有根，或者用通俗的話(huà)說(shuō)，角總是可以剖分。如果存在著(zhù)任何用直接的直覺(jué)可以感受的真理，那么它就是這樣的真理。誰(shuí)會(huì )懷疑一個(gè)角總是可以分為任意等分呢？梅雷先生卻不如此觀(guān)之；在他看來(lái)，這個(gè)命題根本不是明白的，他需要幾頁(yè)篇幅去證明它。
另一方面，看看克萊茵（Felix Klein）教授，他正在研究函數論的一個(gè)最抽象的問(wèn)題：確定在給定的黎曼（Riemann）曲面上，是否總是存在著(zhù)具有已知特性的函數。這位著(zhù)名的德國數學(xué)家作了些什么呢？他用電導率按某些規律變化的金屬面代替他的黎曼曲面。他把金屬面上的兩個(gè)點(diǎn)與電池的兩極聯(lián)接起來(lái)。他說(shuō)，電流必定通過(guò)金屬面，電流在面上的分布將確定一個(gè)函數，該函數特性恰恰就說(shuō)明所要求的特性。
毋庸置疑，克萊茵教授完全了解，他在這里提供的僅是一個(gè)梗概；不過(guò)，他還是毫不猶豫地發(fā)表了它；他恐怕認為，他從中發(fā)現，即使這不是嚴格的證明，但至少在信念上是可靠的。邏輯主義者極端厭惡地排斥這種概念的形成，或者更確切地講，他不可能排斥它，因為在他的思想中從來(lái)也沒(méi)有產(chǎn)生這種概念。
請容許我再比較兩個(gè)人，他們倆是法國科學(xué)的光榮，最近去世了，可是他們的業(yè)績(jì)早就永垂不朽。我講的是貝爾特朗德（Bertrand）先生和埃爾米特（Hermite）先生。他們同時(shí)在同一學(xué)校上學(xué)；他們受相同的教育，處于同樣的影響之下；可是差別卻何等之大！這不僅在他們的著(zhù)作中顯現出來(lái)，而且在他們的教學(xué)、談吐方式、甚至在他們的外表中都有所表現。這兩個(gè)人的風(fēng)采在他們所有學(xué)生的腦海里銘刻下永不磨滅的印記；對于那些樂(lè )于聆聽(tīng)他們的教導的人來(lái)說(shuō)，這種記憶依然歷歷在目；我們很容易回想起它。
貝爾特朗德在講演中總是動(dòng)來(lái)動(dòng)去；他時(shí)而仿佛與某些外來(lái)之敵戰斗，時(shí)而用手勢描繪他所研究的圖形的輪廓。顯然，他想象著(zhù)，并試圖去描繪它，這就是他為什么要借助手勢。而埃爾米特則迥然不同；他的雙眼似乎避免與世界接觸；他尋求真理的妙訣不在心外，而在心內。
在本世紀的德國幾何學(xué)家中間，有兩個(gè)人尤其遐邇聞名，這兩位科學(xué)家奠定了廣義函數論，他們是維爾斯特拉斯（Weierstrass）和黎曼。維爾斯特拉斯把一切都歸結為級數及其解析變換；為了更好地表示，他把解析化為類(lèi)似于算術(shù)的拓展；翻閱他的全部著(zhù)作，你找不到一張插圖。相反地，黎曼卻同時(shí)求助于幾何學(xué)；他的每一個(gè)概念都是一幅圖像，人們一旦明白了它的意義，便會(huì )永志不忘。
其后，李（Lie）是一位直覺(jué)主義者；讀其著(zhù)述，頓生疑團，經(jīng)他道破之后，人們便煥然冰釋?zhuān)荒阃瑫r(shí)看到，他用圖形思維。而科瓦列夫斯基夫人（Madame Kovalevski）則是一位邏輯主義者。
在我們的學(xué)生中間，我們也注意到同樣的差別；一些人更喜歡用“解析”處理他們的問(wèn)題，另一些人則用“幾何學(xué)”。前者不能在“空間中想象，而后者則十分厭倦冗長(cháng)的計算，很快就變得暈頭轉向。
對于科學(xué)的進(jìn)步來(lái)說(shuō)，這兩類(lèi)精神同樣是必要的；邏輯主義者和直覺(jué)主義者都獲得了其他人沒(méi)有作出的巨大成就。誰(shuí)膽敢冒昧地說(shuō)，他寧愿維爾斯特拉斯永遠不著(zhù)書(shū)立說(shuō)，或者寧愿世上從來(lái)就沒(méi)有黎曼這個(gè)人呢？而且，分析和綜合二者都有其合法任務(wù)。比較周密地研究一下它們在科學(xué)史中所起的作用，是饒有興味的。
太奇怪了！如果我們?yōu)g覽一下古人的著(zhù)作，我們情不自禁地把他們統統歸入直覺(jué)主義者之列。然而，人的本性總是相同的；要在本世紀開(kāi)始創(chuàng )造出專(zhuān)注于邏輯的精神，這幾乎是不可能的。
假使我們使自己置身于古代幾何學(xué)家所處時(shí)代的占統治地位的觀(guān)念潮流中，那么我們會(huì )清楚地認識到，他們之中的許多人在傾向性上都是解析家。例如，歐幾里得創(chuàng )造了科學(xué)結構，他的同代人沒(méi)有從中挑出毛病。在這個(gè)龐大的建筑物中，它的每一個(gè)部件不管怎樣都歸因于直覺(jué)，可是，我們今天依然可以亳不費力地從中辯認出一位邏揖主義者的工作。
變化的不是精神，而是觀(guān)念；直覺(jué)精神依然是相同的；可是，他們的讀者卻要求他們作出較大的保留。
這種演變的原因是什么呢？
直覺(jué)是不難發(fā)現的。它不能給我們以嚴格性，甚或不能給我們以可靠性；這一點(diǎn)愈來(lái)愈得到公認。
讓我們舉一些例子。我們知道，存在著(zhù)沒(méi)有導數的連續函數。沒(méi)有什么東西比邏輯給予我們的命題更讓直覺(jué)震驚了。我們的祖先不假思索地斷言：“每一個(gè)連續函數都存在導數，這是很明白的，因為每一條曲線(xiàn)都有切線(xiàn)?！?/p>
直覺(jué)怎樣能夠在這一點(diǎn)上欺騙我們呢？正因為當我們試圖想象曲線(xiàn)時(shí)，我們無(wú)法把它描繪得沒(méi)有寬度；正是這樣，當我們描繪直線(xiàn)時(shí)，我們把它看成某一寬度的直帶。我們清楚地認識到，這些線(xiàn)沒(méi)有寬度；我們力求把它們想象得越來(lái)越窄，從而趨近極限；我們在一定的限度內這樣作，但是我們從來(lái)也不會(huì )達到這一極限。于是，很顯然，我們總是可以把這兩條窄帶——一條直的、一條曲的——畫(huà)在這樣的位置上又使得它們輕微地相犯而不相交。
若不管?chē)烂艿慕馕?，從而我們將得出結論：曲線(xiàn)總是有切線(xiàn)。
我愿把狄利克雷（Dirichlet）原理作為第二個(gè)例子，如此眾多的數學(xué)物理學(xué)定理都建立在該原理上；今天，我們通過(guò)十分嚴格、十分冗長(cháng)的推理證明它;相反, 在此之前，我們卻滿(mǎn)足于概括的證明。與一任意函數相關(guān)的某一積分永遠不為零。人們由此斷定，它必定有極小值。這一推理中的缺點(diǎn)直接沖擊著(zhù)我們，因為我們使用了抽象的術(shù)語(yǔ)——函數，因為我們熟悉，當在最普遍的意義上理解這個(gè)詞時(shí)，函數能夠呈現出的所有特異性。
但是如果我們利用具體的圖像，那我們就沒(méi)有同樣的函數。例知我們把這個(gè)函數看作是電勢, 情況就不同了; 可以認為, 斷言能夠達到靜電平衡是合理的。然而, 物理比較也許能喚起一些模糊的懷疑。但是, 如果謹慎地把推論翻譯成幾何學(xué)的語(yǔ)言, 即介于分析語(yǔ)言和物理學(xué)語(yǔ)言之間的語(yǔ)言，那么毫無(wú)疑問(wèn)，這種懷疑便不會(huì )產(chǎn)生，這樣一來(lái)，人們即使在今天還能欺騙許多沒(méi)有預先告誡的讀者。
因此, 直覺(jué)沒(méi)有給我們以可靠性。這就是演變?yōu)槭裁幢厝话l(fā)生；現在，讓我們看看它是如何產(chǎn)生的。
人們將立即注意到，除非嚴格性先進(jìn)入定義中，否則就無(wú)法在推論中引入嚴格性。
因為數學(xué)家所處理的大部分對象長(cháng)期以來(lái)都沒(méi)有完全定義；他們假定它們是已知的，由于他們借助于感覺(jué)和想象來(lái)描述它們；但是，人們僅有粗糙的圖象，而沒(méi)有一個(gè)推理能夠賴(lài)以成立的精確觀(guān)念。
因此，邏輯主義者必須付出他們的努力。在不可通約數的情況中就是這樣。我們歸因于直覺(jué)的連續性的模糊觀(guān)念分解為關(guān)于整數的不等式的復雜系統。
借助于這種方法，由通過(guò)極限或考慮到無(wú)限小而引起的困難終于被消除了。
今天，在解析中，僅僅剩下整數，或者說(shuō)，整數的有限或無(wú)限的系統被相等或不等的網(wǎng)格約束在一起。
正如數學(xué)家們所說(shuō)，數學(xué)被算術(shù)化了。
第一個(gè)問(wèn)題呈現出來(lái)。這種演變終結了嗎？
我們最終達到絕對的嚴格性了嗎？在每一個(gè)演變階段，我們的祖先也曾認為，他們已經(jīng)達到了嚴格性。如果他們欺騙了自己，我們同樣也欺騙我們自己?jiǎn)幔?/p>
我們自信，我們在推理中不再訴諸直覺(jué)；哲學(xué)家告訴我們，這是一種假象。純邏輯永遠也不能使我們得到任何東西；它不能創(chuàng )造任何新東西；任何科學(xué)也不能僅僅從它產(chǎn)生出來(lái)。
在某種意義上，這些哲學(xué)家是對的；要構成算術(shù)，像要構成幾何學(xué)或構成任何科學(xué)一樣，除了純邏輯之外，還需要其他東西。為了稱(chēng)呼這種東西，我們只好使用直覺(jué)這個(gè)詞?？墒?，在這同一詞后，潛藏著(zhù)多少不同的意思呢？
比較一下這四個(gè)公理：（1 ）等于第三個(gè)量的兩個(gè)量相等；（2）若一定理對數1為真，假定它對為真，如果我們證明它對 為真，則它對所有整數均為真；（3）設在一直線(xiàn)上，C 點(diǎn)在 A 與 B 之間，D 點(diǎn)在 A 與 C 之間，則 D 點(diǎn)將在 A 與B 之間；（4）通過(guò)一個(gè)定點(diǎn)僅有一條直線(xiàn)與已知直線(xiàn)平行。
所有這四個(gè)公理都歸之于直覺(jué)，不過(guò)第一個(gè)闡明了形式邏輯諸法則中的一個(gè)法則；第二個(gè)是真實(shí)的先驗綜合判斷，它是嚴格的數學(xué)歸納法的基礎；第三個(gè)求助于想象；第四個(gè)是偽定義。
直覺(jué)不必建立在感覺(jué)明白之上；感覺(jué)不久便會(huì )變得無(wú)能為力；例如，我們無(wú)法想象千角形，可是我們能夠通過(guò)直覺(jué)一般地思考多角形，多角形把千角形作為一個(gè)特例包括進(jìn)來(lái)。
你們知道彭賽列（Poneelet）借助連續性原理所推斷的東西。彭賽列說(shuō)，對實(shí)量為真之理對虛量也應為真；對有實(shí)漸近線(xiàn)的雙曲線(xiàn)為真之理從而對有虛漸近線(xiàn)的橢圓也應為真。彭賽列是十九世紀最具有直覺(jué)思想的人之一；他對直覺(jué)是如此之酷愛(ài)，如此之夸耀；他把連續性原理視為他最大膽的一個(gè)概念，這個(gè)原理還不依賴(lài)感覺(jué)的明白。更確切地說(shuō)，把雙曲線(xiàn)看作與橢圓類(lèi)似，是與這種明白相矛盾的。這只是一種早熟的、本能的概括，而且我不想為之辯護。
于是，我們有多種直覺(jué)；首先，求助于感覺(jué)和想象；其次，通過(guò)歸納進(jìn)行概括，而歸納可以說(shuō)是摹寫(xiě)實(shí)驗科學(xué)的程序；最后，我們有純粹數的直覺(jué)，我剛才闡述的第二個(gè)公理即由此而生，它能創(chuàng )造真正的數學(xué)推理。
我在上面已用例子表明，前兩個(gè)公理不能給我們以必然性；但是，誰(shuí)當真會(huì )懷疑第三個(gè)呢？誰(shuí)會(huì )懷疑算術(shù)呢？
于是，在今日的解中，當人們想千方百計地追尋嚴格性時(shí)，除了三段論或訴諸純粹數的直覺(jué)外，則別無(wú)它法，唯有這種直覺(jué)不會(huì )欺騙我們?？梢哉f(shuō)，絕對嚴格性今天已被達到。
哲學(xué)家還作出另外的詰難，他們說(shuō)：“你在嚴格性方面有所得，你將在客觀(guān)性方面有所失。你只有割斷把你和實(shí)在連接起來(lái)的結合物，你才能達到你的邏輯思想。你的科學(xué)是確實(shí)可靠的，但是只有把它束縛在象牙塔內，斷絕它與外界的所有聯(lián)系，它才能夠連續存在下去。若試圖稍稍應用它，它就會(huì )從這個(gè)囚禁之處逃逸出去?！?/p>
例如，我企圖證明，某一特性附屬于某一對象，該對象的概念乍看起來(lái)似乎不可定義，因為它是直覺(jué)的。起初，我或者失敗，或者必須滿(mǎn)足近似的證明；我們決定給我的對象下精確的定義，這使我以無(wú)可指責的方式確立這一特性。
哲學(xué)家說(shuō)：“于是，依然要證明，對應于這個(gè)定義的那個(gè)對象的確與你通過(guò)直覺(jué)所認識的對象是相同的；或者依然要證明，你自信你辯認出的、與你的直覺(jué)觀(guān)念一致的、真實(shí)而具體的對象對應于你的新定義。然后，你才能斷言，它具有所述的那種特性。你只不過(guò)是轉移了困難而已?！?/p>
情況并非如此；困難沒(méi)有轉移，它只是被分開(kāi)了。所確立的命題實(shí)際上由兩種不同的真理構成；其一是數學(xué)的真理。其二是實(shí)驗的真理。唯有經(jīng)驗能夠告訴我們，某個(gè)真實(shí)而具體的對象對應于或不對應于某個(gè)抽象的定義。這第二種真理在數學(xué)上未被證明，它也不能用數學(xué)證明，物理科學(xué)和自然科學(xué)的經(jīng)驗定律同樣也不能用數學(xué)證明。要打破砂鍋問(wèn)到底也許就不合道理了。于是，把長(cháng)期以來(lái)錯誤地混為一談的東西區分開(kāi)來(lái)，這不是一大進(jìn)展嗎？
這意味著(zhù)統統駁回了哲學(xué)家的這一詰難嗎？我不想那樣說(shuō)；數學(xué)科學(xué)在變成嚴格的科學(xué)時(shí)，它獲得如此人為的特征，以致給每個(gè)人都留下了印象；它忘記了它的歷史起源；我們看到問(wèn)題應該怎么回答，我們不再理會(huì )問(wèn)題如何提出和為何提出。
這向我們表明，邏輯不是充分的；證明的科學(xué)并非全部科學(xué)，直覺(jué)作為補足物必然保持它的作用，我正要說(shuō)直覺(jué)作為平衡物或作為邏輯的矯正物。
在講授數學(xué)科學(xué)時(shí)，我有機會(huì )堅持直覺(jué)應該占有的地位。沒(méi)有直覺(jué)，年輕人在理解數學(xué)時(shí)便無(wú)從著(zhù)手；他們不可能學(xué)會(huì )熱愛(ài)它，他們從中看到的只是空洞的玩弄詞藻的爭論；尤其是，沒(méi)有直覺(jué)，他們永遠也不會(huì )有應用數學(xué)的能力。
但是，現在我首先要談?wù)勚庇X(jué)在科學(xué)本身中的作用。如果直覺(jué)對學(xué)生是有用的，那么對有創(chuàng )造性的科學(xué)家來(lái)說(shuō)，它更是須臾不可或缺的。
我們尋求實(shí)在，可是實(shí)在是什么呢？
生理學(xué)家告訴我們，有機體是由細胞形成的；化學(xué)家附加道，細胞本身是由原子形成的。這意味著(zhù)這些原子或這些細胞構成實(shí)在，或確切的講，構成的唯一的實(shí)在嗎？這些細胞排列的方式和導致個(gè)體統一的方式不也是比孤立的要素的實(shí)在更為有趣的實(shí)在嗎？除了用顯微鏡外，從未研究過(guò)大象的博物學(xué)家能夠認為他已經(jīng)充分地了解這種動(dòng)物嗎？
好了，在數學(xué)中也有一些與此類(lèi)似的東西?？梢哉f(shuō)，邏輯主義者因之把每一個(gè)證明分為許多基本演算；當我們已經(jīng)相繼審查了這些演算，并確認每一個(gè)都正確無(wú)誤的時(shí)候，我們必須認為我們已經(jīng)抓住了該證明的真正意義嗎？即使當我們博聞強記，正好運用發(fā)明者排列基本運算的順序而重演它們，從而能夠重復這一證明時(shí)，我們可以理解它嗎？顯然不能；我們還沒(méi)有掌握全部實(shí)在。我不知道什么東西造成了證明的一致，這將使我們感到十分困惑。
純粹解析把許多程序提供給我們使用，它保證這些程序是確實(shí)可靠的；它向我們開(kāi)辟了成千條不同的大道，我們可以滿(mǎn)懷信心地邁步在這些大道上；我們確信不會(huì )遇到任何障礙；但是，在所有這些道路中，那一條會(huì )最迅速地把我們引向我們的目標呢？誰(shuí)將告訴我們應該選擇那一條呢？我們需要使我們具有一覽遙遠目標的本領(lǐng)，直覺(jué)孰是這祥的本領(lǐng)。為了選擇這樣一條路線(xiàn)，必須具有探索者的本領(lǐng)；對于那些追隨他的足跡、欲知他為什么要選擇那條路線(xiàn)的人來(lái)說(shuō)，情況也是如此。
假如你正在觀(guān)棋，要弄懂一盤(pán)比賽，僅知道棋子走動(dòng)的規則是不夠的。那只能使你辨認每一步符合這些規則，這種知識的確沒(méi)有什么價(jià)值。如果讀數學(xué)書(shū)的人僅僅是一位邏輯主義者，那么他也會(huì )這樣做。要弄懂棋賽完全是另一回事；必須了解棋手為什么走這個(gè)棋子而不走那個(gè)棋子，他可以在不違犯下棋規則的情況下走那一步的，可以察覺(jué)出使這一系列相繼的步子成為一種有機的整體的內在根據。有充分理由表明，對子棋手本人有必要，對發(fā)明家來(lái)說(shuō)也是這樣。
讓我們撇開(kāi)這種比較而返回到數學(xué)上來(lái)吧。
例如，看看連續函數觀(guān)念所發(fā)生的情況。起初，這僅僅是可感覺(jué)的圖像，例如用粉筆在黑板上勾劃的連續痕跡的圖像。然后，它漸漸地變得精細了；不久，它被用來(lái)構造復雜的不等式系統，這可以稅是摹寫(xiě)了原始圖像的全部線(xiàn)條；這座建筑物峻工后；拱架好橡被拆除了，臨時(shí)作為支架而此后毫無(wú)用處的粗糙表象被拋棄了；保留下來(lái)的僅僅是建筑物本身，在邏輯主義者看來(lái)，該建筑物是無(wú)懈可擊的。但是，倘若原始圖像從我們的記憶中統統消失，那么所有這些不等式以這種方式相互堆疊，究竟是怎樣借助于隨想而神悟的呢？
也許你認為我使用了過(guò)多的比喻；可是請原諒我再作一個(gè)比喻。你無(wú)疑見(jiàn)過(guò)形成某些海綿骨骼的硅質(zhì)針狀的纖細集合物。當有機物質(zhì)消失時(shí)，留下的只是易脆的美麗的網(wǎng)眼薄紗。的確，除了二氧化硅外別無(wú)它物，可是有趣的是這種二氧化硅而具有的形狀，如果我們不知道正好使二氧化硅是一定形狀的活海綿，我們便不能理解它。因為我們祖先的古老的直接觀(guān)念，即使當我們已經(jīng)摒棄它們，它們的形式還銘刻在我們用來(lái)代替它們的邏輯結構上。
對于發(fā)明家來(lái)說(shuō)，這種集合物的觀(guān)點(diǎn)是必不可少的。邏輯能夠把它給予我們嗎？不能；數學(xué)家給它起的名字足以證明這一點(diǎn)。在數學(xué)中，邏輯被稱(chēng)為解析，解析意味著(zhù)分解、分析。因此除了解剖刀和顯微鏡外，不會(huì )有其它工具。
這樣一來(lái)，邏輯和直覺(jué)各有其必要的作用。二者缺一不可。唯有邏輯能給我們以可靠性，它是證明的工具；而直覺(jué)則是發(fā)明的工具。
但是，在提出這個(gè)結論時(shí)，我們總是顧慮重重。當初，我區分了兩種類(lèi)型的數學(xué)精神，一類(lèi)是邏輯主義者和解析家；另一類(lèi)是直覺(jué)主義者和幾何學(xué)家?？?，解析家也是發(fā)明家。我前面列舉的人名足以說(shuō)明這一事實(shí)，沒(méi)有必要詳述了。
在這里，存在著(zhù)一個(gè)需要解釋的矛盾，至少在表面上是這樣。
首先，正像形式邏輯規則要求這些邏輯主義者那樣，他們總是從一般到特殊，你認為是這樣嗎？于是，他們無(wú)法開(kāi)拓科學(xué)的疆界；科學(xué)的征服只能靠概括進(jìn)行。在《科學(xué)與假設》的一章中，我有機會(huì )研究了數學(xué)推理的本性，而且我已經(jīng)表明，在不失去絕對嚴格性的情況下，通過(guò)我稱(chēng)之為數學(xué)歸納法的程序，這種推理如何把我們從特殊提升到一般。
正是借助于這種程序，分析才促成了科學(xué)的進(jìn)步，如果我們審查一下他們證明的細節，我們將會(huì )發(fā)現，它每時(shí)每刻都可與亞里士多德經(jīng)典的三段論相比。
因此，我們已經(jīng)看到，解析家并非仿效經(jīng)院哲學(xué)家，僅僅是三段論的制造者。
還有，你認為他們看不到他們希望達到的目標，總是一步一步摸索著(zhù)前進(jìn)嗎？他們必須推測通向那里的道路，為此他們需要向導。
這個(gè)向導首先是類(lèi)比。
例如，分析中一種寶貴的證明方法是建立在強函數使用之上的方法。我們知道，它已經(jīng)用來(lái)解決了許多問(wèn)題；那么，希望把它應用到新問(wèn)題中的發(fā)明家的作用何在呢？最初，他必須辨認這個(gè)問(wèn)題與用這種方法已經(jīng)解決的那些問(wèn)題類(lèi)似；然后，他必須考查這個(gè)新問(wèn)題在什么方面與其他問(wèn)題不同，從而推斷應用該方法所必須的修正。
但是，人們怎樣察覺(jué)這些類(lèi)似和這些差別呢？在我剛才舉的例子中，它們幾乎總是一目了然的，但是我可以找到它們潛藏得比較深的其他例子；為了發(fā)現它們，往往需要非同尋常的洞察力。
為了不使這些隱藏的類(lèi)似逃脫，就是說(shuō)，為了成為一個(gè)發(fā)明者，解析家必須在不借助于感覺(jué)和想象的情況下，直覺(jué)到一項推理的一致性由什么構成，也可以這樣說(shuō)，它的精髓和內心深處的靈魂由什么構成。
當人們與埃爾米特先生談?wù)摃r(shí)，他從來(lái)也不乞靈于一幅感覺(jué)圖像，但是你立即就會(huì )供察，最抽象的實(shí)體對他來(lái)說(shuō)都像栩栩如生的存在一樣。他雖然不目視它們，但心里卻領(lǐng)悟它們不是人為的集合物，它們具有某一內部統一的原則。然而，有人會(huì )說(shuō)，它還是直覺(jué)。我們能夠得出，最初所作出的區分僅僅是表面的，僅存在一種精神，所有的數學(xué)家都是直覺(jué)主義者，他們至少具有發(fā)明的能力嗎？
不能，我們的區分對應于某種實(shí)在的東西。我在上面已經(jīng)說(shuō)過(guò)，存在著(zhù)許多類(lèi)型的直覺(jué)。我說(shuō)過(guò)，嚴格的數學(xué)歸納法所淵源的純粹數的直覺(jué)與主要憑恰當地稱(chēng)之為想象的可覺(jué)察的直覺(jué)，是何等大相徑庭。
把它們分隔開(kāi)的鴻溝沒(méi)有起初看到的那么幽深嗎？稍加注意，我們能夠辨認出這種純粹的直覺(jué)不借助于感覺(jué)就無(wú)法作嗎？這是心理學(xué)家和玄學(xué)家的事情，我不想討論這個(gè)問(wèn)題。
此事雖未確定，但在分辨和堅持兩種類(lèi)型的直覺(jué)之間的基本差別方面，足以證明我是正確的；它們設有相同的對象，它們似乎發(fā)揮出我們心錄的兩種不同的本能；人們也許會(huì )想象兩盞探照燈，引導陌生人相互往來(lái)于兩個(gè)世界的情景。
正是純粹的直覺(jué)。純粹邏輯形式的直覺(jué)，啟發(fā)和引導我們稱(chēng)之為解析家的人。
就是這種直覺(jué)，不僅使他們能夠證明，而且使他們能夠發(fā)明。借助這種直覺(jué)，解析家一眼就覺(jué)察到邏輯大廈的總圖，而且似乎在沒(méi)有感覺(jué)介入的情況下也是這樣。
正如我們已經(jīng)看到的，想象并非是確實(shí)無(wú)誤的，憑借直覺(jué)，解析家在舍棄想象的幫助的情況下也能夠勇往直前，而不擔心上當受騙。因此，不要這種幫助而能夠有所作為的人是幸運的。我們必然羨慕他們；可是，這樣的人卻為數甚少！到那時(shí)，在解析家中間將有發(fā)明家，可是他們卻寥寥無(wú)幾。
如果我們希望僅憑純粹直覺(jué)放眼跳望，那么我們中的大多數人立即就會(huì )感到頭暈目眩。由于我們軟弱無(wú)力，我們需要一個(gè)比較堅強的助手；而且不管我剛才講的例外，沒(méi)有一個(gè)人懷疑可覺(jué)察的直覺(jué)在數學(xué)中是最有用的發(fā)明工具。談到這些見(jiàn)解，又有一個(gè)問(wèn)題提了出來(lái)，我既無(wú)暇解決它，甚或無(wú)暇就它所容許的發(fā)展闡述它。
這就是，有作出新的區分、有在解析家中間區分出首先使用純粹直覺(jué)的人和首先專(zhuān)注于形式邏輯的人的余地嗎？
例如，我剛才列舉的埃爾米特不能歸之于幾何學(xué)家之中，而他卻使用了可覺(jué)察的直覺(jué)；但是，他也不能恰當地稱(chēng)為邏輯主義者。他毫不隱諱他對從一般開(kāi)始、到特殊終結的純粹演繹程序的反感。
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