數學(xué)思想方法
數學(xué)思想是指人們對數學(xué)理論和內容的本質(zhì)的認識，數學(xué)方法是數學(xué)思想的具體化形式，實(shí)際上兩者的本質(zhì)是相同的，差別只是站在不同的角度看問(wèn)題。通?；旆Q(chēng)為“數學(xué)思想方法”。
數學(xué)四大思想：函數與方程、轉化與化歸、分類(lèi)討論、數形結合；
函數與方程
函數思想，是指用函數的概念和性質(zhì)去分析問(wèn)題、轉化問(wèn)題和解決問(wèn)題。方程思想，是從問(wèn)題的數量關(guān)系入手，運用數學(xué)語(yǔ)言將問(wèn)題中的條件轉化為數學(xué)模型（方程、不等式、或方程與不等式的混合組），然后通過(guò)解方程（組）或不等式（組）來(lái)使問(wèn)題獲解。有時(shí)，還實(shí)現函數與方程的互相轉化、接軌，達到解決問(wèn)題的目的。
笛卡爾的方程思想是：實(shí)際問(wèn)題→數學(xué)問(wèn)題→代數問(wèn)題→方程問(wèn)題。宇宙世界，充斥著(zhù)等式和不等式。我們知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值問(wèn)題是通過(guò)解方程來(lái)實(shí)現的……等等；不等式問(wèn)題也與方程是近親，密切相關(guān)。列方程、解方程和研究方程的特性，都是應用方程思想時(shí)需要重點(diǎn)考慮的。
函數描述了自然界中數量之間的關(guān)系，函數思想通過(guò)提出問(wèn)題的數學(xué)特征，建立函數關(guān)系型的數學(xué)模型，從而進(jìn)行研究。它體現了“聯(lián)系和變化”的辯證唯物主義觀(guān)點(diǎn)。一般地，函數思想是構造函數從而利用函數的性質(zhì)解題，經(jīng)常利用的性質(zhì)是：f(x)、f (x)的單調性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、圖像變換等，要求我們熟練掌握的是一次函數、二次函數、冪函數、指數函數、對數函數、三角函數的具體特性。在解題中，善于挖掘題目中的隱含條件，構造出函數解析式和妙用函數的性質(zhì)，是應用函數思想的關(guān)鍵。對所給的問(wèn)題觀(guān)察、分析、判斷比較深入、充分、全面時(shí)，才能產(chǎn)生由此及彼的聯(lián)系，構造出函數原型。另外，方程問(wèn)題、不等式問(wèn)題和某些代數問(wèn)題也可以轉化為與其相關(guān)的函數問(wèn)題，即用函數思想解答非函數問(wèn)題。
函數知識涉及的知識點(diǎn)多、面廣，在概念性、應用性、理解性都有一定的要求，所以是高考中考查的重點(diǎn)。我們應用函數思想的幾種常見(jiàn)題型是：遇到變量，構造函數關(guān)系解題；有關(guān)的不等式、方程、最小值和最大值之類(lèi)的問(wèn)題，利用函數觀(guān)點(diǎn)加以分析；含有多個(gè)變量的數學(xué)問(wèn)題中，選定合適的主變量，從而揭示其中的函數關(guān)系；實(shí)際應用問(wèn)題，翻譯成數學(xué)語(yǔ)言，建立數學(xué)模型和函數關(guān)系式，應用函數性質(zhì)或不等式等知識解答；等差、等比數列中，通項公式、前n項和的公式，都可以看成n的函數，數列問(wèn)題也可以用函數方法解決。
等價(jià)轉化
等價(jià)轉化是把未知解的問(wèn)題轉化到在已有知識范圍內可解的問(wèn)題的一種重要的思想方法。通過(guò)不斷的轉化，把不熟悉、不規范、復雜的問(wèn)題轉化為熟悉、規范甚至模式法、簡(jiǎn)單的問(wèn)題。歷年高考，等價(jià)轉化思想無(wú)處不見(jiàn)，我們要不斷培養和訓練自覺(jué)的轉化意識，將有利于強化解決數學(xué)問(wèn)題中的應變能力，提高思維能力和技能、技巧。 轉化有等價(jià)轉化與非等價(jià)轉化。等價(jià)轉化要求轉化過(guò)程中前因后果是充分必要的，才保證轉化后的結果仍為原問(wèn)題的結果。非等價(jià)轉化其過(guò)程是充分或必要的，要對結論進(jìn)行必要的修正（如無(wú)理方程化有理方程要求驗根），它能給人帶來(lái)思維的閃光點(diǎn)，找到解決問(wèn)題的突破口。我們在應用時(shí)一定要注意轉化的等價(jià)性與非等價(jià)性的不同要求，實(shí)施等價(jià)轉化時(shí)確保其等價(jià)性，保證邏輯上的正確。
著(zhù)名的數學(xué)家，莫斯科大學(xué)教授C.A.雅潔卡婭曾在一次向數學(xué)奧林匹克參賽者發(fā)表《什么叫解題》的演講時(shí)提出：“解題就是把要解題轉化為已經(jīng)解過(guò)的題”。數學(xué)的解題過(guò)程，就是從未知向已知、從復雜到簡(jiǎn)單的化歸轉換過(guò)程。
等價(jià)轉化思想方法的特點(diǎn)是具有靈活性和多樣性。在應用等價(jià)轉化的思想方法去解決數學(xué)問(wèn)題時(shí)，沒(méi)有一個(gè)統一的模式去進(jìn)行。它可以在數與數、形與形、數與形之間進(jìn)行轉換；它可以在宏觀(guān)上進(jìn)行等價(jià)轉化，如在分析和解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中，普通語(yǔ)言向數學(xué)語(yǔ)言的翻譯；它可以在符號系統內部實(shí)施轉換，即所說(shuō)的恒等變形。消去法、換元法、數形結合法、求值求范圍問(wèn)題等等，都體現了等價(jià)轉化思想，我們更是經(jīng)常在函數、方程、不等式之間進(jìn)行等價(jià)轉化?？梢哉f(shuō)，等價(jià)轉化是將恒等變形在代數式方面的形變上升到保持命題的真假不變。由于其多樣性和靈活性，我們要合理地設計好轉化的途徑和方法，避免死搬硬套題型。
在數學(xué)操作中實(shí)施等價(jià)轉化時(shí)，我們要遵循熟悉化、簡(jiǎn)單化、直觀(guān)化、標準化的原則，即把我們遇到的問(wèn)題，通過(guò)轉化變成我們比較熟悉的問(wèn)題來(lái)處理；或者將較為繁瑣、復雜的問(wèn)題，變成比較簡(jiǎn)單的問(wèn)題，比如從超越式到代數式、從無(wú)理式到有理式、從分式到整式…等；或者比較難以解決、比較抽象的問(wèn)題，轉化為比較直觀(guān)的問(wèn)題，以便準確把握問(wèn)題的求解過(guò)程，比如數形結合法；或者從非標準型向標準型進(jìn)行轉化。按照這些原則進(jìn)行數學(xué)操作，轉化過(guò)程省時(shí)省力，有如順水推舟，經(jīng)常滲透等價(jià)轉化思想，可以提高解題的水平和能力。
分類(lèi)討論
在解答某些數學(xué)問(wèn)題時(shí)，有時(shí)會(huì )遇到多種情況，需要對各種情況加以分類(lèi)，并逐類(lèi)求解，然后綜合得解，這就是分類(lèi)討論法。分類(lèi)討論是一種邏輯方法，是一種重要的數學(xué)思想，同時(shí)也是一種重要的解題策略，它體現了化整為零、積零為整的思想與歸類(lèi)整理的方法。有關(guān)分類(lèi)討論思想的數學(xué)問(wèn)題具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性，能訓練人的思維條理性和概括性，所以在高考試題中占有重要的位置。
引起分類(lèi)討論的原因主要是以下幾個(gè)方面：
① 問(wèn)題所涉及到的數學(xué)概念是分類(lèi)進(jìn)行定義的。如|a|的定義分a>0、a＝0、a<0三種情況。這種分類(lèi)討論題型可以稱(chēng)為概念型。
② 問(wèn)題中涉及到的數學(xué)定理、公式和運算性質(zhì)、法則有范圍或者條件限制，或者是分類(lèi)給出的。如等比數列的前n項和的公式，分q＝1和q≠1兩種情況。這種分類(lèi)討論題型可以稱(chēng)為性質(zhì)型。
③ 解含有參數的題目時(shí)，必須根據參數的不同取值范圍進(jìn)行討論。如解不等式ax>2時(shí)分a>0、a＝0和a<0三種情況討論。這稱(chēng)為含參型。
另外，某些不確定的數量、不確定的圖形的形狀或位置、不確定的結論等，都主要通過(guò)分類(lèi)討論，保證其完整性，使之具有確定性。
進(jìn)行分類(lèi)討論時(shí)，我們要遵循的原則是：分類(lèi)的對象是確定的，標準是統一的，不遺漏、不重復，科學(xué)地劃分，分清主次，不越級討論。其中最重要的一條是“不漏不重”。
解答分類(lèi)討論問(wèn)題時(shí)，我們的基本方法和步驟是：首先要確定討論對象以及所討論對象的全體的范圍；其次確定分類(lèi)標準，正確進(jìn)行合理分類(lèi)，即標準統一、不漏不重、分類(lèi)互斥（沒(méi)有重復）；再對所分類(lèi)逐步進(jìn)行討論，分級進(jìn)行，獲取階段性結果；最后進(jìn)行歸納小結，綜合得出結論。
數形結合
中學(xué)數學(xué)的基本知識分三類(lèi)：一類(lèi)是純粹數的知識，如實(shí)數、代數式、方程（組）、不等式（組）、函數等；一類(lèi)是關(guān)于純粹形的知識，如平面幾何、立體幾何等；一類(lèi)是關(guān)于數形結合的知識，主要體現是解析幾何。
數形結合是一個(gè)數學(xué)思想方法，包含“以形助數”和“以數輔形”兩個(gè)方面，其應用大致可以分為兩種情形：或者是借助形的生動(dòng)和直觀(guān)性來(lái)闡明數之間的聯(lián)系，即以形作為手段，數為目的，比如應用函數的圖像來(lái)直觀(guān)地說(shuō)明函數的性質(zhì)；或者是借助于數的精確性和規范嚴密性來(lái)闡明形的某些屬性，即以數作為手段，形作為目的，如應用曲線(xiàn)的方程來(lái)精確地闡明曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)。
恩格斯曾說(shuō)過(guò)：“數學(xué)是研究現實(shí)世界的量的關(guān)系與空間形式的科學(xué)。”數形結合就是根據數學(xué)問(wèn)題的條件和結論之間的內在聯(lián)系，既分析其代數意義，又揭示其幾何直觀(guān)，使數量關(guān)的精確刻劃與空間形式的直觀(guān)形象巧妙、和諧地結合在一起，充分利用這種結合，尋找解題思路，使問(wèn)題化難為易、化繁為簡(jiǎn)，從而得到解決。“數”與“形”是一對矛盾，宇宙間萬(wàn)物無(wú)不是“數”和“形”的矛盾的統一。華羅庚先生說(shuō)過(guò)：數缺形時(shí)少直觀(guān)，形少數時(shí)難入微，數形結合百般好，隔裂分家萬(wàn)事休。
數形結合的思想，其實(shí)質(zhì)是將抽象的數學(xué)語(yǔ)言與直觀(guān)的圖像結合起來(lái)，關(guān)鍵是代數問(wèn)題與圖形之間的相互轉化，它可以使代數問(wèn)題幾何化，幾何問(wèn)題代數化。在運用數形結合思想分析和解決問(wèn)題時(shí)，要注意三點(diǎn)：第一要徹底明白一些概念和運算的幾何意義以及曲線(xiàn)的代數特征，對數學(xué)題目中的條件和結論既分析其幾何意義又分析其代數意義；第二是恰當設參、合理用參，建立關(guān)系，由數思形，以形想數，做好數形轉化；第三是正確確定參數的取值范圍。
數學(xué)中的知識，有的本身就可以看作是數形的結合。如：銳角三角函數的定義是借助于直角三角形來(lái)定義的；任意角的三角函數是借助于直角坐標系或單位圓來(lái)定義的。
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