定義與定義表達式
一般地，
自變量x和
因變量y之間存在如下關(guān)系：
y=ax^2+bx+c(a≠0，a、b、c為常數)，則稱(chēng)y為x的二次函數。
重要概念：（a，b，c為常數，a≠0，且a決定函數的開(kāi)口方向，a>0時(shí)，開(kāi)口方向向上，a<0時(shí)，開(kāi)口方向向下。IaI還可以決定開(kāi)口大小,IaI越大開(kāi)口就越小,IaI越小開(kāi)口就越大。） 二次函數表達式的右邊通常為二次。
x是自變量，y是x的二次函數 二次函數的三種表達式
?、僖话闶剑?strong>
y=ax^
2;+bx+c(a,b,c為常數,a≠0)
?、陧旤c(diǎn)式[拋物線(xiàn)的頂點(diǎn) P(h，k) ]：
y=a（x－ｈ）^2＋ｋ
?、劢稽c(diǎn)式[僅限于與x軸有交點(diǎn) A(x1,0) 和 B(x2,0) 的拋物線(xiàn)]：
y=a(x-x1)(x-x2) 以上3種形式可進(jìn)行如下轉化：
?、僖话闶胶晚旤c(diǎn)式的關(guān)系
對于二次函數y=ax+bx+c，其頂點(diǎn)坐標為
(-b/2a),(4ac-b2)/4a)，即
h=-b/2a=(x1+x2)/2 k=(4ac-b²)/4a ?、谝话闶胶徒稽c(diǎn)式的關(guān)系
x1,x2=[-b±√(b²-4ac)]/2a(即一元二次方程求根公式)
二次函數的圖像
在平面直角坐標系中作出二次函數
y=x²的圖像，
可以看出，二次函數的圖像是一條永無(wú)止境的拋物線(xiàn)。
拋物線(xiàn)的性質(zhì)
1.拋物線(xiàn)是
軸對稱(chēng)圖形。對稱(chēng)軸為直線(xiàn)
x = -b/2a。
對稱(chēng)軸與拋物線(xiàn)唯一的交點(diǎn)為拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)P。
特別地，當b=0時(shí)，拋物線(xiàn)的對稱(chēng)軸是y軸（即直線(xiàn)x=0）
2.拋物線(xiàn)有一個(gè)頂點(diǎn)P，坐標為P ( -b/2a ，(4ac-b²)/4a )
當-b/2a=0時(shí)，P在y軸上；當Δ= b²-4ac=0時(shí)，P在x軸上。
3.二次項系數a決定拋物線(xiàn)的開(kāi)口方向和大小。
當a＞0時(shí)，拋物線(xiàn)向上開(kāi)口；當a＜0時(shí)，拋物線(xiàn)向下開(kāi)口。
|a|越大，則拋物線(xiàn)的開(kāi)口越小。
4.一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱(chēng)軸的位置。
當a與b
同號時(shí)（即ab
＞0），對稱(chēng)軸在
y軸左； 因為若對稱(chēng)軸在左邊則對稱(chēng)軸小于0，也就是-b/2a<0,所以b/2a要大于0，所以a、b要同號
當a與b
異號時(shí)（即ab
＜0），對稱(chēng)軸在
y軸右。因為對稱(chēng)軸在右邊則對稱(chēng)軸要大于0，也就是-b/2a>0,所以b/2a要小于0，所以a、b要異號
事實(shí)上，b有其自身的幾何意義：拋物線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)處的該拋物線(xiàn)切線(xiàn)的函數解析式（一次函數）的斜率k的值?？赏ㄟ^(guò)對二次函數求導得到。
5.常數項c決定拋物線(xiàn)與y軸交點(diǎn)。
拋物線(xiàn)與y軸交于（0，c）
6.拋物線(xiàn)與x軸交點(diǎn)個(gè)數
Δ= b²-4ac＞0時(shí)，拋物線(xiàn)與x軸有2個(gè)交點(diǎn)。
Δ= b²-4ac=0時(shí)，拋物線(xiàn)與x軸有1個(gè)交點(diǎn)。
_______
Δ= b²-4ac＜0時(shí)，拋物線(xiàn)與x軸沒(méi)有交點(diǎn)。X的取值是虛數（
x= -b±√b²－4ac 的值的相反數，乘上虛數i，整個(gè)式子除以2a）
當a>0時(shí)，函數在x= -b/2a處取得最小值f(-b/2a)=4ac-b²/4a；在{x|x<-b/2a}上是減函數，在{x|x>-b/2a}上是增函數；拋物線(xiàn)的開(kāi)口向上；函數的值域是{y|y≥4ac-b²/4a}相反不變
當b=0時(shí)，拋物線(xiàn)的對稱(chēng)軸是y軸，這時(shí)，函數是偶函數，解析式變形為y=ax²+c(a≠0)
7.定義域：R 值域：（對應解析式，且只討論a大于0的情況，a小于0的情況請讀者自行推斷）①[(4ac-b²)/4a，正無(wú)窮）；②[t，正無(wú)窮）
奇偶性：偶函數
周期性：無(wú)
解析式：
?、賧=ax²+bx+c[一般式]
?、臿≠0
?、芶＞0，則拋物線(xiàn)開(kāi)口朝上；a＜0，則拋物線(xiàn)開(kāi)口朝下；
?、菢O值點(diǎn)：（-b/2a，(4ac-b²)/4a）；
?、?#916;=b²-4ac,
Δ＞0，圖象與x軸交于兩點(diǎn)：
?。╗-b-√Δ]/2a，0）和（[-b+√Δ]/2a，0）；
Δ＝0，圖象與x軸交于一點(diǎn)：
?。?b/2a，0）；
Δ＜0，圖象與x軸無(wú)交點(diǎn)；
?、趛=a(x-h)²+t[配方式]
此時(shí)，對應極值點(diǎn)為（h，t），其中h=-b/2a，t=(4ac-b²)/4a）；
二次函數與一元二次方程
特別地，二次函數（以下稱(chēng)函數）
y=ax²+bx+c，
當
y=0時(shí)，二次函數為關(guān)于x的一元二次方程（以下稱(chēng)方程），
即
ax²+bx+c=0
此時(shí)，函數圖像與x軸有無(wú)交點(diǎn)即方程有無(wú)實(shí)數根。
函數與x軸交點(diǎn)的橫坐標即為方程的根。
1．
二次函數y=ax²，y=a(x-h)²，y=a(x-h)² +k，y=ax²+bx+c(各式中，a≠0)的圖象形狀相同，只是位置不同，它們的頂點(diǎn)坐標及對稱(chēng)軸如下表：
解析式
y=ax² y=ax²+K
y=a(x-h)²
y=a(x-h)²+k
y=ax²+bx+c
頂點(diǎn)坐標
(0，0) (0，K)
(h，0)
(h，k)
(-b/2a，sqrt[4ac-b²]/4a)
對 稱(chēng) 軸
x=0 x=0
x=h
x=h
x=-b/2a
當
h>0時(shí)，
y=a(x-h)²的圖象可由拋物線(xiàn)
y=ax²向右平行移動(dòng)
h個(gè)單位得到，
當
h<0時(shí)，則向左平行移動(dòng)|h|個(gè)單位得到．
當
h>0,k>0時(shí)，將拋物線(xiàn)
y=ax²向右平行移動(dòng)h個(gè)單位，再向上移動(dòng)k個(gè)單位，就可以得到y=a(x-h)²+k的圖象；
當
h>0,k<0時(shí)，將拋物線(xiàn)
y=ax²向右平行移動(dòng)h個(gè)單位，再向下移動(dòng)|k|個(gè)單位可得到
y=a(x-h)²+k的圖象；
當
h<0,k>0時(shí)，將拋物線(xiàn)向左平行移動(dòng)
|h|個(gè)單位，再向上移動(dòng)k個(gè)單位可得到
y=a(x-h)²+k的圖象；
當
h<0,k<0時(shí)，將拋物線(xiàn)向左平行移動(dòng)
|h|個(gè)單位，再向下移動(dòng)|k|個(gè)單位可得到
y=a(x-h)²+k的圖象；
因此，研究拋物線(xiàn)
y=ax^2+bx+c(a≠0)的圖象，通過(guò)配方，將一般式化為y=a(x-h)²+k的形式，可確定其頂點(diǎn)坐標、對稱(chēng)軸，拋物線(xiàn)的大體位置就很清楚了．這給畫(huà)圖象提供了方便．
2．拋物線(xiàn)
y=ax²+bx+c(a≠0)的圖象：當a>0時(shí)，開(kāi)口向上，當a<0時(shí)開(kāi)口向下，對稱(chēng)軸是直線(xiàn)
x=-b/2a，頂點(diǎn)坐標是
(-b/2a，[4ac-b²]/4a)． 3．拋物線(xiàn)
y=ax²+bx+c(a≠0)，若
a>0，當
x ≤ -b/2a時(shí)，y隨x的增大而減??；當
x ≥ -b/2a時(shí)，y隨x的增大而增大．若a<0，當x ≤ -b/2a時(shí)，y隨x的增大而增大；當x ≥ -b/2a時(shí)，y隨x的增大而減?。?
4．拋物線(xiàn)y=ax²+bx+c的圖象與坐標軸的交點(diǎn)：
(1)圖象與y軸一定相交，交點(diǎn)坐標為(0，c)；
(2)當△=b²-4ac>0，圖象與x軸交于兩點(diǎn)A(x?，0)和B(x?，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax²+bx+c=0
(a≠0)的兩根．這兩點(diǎn)間的距離AB=|x?-x?| 另外，拋物線(xiàn)上任何一對對稱(chēng)點(diǎn)的距離可以由|2×（-b/2a）－A |（A為其中一點(diǎn)的橫坐標）
當△=0．圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)；
當△<0．圖象與x軸沒(méi)有交點(diǎn)．當a>0時(shí)，圖象落在x軸的上方，x為任何實(shí)數時(shí)，都有y>0；當a<0時(shí)，圖象落在x軸的下方，x為任何實(shí)數時(shí)，都有y<0．
5．拋物線(xiàn)y=ax²+bx+c的最值：如果a>0(a<0)，則當x= -b/2a時(shí)，y最小(大)值=(4ac-b²)/4a．
頂點(diǎn)的橫坐標，是取得最值時(shí)的自變量值，頂點(diǎn)的縱坐標，是最值的取值．
6．用待定系數法求二次函數的解析式
(1)當題給條件為已知圖象經(jīng)過(guò)三個(gè)已知點(diǎn)或已知x、y的三對對應值時(shí)，可設解析式為一般形式：
y=ax²+bx+c(a≠0)．
(2)當題給條件為已知圖象的頂點(diǎn)坐標或對稱(chēng)軸或極大（?。┲禃r(shí)，可設解析式為頂點(diǎn)式：y=a(x-h)²+k(a≠0)．
(3)當題給條件為已知圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標時(shí)，可設解析式為兩根式：y=a(x-x?)(x-x?)(a≠0)．
7．二次函數知識很容易與其它知識綜合應用，而形成較為復雜的綜合題目。因此，以二次函數知識為主的綜合性題目是中考的熱點(diǎn)考題，往往以大題形式出現．
1．(北京西城區)拋物線(xiàn)y=x²-2x+1的對稱(chēng)軸是( )
(A)直線(xiàn)x=1 (B)直線(xiàn)x=-1 (C)直線(xiàn)x=2 (D)直線(xiàn)x=-2
考點(diǎn)：二次函數y=ax²+bx+c的對稱(chēng)軸．
評析：因為拋物線(xiàn)y=ax²+bx+c的對稱(chēng)軸方程是：x=-b/2a，將已知拋物線(xiàn)中的a=1，b=-2代入，求得x=1，故選項A正確．
另一種方法：可將拋物線(xiàn)配方為y=a(x-h)²+k的形式，對稱(chēng)軸為x=h，已知拋物線(xiàn)可配方為y=(x-1)²，所以對稱(chēng)軸x=1，應選A．
2．( 北京東城區)有一個(gè)二次函數的圖象，三位學(xué)生分別說(shuō)出了它的一些特點(diǎn)：
甲：對稱(chēng)軸是直線(xiàn)x=4；
乙：與x軸兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標都是整數；
丙：與y軸交點(diǎn)的縱坐標也是整數，且以這三個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形面積為3．
請你寫(xiě)出滿(mǎn)足上述全部特點(diǎn)的一個(gè)二次函數解析式：?。?
考點(diǎn)：二次函數y=ax²+bx+c的求法
評析：設所求解析式為y=a(x-x1)(x-x2)，且設x1＜x2，則其圖象與x軸兩交點(diǎn)分別是A(x1，0)，B(x2，0)，與y軸交點(diǎn)坐標是(0，ax1x2). 『因為頂點(diǎn)式a(x+x1)(x+x2),又因為與y軸交點(diǎn)的橫坐標為0，所以a(0+x1)(0+x2),也就是ax1x2
∵拋物線(xiàn)對稱(chēng)軸是直線(xiàn)x=4，
∴x2-4=4 - x1即：x1+ x2=8?、?∵S△ABC=3，∴(x2- x1)·|a x1 x2|= 3，
即：x2- x1=?、?
?、佗趦墒较嗉訙p，可得：x2=4+，x1=4-
∵x1，x2是整數，ax1x2也是整數，∴ax1x2是3的約數，共可取值為：±1，±3。
當ax1x2=±1時(shí)，x2=7，x1=1，a=±
當ax1x2=±3時(shí)，x2=5，x1=3，a=±
因此，所求解析式為：y=±(x-7)(x-1)或y=±(x-5)(x-3)
即：y=x2-x+1 或y=-x2+x-1 或y=x2-x+3 或y=-x2+x-3
說(shuō)明：本題中，只要填出一個(gè)解析式即可，也可用猜測驗證法。例如：猜測與x軸交點(diǎn)為A(5，0)，B(3，0)。再由題設條件求出a，看C是否整數。若是，則猜測得以驗證，填上即可。
5．( 河北省)如圖13-28所示，二次函數y=x²-4x+3的圖象交x軸于A(yíng)、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，則△ABC的面積為( )
A、6 B、4 C、3 D、1
考點(diǎn)：二次函數y=ax2+bx+c的圖象及性質(zhì)的運用。
評析：由函數圖象可知C點(diǎn)坐標為(0，3)，再由x²-4x+3=0可得x1=1，x2=3所以A、B兩點(diǎn)之間的距離為2。那么△ABC的面積為3，故應選C。
圖13-28
6．( 安徽省)心理學(xué)家發(fā)現，學(xué)生對概念的接受能力y與提出概念所用的時(shí)間x(單位：分)之間滿(mǎn)足函數關(guān)系：y=-0.1x2+2.6x+43(0＜x＜30)。y值越大，表示接受能力越強。
(1)x在什么范圍內，學(xué)生的接受能力逐步增強？x在什么范圍內，學(xué)生的接受能力逐步降低？
(2)第10分時(shí)，學(xué)生的接受能力是什么？
(3)第幾分時(shí)，學(xué)生的接受能力最強？
考點(diǎn)：二次函數y=ax²+bx+c的性質(zhì)。
評析：將拋物線(xiàn)y=-0.1x2+2.6x+43變?yōu)轫旤c(diǎn)式為：y=-0.1(x-13)2+59.9，根據拋物線(xiàn)的性質(zhì)可知開(kāi)口向下，當x＜13時(shí)，y隨x的增大而增大，當x>13時(shí)，y隨x的增大而減小。而該函數自變量的范圍為：0＜x3＜0，所以?xún)蓚€(gè)范圍應為0＜x＜13；13＜x＜30。將x=10代入，求函數值即可。由頂點(diǎn)解析式可知在第13分鐘時(shí)接受能力為最強。解題過(guò)程如下：
解：(1)y=-0.1x2+2.6x+43=-0.1(x-13)2+59.9
所以，當0＜x＜13時(shí)，學(xué)生的接受能力逐步增強。
當13＜x＜30時(shí)，學(xué)生的接受能力逐步下降。
(2)當x=10時(shí)，y=-0.1(10-13)2+59.9=59。
第10分時(shí)，學(xué)生的接受能力為59。
(3)x=13時(shí)，y取得最大值，
所以，在第13分時(shí)，學(xué)生的接受能力最強。
9．( 河北省)某商店經(jīng)銷(xiāo)一種銷(xiāo)售成本為每千克40元的水產(chǎn)品．據市場(chǎng)分析，若按每千克50元銷(xiāo)售，一個(gè)月能售出500千克；銷(xiāo)售單價(jià)每漲1元，月銷(xiāo)售量就減少10千克．針對這種水產(chǎn)品的銷(xiāo)售情況，請解答以下問(wèn)題：
(1)當銷(xiāo)售單價(jià)定為每千克55元時(shí)，計算月銷(xiāo)售量和月銷(xiāo)售利潤；
(2)設銷(xiāo)售單價(jià)為每千克x元，月銷(xiāo)售利潤為y元，求y與x的函數關(guān)系式(不必寫(xiě)出x的取值范圍)；
(3)商店想在月銷(xiāo)售成本不超過(guò)10000元的情況下，使得月銷(xiāo)售利潤達到8000元，銷(xiāo)售單價(jià)應定為多少？
解：(1)當銷(xiāo)售單價(jià)定為每千克55元時(shí)，月銷(xiāo)售量為：500–(55–50)×10=450(千克)，所以月銷(xiāo)售利潤為
:(55–40)×450=6750(元)．
(2)當銷(xiāo)售單價(jià)定為每千克x元時(shí)，月銷(xiāo)售量為：[500–(x–50)×10]千克而每千克的銷(xiāo)售利潤是:(x–40)元，所以月銷(xiāo)售利潤為：
y=(x–40)[500–(x–50)×10]=(x–40)(1000–10x)=–10x²+1400x–40000(元)，
∴y與x的函數解析式為：y =–10x²+1400x–40000．
(3)要使月銷(xiāo)售利潤達到8000元，即y=8000，∴–10x2+1400x–40000=8000，
即：x2–140x+4800=0，
解得：x1=60，x2=80．
當銷(xiāo)售單價(jià)定為每千克60元時(shí)，月銷(xiāo)售量為：500–(60–50)×10=400(千克)，月銷(xiāo)售成本為：
40×400=16000(元)；
當銷(xiāo)售單價(jià)定為每千克80元時(shí)，月銷(xiāo)售量為：500–(80–50)×10=200(千克)，月銷(xiāo)售單價(jià)成本為：
40×200=8000(元)；
由于8000＜10000＜16000，而月銷(xiāo)售成本不能超過(guò)10000元，所以銷(xiāo)售單價(jià)應定為每千克80元．
19．2006義烏市經(jīng)濟繼續保持平穩較快的增長(cháng)態(tài)勢，全市實(shí)現生產(chǎn)總值 元，已知全市生產(chǎn)總值＝全市戶(hù)籍人口×全市人均生產(chǎn)產(chǎn)值，設義烏市2006年戶(hù)籍人口為x（人），人均生產(chǎn)產(chǎn)值為y（元）．
?。?）求y關(guān)于x的函數關(guān)系式；
?。?）2006年義烏市戶(hù)籍人口為706 684人，求2006年義烏市人均生產(chǎn)產(chǎn)值（單位：元，結果精確到個(gè)位）：若按2006年全年美元對人民幣的平均匯率計（1美元＝7.96元人民幣），義烏市2006年人均生產(chǎn)產(chǎn)值是否已跨越6000美元大關(guān)？
20．下圖1為義烏市2005年，2006年城鎮居民人均可支配收入構成條形統計圖。圖2為義烏市2006年城鎮居民人均可支配收入構成扇形統計圖，城鎮居民個(gè)人均可支配收入由工薪收入、經(jīng)營(yíng)凈收入、財產(chǎn)性收入、轉移性收入四部分組成。請根據圖中提供的信息回答下列問(wèn)題：
?。?）2005年義烏市城鎮居民人均工薪收入為_(kāi)_______元，2006年義烏市城鎮居民人均可支配收入為_(kāi)______元；
?。?）在上圖2的扇形統計圖中，扇形區域A表示2006年的哪一部分收入：__________．
?。?）求義烏市2005年到2006年城鎮居民人遠親中支配收入的增長(cháng)率（精確到0．1℅）
19．解：（1） （x為正整數）
?。?）2006年全市人均生產(chǎn)產(chǎn)值= （元）（2分）
我市2006年人均生產(chǎn)產(chǎn)值已成功跨越6000美元大關(guān)（1分）
