斐波那契數列是一種遞歸序列，序列中每一個(gè)數字都是通過(guò)將前兩個(gè)數字相加而產(chǎn)生的。0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、377， 610、987 ...黃金分割率和斐波那契數列的數學(xué)聯(lián)系緊密。

斐波那契數列的發(fā)現

斐波那契數列是由一位13世紀的意大利比薩的數學(xué)家列奧納多·斐波那契發(fā)現的，他的功績(jì)還包括在整個(gè)歐洲大部分地區推廣了印度-阿拉伯數字系統。

斐波那契的書(shū)《Liber abaci》（1202年）還解決了許多有的數學(xué)問(wèn)題。這些問(wèn)題之一就論及兔子的繁殖速度相關(guān)的問(wèn)題：

假設整個(gè)過(guò)程中沒(méi)有兔子死亡，并且雌兔總是繁殖出一對仔兔且雌雄各一。兔子可以在一個(gè)月大的時(shí)候繁殖，所以在第二個(gè)月月底，雌性仔兔可以生下另一對兔子。每個(gè)月初兔子的總數遵循以下模式：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144，依此類(lèi)推。每個(gè)數字都是前兩個(gè)數字的和，數字很快變大，并且序列是無(wú)限的。

直到很久以后，法國數學(xué)家愛(ài)德華·盧卡斯（Edouard Lucas）在研究自己的相似數字序列并對斐波那契的描述進(jìn)行更詳細的研究之后，才明白了這些數字的意義，因此他給斐波那契數列定了名。繼盧卡斯的研究之后，在自然界中越來(lái)越多地觀(guān)察到這些數字所描述的規律，從松果的螺旋片狀結構、花椰菜上的小花到向日葵上的種子排列的方式。實(shí)際上該序列描述的東西比兔子的繁殖模式復雜得多。

自然增長(cháng)模式

斐波那契數列似乎總是與自然界的增長(cháng)規律有關(guān)。 這種規律適用于所有生物的生長(cháng)，從單個(gè)植物細胞到蜜蜂的繁殖；大自然依靠簡(jiǎn)單的規律來(lái)構建極其復雜，而且通常很漂亮的構造，斐波那契數列正反映了這一點(diǎn)。直到1993年，斐波那契數才被科學(xué)證明存在于自然界中。

黃金比例

與斐波納契數列密切相關(guān)的是黃金比例。黃金比例似乎是人類(lèi)潛意識進(jìn)行審美過(guò)程中識別出的一種模式，這意味著(zhù)人腦中對于黃金比例非常敏感，復合黃金比例的視覺(jué)模式可以激發(fā)人類(lèi)的審美情緒（某種神經(jīng)和諧狀態(tài)）。

黃金比例可以通過(guò)在唯一點(diǎn)處劃分線(xiàn)段來(lái)得出，在該唯一點(diǎn)處，整條線(xiàn)與最大段的比例與大段與小段的比例相同。如下圖所示。

上圖：黃金比例(a+b):a=a:b。

黃金比率的值約為1.618034。

黃金分割率的基本原理是其數學(xué)特性。它是一個(gè)無(wú)理數，表示它不能被表示為分數（例如：0.25是1/4，0.5是1/2，依此類(lèi)推）。生物生長(cháng)必須允許無(wú)窮細分下去，無(wú)理數是天然的選擇，而為什么選擇黃金比率，則仍然是一個(gè)謎，或許是因為這種比例的規則非常簡(jiǎn)單。其它無(wú)理數則很難用一個(gè)簡(jiǎn)單的規則來(lái)表達。

以向日葵的種子為例。小種子在花的中心產(chǎn)生，然后向外推擠。為了有效地填充空間，每個(gè)新種子都以與前一個(gè)種子具有一定的偏移角度。隨著(zhù)這個(gè)過(guò)程的不斷重復，自然會(huì )形成螺旋形的排列。但如果采用一個(gè)簡(jiǎn)單的分數，那么則種子最終就會(huì )成排堆積，在彼此之間留下空隙?；蛟S正是如此植物“使用了”或者說(shuō)“自然形成”了黃金比例的排列方式。

黃金數字

如果將斐波納契數列中的每個(gè)數除以前一個(gè)數，則新數列將收斂于黃金分割率。

• 1/1 = 1，
  

• 2/1 = 2，
  

• 3/2 = 1.5，
  

• 5/3 = 1.66，
  

• 8/5 = 1.6，
  

• 13/8 = 1.625，
  

• 21/13 = 1.615，
  

• 34/21 = 1.619，
  

• 55/34 = 1.618
  

斐波那契數是黃金比例的整數近似值，這是它們在自然界如此頻繁出現的原因之一。例如，松果有兩組螺旋鱗片，一個(gè)方向上8個(gè)，另一個(gè)方向上13個(gè)，這是兩組連續的斐波那契數列。

上圖：黃金矩形

自然界中的斐波那契數列

植物的葉子的排列方式就是典型的例子：植物的新葉子在莖的頂端旋轉生長(cháng)，各層葉片的數量就是復合斐波那契數列規律的，因為這樣可以確保每片葉子接受最多的陽(yáng)光并盡可能多捕獲降雨。隨著(zhù)每片新葉的生長(cháng)，其角度與下方老葉的角度有所偏移。連續葉片之間最常見(jiàn)的角度是137.5°，這各角度被稱(chēng)為黃金角度，它將完整360°度分割為1.618034的黃金比例。

據估計，所有植物中有90％的葉子排列方式涉及斐波那契數列。尤其是它們的花朵。

通常的花有三、五或八枚花瓣——全部為斐波那契數。再如萬(wàn)壽菊有13枚花瓣，有些紫苑有21枚花瓣；雛菊可以發(fā)現34、55甚至89枚花瓣。

上圖：向日葵內部的斐波那契數列模式。

雖然某些植物花瓣的數量非常準確，但許多物種花瓣的數量卻可以變化，但平均值為斐波那契數列中的數字。雙斐波那契數也出現在花朵中；例如六瓣水仙花。當然，該規則也有例外，例如具有七個(gè)花瓣的巖景天。當然，花瓣會(huì )隨著(zhù)植物的生長(cháng)而脫落,我們討論的是實(shí)際生長(cháng)的情況，不討論脫落后的情況。

自然界中斐波那契數列的例子

雞蛋

雞蛋的橢圓線(xiàn)條的一大部分就非常契合斐波那契數列所構造的。

羅馬西蘭花

羅馬西蘭花是斐波那契的一個(gè)極其完美且明顯例子。每個(gè)結節都是獨立的斐波那契螺旋。

蘆薈類(lèi)植物

螺旋蘆薈呈現出非常規則的斐波那契螺旋。從圖中可以看到每片葉子如何向外螺旋旋轉展開(kāi)。

向日葵

這張照片中的斐波那契螺旋線(xiàn)稍微有些微妙，但你還是能看到螺旋線(xiàn)的模式（人肉智能的模式識別能力是很強的）。

石雛菊

——能識別出螺旋線(xiàn)嗎？

松果

所有松果都呈現出斐波那契數列的規律。當從中心向外觀(guān)察時(shí)，松果上凸出的松子會(huì )逐漸變大，顯示出斐波那契螺旋。

豹紋變色龍

豹紋變色龍的尾巴自然卷曲成斐波那契螺旋。（臉我們就不用看了……）

美洲巨人千足蟲(chóng)

美國巨型千足蟲(chóng)。斐波那契所構成的比例被認為是阻力最小的設計。

穿山甲

斐波那契盔甲=非常安全。穿山甲能夠通過(guò)形成斐波那契螺旋來(lái)保護其柔軟的腹部。但這么萌這么完美的動(dòng)物居然被拔掉鱗片做成中藥！無(wú)語(yǔ)！中國的穿山甲估計已經(jīng)絕種了！

蕨芽

多數蕨類(lèi)植物的芽都有類(lèi)似的形式，非常清新的螺旋。

蝸牛和指紋

兩者都有明顯的斐波那契螺旋。

人口

有人發(fā)現在非洲，大多數人口稠密的城市落在或接近螺旋線(xiàn)的軌跡上。（不過(guò)個(gè)人覺(jué)得這像是一個(gè)巧合。）

化石

具有斐波那契數列規律的菊石化石。您可以看到，隨著(zhù)殼的增大，斐波那契螺旋形成了，而且這種形狀非常漂亮。

最后,一幅日本名畫(huà)也被拿來(lái)做斐波那契數列模式分析。