在談到實(shí)驗之前，還得順便提一句，我們在此系列文章中，所談到的量子糾纏，以及推導貝爾不等式的過(guò)程，用的都是EPR佯謬簡(jiǎn)化了的波姆版。也就是說(shuō)，我們使用了兩個(gè)不同的自旋（‘上↑’和‘下↓’）來(lái)表述量子態(tài)，這使得問(wèn)題敘述起來(lái)簡(jiǎn)化很多，因為在這種只有2個(gè)離散變量的情況下，單個(gè)粒子的量子態(tài)，只對應于2維的希爾伯特空間，（注：希爾伯特空間可理解為維數可以擴展到包括無(wú)窮大的歐幾里德空間。）兩個(gè)粒子的糾纏態(tài)，只對應于4維的希爾伯特空間。在愛(ài)因斯坦等人的原始文章中，他們是用兩個(gè)粒子的位置及動(dòng)量來(lái)描述粒子之間的‘糾纏’。如果使用EPR原文的那種方法，描述和推導都非常地復雜，因為位置或動(dòng)量對應的是連續變量，即無(wú)窮維希爾伯特空間的情況。不過(guò)，在實(shí)際的物理理論和實(shí)驗中，兩種說(shuō)法都會(huì )用到，分別被稱(chēng)為：‘離散變量’和‘連續變量’的糾纏態(tài)。我們在此簡(jiǎn)要地說(shuō)明了一下它們的區別，以使讀者今后在文獻中碰到這兩個(gè)詞匯時(shí)，能感覺(jué)更少一些的云遮霧障。

在這篇文章中，為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，大多數時(shí)候都用電子自旋來(lái)描述量子態(tài)?；仡^看看前面的幾節，我們已經(jīng)用文字介紹了‘疊加態(tài)’和‘糾纏態(tài)’，恐怕現在應該是用點(diǎn)簡(jiǎn)單的數學(xué)符號來(lái)重新整理這些概念的時(shí)候了。

上面我們說(shuō)到：“一個(gè)粒子的自旋量子態(tài)，對應于2維的希爾伯特空間”。這個(gè)希爾伯特2維空間與我們生活中的2維空間不一樣，它是表示量子態(tài)的空間。一個(gè)量子態(tài)對應于希爾伯特空間的一個(gè)矢量。著(zhù)名的英國物理學(xué)家狄拉克為量子態(tài)空間定義了一套十分優(yōu)雅的符號系統，比如說(shuō)，狄拉克用下面兩個(gè)符號來(lái)表示粒子自旋的兩個(gè)基本狀態(tài)：|+>和|->。

不過(guò)，筆者在準備這節文章時(shí)，發(fā)現非物理專(zhuān)業(yè)的人士對這種符號（|>、<|）很反感，說(shuō)是看見(jiàn)就暈，不想看下去。所以，為了照顧大多數人的情緒，只好損失幾個(gè)象牙塔里人物的品味，暫時(shí)舍棄狄拉克算符，用更通俗的數學(xué)語(yǔ)言，來(lái)敘述量子態(tài)。

現在，我們用兩個(gè)不同的符號：S₁和S₀，來(lái)表示兩個(gè)不同的量子態(tài)。比如說(shuō)，用它們分別表示剛才所提到的‘上’、‘下’這兩種不同的基本自旋態(tài)。

這兒的S₁和S₀是兩個(gè) ‘純本征態(tài)’。這個(gè)‘純’字，是相對于‘疊加’而言的。就是說(shuō)，

一個(gè)粒子的‘疊加態(tài)’，可以寫(xiě)成兩個(gè)‘本征態(tài)’的線(xiàn)性混合疊加：

疊加態(tài) = a*S₁ + b*S₀          （8.1）

這里的a、b，是任意滿(mǎn)足（|a|**2+|b|**2=1）的復數，他們對應于兩個(gè)本征態(tài)在疊加態(tài)中所占的比例系數。當a=0，或者b=0時(shí)，疊加態(tài)就簡(jiǎn)化成兩個(gè)本征態(tài)。兩個(gè)比例系數的平方：|a|**2或|b|**2，分別代表測量時(shí)，測得粒子的狀態(tài)是S₁或S₀的幾率。

比如，在楊氏雙縫實(shí)驗中，電子或光子位置的疊加態(tài)可以寫(xiě)成：

雙縫態(tài) = a*縫₁ + b*縫₂

薛定諤理想實(shí)驗中的貓，也可以寫(xiě)成疊加態(tài)的形式：

貓態(tài) = a*活貓 + b*死貓

還可以把這個(gè)例子再具體化一些。比如，如果在實(shí)驗中我們知道：a=0.8，b=0.6，那么，打開(kāi)蓋子時(shí)，活貓的幾率是0.8**2=0.64，而死貓的幾率是0.6**2=0.36?；蛘哒f(shuō)，實(shí)驗者有百分之六十四的概率看見(jiàn)一只活蹦亂跳的貓，而只有百分之三十六的概率看見(jiàn)一只死貓。感謝上帝，他不會(huì )看到一只可怖的又死又活的貓！那種‘貓態(tài)’只有可能存在于打開(kāi)蓋子之前，薛定諤及愛(ài)因斯坦認為那種貓可怕，但波爾一派怎么說(shuō)呢？波爾說(shuō)：打開(kāi)蓋子前，貓根本不存在，不用去想它是什么狀態(tài)，毫無(wú)意義的問(wèn)題！

在上述兩個(gè)例子中的狀態(tài)，諸如：縫₁、縫₂、活貓、死貓，都是‘本征態(tài)’。根據上面的公式（8.1），可看出：疊加態(tài)是普遍的大多數，而‘本征態(tài)’只代表（a=1,b=0）或者(a=0,b=1)的少數極端情況。還可以看出，如果一個(gè)粒子處于本征態(tài)，那么，它的測量結果是確定的（幾率=1）。因此，‘本征態(tài)’又被稱(chēng)做‘定態(tài)’。

定態(tài)是確定性的，只有疊加態(tài)才表現出量子力學(xué)‘既在這兒、又在那兒’的詭異特征?，F在，我們從簡(jiǎn)單的數學(xué)表述，更為深刻地理解了本文第一節中的一段話(huà)：“疊加態(tài)的存在，是量子力學(xué)最大的奧秘，是量子現象給人以神秘感的根源，是我們了解量子力學(xué)的關(guān)鍵?！?/span>

那么，使用剛才的符號，‘糾纏態(tài)’又應該如何表示呢？我們從最簡(jiǎn)單的兩個(gè)粒子的糾纏說(shuō)起。首先，現在有了兩個(gè)粒子A和B，它們分別都有兩種定態(tài)0、1（A₁ 、A₀和B₁ 、B₀）。因此，它們的單粒子定態(tài)可以組成4種雙粒子定態(tài)：

A₁B₁、A₁B₀、A₀B₁、A₀B₀。

類(lèi)似于1個(gè)粒子的情形，這4種定態(tài)可以線(xiàn)性組合成許多混合疊加態(tài)。這些疊加態(tài)可以分成兩大類(lèi)：糾纏態(tài)和非糾纏態(tài)。如果一個(gè)雙粒子疊加態(tài)可以寫(xiě)成各自粒子狀態(tài)的（張量）乘積的話(huà)，就是非糾纏態(tài)，比如下面是一個(gè)非糾纏態(tài)的例子：

非糾纏態(tài)例子 = A₀B₀ - A₀B₁ + A₁B₀ - A₁B₁ = (A₀ + A₁)*( B₀ - B₁)

因為它可以寫(xiě)成第一個(gè)粒子的疊加態(tài)：(A₀ + A₁)，

和第二個(gè)粒子的疊加態(tài)：(B₀ - B₁)，之乘積形式。

提醒一下，在上面的幾個(gè)表達式中，我們略去了幾率歸一化的系數a和b等，以后也都略去不寫(xiě)。

現在，如果我們研究下面這幾種雙粒子疊加態(tài)：

糾纏1 = A₀B₁ - A₁B₀                （8.2）

糾纏2 = A₀B₁ + A₁B₀                （8.3）

糾纏3 = A₁B₁ - A₀B₀                （8.4）

糾纏4 = A₁B₁ + A₀B₀                （8.5）

就會(huì )發(fā)現，它們在數學(xué)上無(wú)法表達成單個(gè)粒子狀態(tài)的乘積。也就是說(shuō)，兩粒子的物理狀態(tài)糾纏在一起，不可分開(kāi)。一個(gè)的狀態(tài)決定了另一個(gè)的狀態(tài)。

以上面的‘糾纏1’為例來(lái)說(shuō)明這種多粒子復合態(tài)如何糾纏。首先，這是一個(gè)由兩個(gè)定態(tài)：A₀B₁、A₁B₀組成的疊加態(tài)，在測量之前，按照正統詮釋的說(shuō)法，叫做：“既是A₀B₁，又是A₁B₀”。一旦測量任何一個(gè)，比如測量A，A的狀態(tài)立即塌縮成0，或者1，幾率各半。然而，測量A的瞬時(shí)，怪事發(fā)生了：B沒(méi)有被測量，但卻同時(shí)塌縮到與A相反的狀態(tài)，即使這個(gè)時(shí)候A、B已經(jīng)相距很遠很遠。

除了前述的4種糾纏態(tài)之外，還有很多種糾纏態(tài)。糾纏態(tài)是多粒子量子系統中的普遍形式。上面（8.2）-（8.5）所列的4種特殊糾纏態(tài)，被稱(chēng)之為貝爾態(tài)。

回到薛定諤的貓的故事，實(shí)際上，薛定諤的貓態(tài)并不是簡(jiǎn)單的死貓和活貓的疊加態(tài)，而應該寫(xiě)成‘貓’和實(shí)驗中‘放射性原子’兩者的糾纏態(tài)：

貓和原子糾纏態(tài) = 活貓*原子_未衰變 + 死貓*原子_衰變了

我們再次重復量子論的正統解釋。上面表達式的意思是說(shuō)：薛定諤的貓與原子組成的兩體系統，處于兩個(gè)定態(tài)的混合：

定態(tài)1 = 原子未衰變、活貓；

定態(tài)2 = 原子衰變了、死貓。

盒子打開(kāi)之前，總狀態(tài)不確定，是定態(tài)1和定態(tài)2的混合。盒子打開(kāi)，總狀態(tài)塌縮到兩個(gè)定態(tài)之一，幾率各半（不同于前面a=0.8、b=0.6的情況）。

現在再回到貝爾不等式。大家還記得，在上一節中，我們是用經(jīng)典概率方法導出這個(gè)不等式的。所以，經(jīng)典孫悟空的行動(dòng)一定會(huì )受限于這個(gè)不等式。量子孫悟空又如何呢？會(huì )不會(huì )遵循這個(gè)不等式？簡(jiǎn)單的理論推導可以證明：量子孫悟空的行為是違背貝爾不等式的。

仍然考慮糾纏1，它對應的量子態(tài)又叫做自旋單態(tài)。根據量子力學(xué)，如果在夾角為θ的兩個(gè)不同方向上對這個(gè)自旋單態(tài)粒子對進(jìn)行觀(guān)測，理論預言的關(guān)聯(lián)函數平均值將會(huì )是（-cosθ）。這個(gè)結果的推導過(guò)程需要用到量子力學(xué)自旋的計算，在此不表。但是，我們可以利用這個(gè)結論，加上幾步簡(jiǎn)單的代數運算，來(lái)檢驗量子力學(xué)的理論是否符合貝爾不等式。

從上一節得出的貝爾不等式：|Pxz-Pzy|≤ 1+Pxy，其中的x、y、z不一定需要構成3維空間的正交系。比如說(shuō)，可以取位于同一個(gè)平面上的三個(gè)方向，依次成60度的角。這樣就有：

Pxz = Pxy = -cos（60度） = -1/2，

Pzy = -cos（120度） = 1/2，

代人貝爾不等式左邊，則為：|-1/2-1/2| = 1，

代人貝爾不等式右邊，則為：1-1/2 = 1/2，

因此，對量子力學(xué)的這種情況，貝爾不等式不成立。

剛才的例子說(shuō)明量子理論已經(jīng)違背了貝爾不等式，實(shí)驗結果又如何呢？盡管糾纏態(tài)是多粒子量子系統中的普遍形式，但是，要在實(shí)驗室中得到‘好’的糾纏態(tài)，可不是那么容易的。有了糾纏度高、效率高，穩定可靠的糾纏態(tài)，才有可能在實(shí)驗室中來(lái)驗證我們在上一節中說(shuō)到的貝爾不等式，作出愛(ài)因斯坦和量子力學(xué)誰(shuí)對誰(shuí)錯的判決。也才有可能將量子糾纏態(tài)實(shí)際應用到通訊和計算機工程技術(shù)中，實(shí)現我們在本系列文章中將要談到的‘量子傳輸’及‘量子計算機’等等，那些激動(dòng)人心的高科技中的高科技。

上世紀的70年代早期，一個(gè)年輕人走進(jìn)了哥倫比亞大學(xué)‘吳夫人’（美籍華人物理學(xué)家吳健雄）的實(shí)驗室，向吳夫人請教20多年前，她和薩科諾夫第一次觀(guān)察到糾纏光子對的情況，那是在正負電子湮滅時(shí)產(chǎn)生的一對高能光子。當時(shí)的吳夫人沒(méi)有太在意年輕學(xué)生提出的這個(gè)問(wèn)題，只讓他和她的研究生卡斯蒂談了談。

這位年輕人名叫克勞瑟，出生于加里福利亞的物理世家，因為他的父親、叔叔、及家中幾個(gè)親戚都是物理學(xué)家，克勞瑟從小就聽(tīng)家人們在一起探討爭論深奧的物理問(wèn)題，后來(lái)，他進(jìn)了加州理工大學(xué)，受到費曼的影響，開(kāi)始思考量子力學(xué)基本理論中的關(guān)鍵問(wèn)題，他把一些想法和費曼討論，并告訴費曼說(shuō)，他決定要用實(shí)驗來(lái)測試貝爾不等式和EPR佯謬。據他自己后來(lái)半開(kāi)玩笑地描述當時(shí)費曼的激烈反應：“費曼把我從他的辦公室里扔了出去！”

貝爾定理和貝爾不等式被譽(yù)為“物理學(xué)中最重要的進(jìn)展”之一。之后，貝爾不等式被一個(gè)緊緊糾纏在一起的美國物理學(xué)家四人小組（CHSH）的工作所改良，稱(chēng)為CHSH不等式。這四個(gè)人的名字是：克勞瑟、霍恩、西摩尼、霍爾特。上面提到的克勞瑟是其中之一。

后來(lái)，克勞瑟及其合作者，果然成為CHSH-貝爾不等式實(shí)驗驗證的第一人。