RSA算法它是第一個(gè)既能用于數據加密也能用于數字簽名的算法。它易于理解和操作，也很流行。算法的名字以發(fā)明者的名字命名：Ron Rivest, Adi Shamir 和Leonard Adleman。但RSA的安全性一直未能得到理論上的證明。它經(jīng)歷了各種攻擊，至今未被完全攻破。
一、RSA算法 :
首先, 找出三個(gè)數, p, q, r,
其中 p, q 是兩個(gè)相異的質(zhì)數, r 是與 (p-1)(q-1) 互質(zhì)的數
p, q, r 這三個(gè)數便是 private key
接著(zhù), 找出 m, 使得 rm == 1 mod (p-1)(q-1)
這個(gè) m 一定存在, 因為 r 與 (p-1)(q-1) 互質(zhì), 用輾轉相除法就可以得到了
再來(lái), 計算 n = pq
m, n 這兩個(gè)數便是 public key
編碼過(guò)程是, 若資料為 a, 將其看成是一個(gè)大整數, 假設 a < n
如果 a >= n 的話(huà), 就將 a 表成 s 進(jìn)位 (s <= n, 通常取 s = 2^t),
則每一位數均小於 n, 然後分段編碼
接下來(lái), 計算 b == a^m mod n, (0 <= b < n),
b 就是編碼後的資料
解碼的過(guò)程是, 計算 c == b^r mod pq (0 <= c < pq),
於是乎, 解碼完畢 等會(huì )會(huì )證明 c 和 a 其實(shí)是相等的 :)
如果第三者進(jìn)行竊聽(tīng)時(shí), 他會(huì )得到幾個(gè)數: m, n(=pq), b
他如果要解碼的話(huà), 必須想辦法得到 r
所以, 他必須先對 n 作質(zhì)因數分解
要防止他分解, 最有效的方法是找兩個(gè)非常的大質(zhì)數 p, q,
使第三者作因數分解時(shí)發(fā)生困難
<定理>
若 p, q 是相異質(zhì)數, rm == 1 mod (p-1)(q-1),
a 是任意一個(gè)正整數, b == a^m mod pq, c == b^r mod pq,
則 c == a mod pq
證明的過(guò)程, 會(huì )用到費馬小定理, 敘述如下:
m 是任一質(zhì)數, n 是任一整數, 則 n^m == n mod m
(換另一句話(huà)說(shuō), 如果 n 和 m 互質(zhì), 則 n^(m-1) == 1 mod m)
運用一些基本的群論的知識, 就可以很容易地證出費馬小定理的
<證明>
因為 rm == 1 mod (p-1)(q-1), 所以 rm = k(p-1)(q-1) + 1, 其中 k 是整數
因為在 modulo 中是 preserve 乘法的
(x == y mod z and u == v mod z => xu == yv mod z),
所以, c == b^r == (a^m)^r == a^(rm) == a^(k(p-1)(q-1)+1) mod pq
1. 如果 a 不是 p 的倍數, 也不是 q 的倍數時(shí),
則 a^(p-1) == 1 mod p (費馬小定理) => a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod p
a^(q-1) == 1 mod q (費馬小定理) => a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod q
所以 p, q 均能整除 a^(k(p-1)(q-1)) - 1 => pq | a^(k(p-1)(q-1)) - 1
即 a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod pq
=> c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == a mod pq
2. 如果 a 是 p 的倍數, 但不是 q 的倍數時(shí),
則 a^(q-1) == 1 mod q (費馬小定理)
=> a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod q
=> c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == a mod q
=> q | c - a
因 p | a
=> c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == 0 mod p
=> p | c - a
所以, pq | c - a => c == a mod pq
3. 如果 a 是 q 的倍數, 但不是 p 的倍數時(shí), 證明同上
4. 如果 a 同時(shí)是 p 和 q 的倍數時(shí),
則 pq | a
=> c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == 0 mod pq
=> pq | c - a
=> c == a mod pq
Q.E.D.
這個(gè)定理說(shuō)明 a 經(jīng)過(guò)編碼為 b 再經(jīng)過(guò)解碼為 c 時(shí), a == c mod n (n = pq)
但我們在做編碼解碼時(shí), 限制 0 <= a < n, 0 <= c < n,
所以這就是說(shuō) a 等於 c, 所以這個(gè)過(guò)程確實(shí)能做到編碼解碼的功能
二、RSA 的安全性
RSA的安全性依賴(lài)于大數分解，但是否等同于大數分解一直未能得到理論上的證明，因為沒(méi)有證明破解 RSA就一定需要作大數分解。假設存在一種無(wú)須分解大數的算法，那它肯定可以修改成為大數分解算法。目前， RSA 的一些變種算法已被證明等價(jià)于大數分解。不管怎樣，分解n是最顯然的攻擊方法?，F在，人們已能分解多個(gè)十進(jìn)制位的大素數。因此，模數n 必須選大一些，因具體適用情況而定。
三、RSA的速度
由于進(jìn)行的都是大數計算，使得RSA最快的情況也比DES慢上倍，無(wú)論是軟件還是硬件實(shí)現。速度一直是RSA的缺陷。一般來(lái)說(shuō)只用于少量數據加密。
四、RSA的選擇密文攻擊
RSA在選擇密文攻擊面前很脆弱。一般攻擊者是將某一信息作一下偽裝( Blind)，讓擁有私鑰的實(shí)體簽署。然后，經(jīng)過(guò)計算就可得到它所想要的信息。實(shí)際上，攻擊利用的都是同一個(gè)弱點(diǎn)，即存在這樣一個(gè)事實(shí)：乘冪保留了輸入的乘法結構：
( XM )^d = X^d *M^d mod n
前面已經(jīng)提到，這個(gè)固有的問(wèn)題來(lái)自于公鑰密碼系統的最有用的特征--每個(gè)人都能使用公鑰。但從算法上無(wú)法解決這一問(wèn)題，主要措施有兩條：一條是采用好的公 鑰協(xié)議，保證工作過(guò)程中實(shí)體不對其他實(shí)體任意產(chǎn)生的信息解密，不對自己一無(wú)所知的信息簽名；另一條是決不對陌生人送來(lái)的隨機文檔簽名，簽名時(shí)首先使用 One-Way HashFunction 對文檔作HASH處理，或同時(shí)使用不同的簽名算法。在中提到了幾種不同類(lèi)型的攻擊方法。
五、RSA的公共模數攻擊
若系統中共有一個(gè)模數，只是不同的人擁有不同的e和d，系統將是危險的。最普遍的情況是同一信息用不同的公鑰加密，這些公鑰共模而且互質(zhì)，那末該信息無(wú)需私鑰就可得到恢復。設P為信息明文，兩個(gè)加密密鑰為e1和e2，公共模數是n，則：
C1 = P^e1 mod n
C2 = P^e2 mod n
密碼分析者知道n、e1、e2、C1和C2，就能得到P。
因為e1和e2互質(zhì)，故用Euclidean算法能找到r和s，滿(mǎn)足：
r * e1 + s * e2 = 1
假設r為負數，需再用Euclidean算法計算C1^(-1)，則
( C1^(-1) )^(-r) * C2^s = P mod n
另外，還有其它幾種利用公共模數攻擊的方法?？傊?，如果知道給定模數的一對e和d，一是有利于攻擊者分解模數，一是有利于攻擊者計算出其它成對的e’和d’，而無(wú)需分解模數。解決辦法只有一個(gè)，那就是不要共享模數n。
RSA的小指數攻擊。 有一種提高 RSA速度的建議是使公鑰e取較小的值，這樣會(huì )使加密變得易于實(shí)現，速度有
所提高。但這樣作是不安全的，對付辦法就是e和d都取較大的值。
RSA算法是第一個(gè)能同時(shí)用于加密和數字簽名的算法，也易于理解和操作。RSA是被研究得最廣泛的公鑰算法，從提出到現在已近二十年，經(jīng)歷了各種攻擊的考驗，逐漸為人們接受，普遍認為是目前最優(yōu)秀的公鑰方案之一。RSA的安全性依賴(lài)于大數的因子分解，但并沒(méi)有從理論上證明破譯RSA的難度與大數分解難度等價(jià)。即RSA的重大缺陷是無(wú)法從理論上把握它的保密性能 如何，而且密碼學(xué)界多數人士?jì)A向于因子分解不是NPC問(wèn)題。 RSA的缺點(diǎn)主要有：A)產(chǎn)生密鑰很麻煩，受到素數產(chǎn)生技術(shù)的限制，因而難以做到一次一密。B)分組長(cháng)度太大，為保證安全性，n 至少也要 600 bits 以上，使運算代價(jià)很高，尤其是速度較慢，較對稱(chēng)密碼算法慢幾個(gè)數量級；且隨著(zhù)大數分解技術(shù)的發(fā)展，這個(gè)長(cháng)度還在增加，不利于數據格式的標準化。目前，SET( Secure Electronic Transaction )協(xié)議中要求CA采用比特長(cháng)的密鑰，其他實(shí)體使用比特的密鑰。
C語(yǔ)言實(shí)現
#include <stdio.h>
int candp(int a,int b,int c)
{ int r=1;
b=b+1;
while(b!=1)
{
r=r*a;
r=r%c;
b--;
}
printf("%d\n",r);
return r;
}
void main()
{
int p,q,e,d,m,n,t,c,r;
char s;
printf("please input the p,q: ");
scanf("%d%d",&p,&q);
n=p*q;
printf("the n is %3d\n",n);
t=(p-1)*(q-1);
printf("the t is %3d\n",t);
printf("please input the e: ");
scanf("%d",&e);
if(e<1||e>t)
{
printf("e is error,please input again: ");
scanf("%d",&e);
}
d=1;
while(((e*d)%t)!=1) d++;
printf("then caculate out that the d is %d\n",d);
printf("the cipher please input 1\n");
printf("the plain please input 2\n");
scanf("%d",&r);
switch(r)
{
case 1: printf("input the m: "); /*輸入要加密的明文數字*/
scanf("%d",&m);
c=candp(m,e,n);
printf("the cipher is %d\n",c);break;
case 2: printf("input the c: "); /*輸入要解密的密文數字*/
scanf("%d",&c);
m=candp(c,d,n);
printf("the cipher is %d\n",m);break;
}
getch();
}
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