巧算星期幾
基姆。拉爾森
基姆擁有計算機學(xué)科的博士學(xué)位。他對數據庫，算法和數據結構有著(zhù)濃厚的興趣。他的聯(lián)系地址是 （原文
為丹麥文－－譯者注） 31，DK－5270，Odense N,Denmark,或發(fā) E-mail 至:kslarsen@imada.ou.dk。
簡(jiǎn)介
布魯斯 施耐爾
“四，六，九，十一，三十天就齊……”兒歌是這么唱的；或許你也曾經(jīng)掰著(zhù)手指頭翻來(lái)覆去地數，讓趕上單數的指頭
代表只有30天的短月吧？這樣的口訣對我們是很管用的（我就是念叨著(zhù)這首傻乎乎的兒歌長(cháng)大的），可是電腦就沒(méi)有這
份“靈感”了。當然，我們可以用一大堆IF－THEN－ELSES的語(yǔ)句或幾個(gè)CASE來(lái)編寫(xiě)計算程序，讓它計算某個(gè)指定日期是
星期幾。
不過(guò)我更喜歡基姆拉爾森在本月的“算法小徑”中為我們帶來(lái)的新技巧，因為他的方法另辟蹊徑，從一個(gè)全新的方向著(zhù)
手解決日期計算的問(wèn)題。其實(shí)，并沒(méi)有什么數學(xué)公式能算出某個(gè)指定日期是星期幾，不過(guò)我們可以試著(zhù)拼湊一個(gè)，如果
我們的嘗試成功了，你就能擁有一個(gè)易于編程的數學(xué)公式，并能用它自動(dòng)計算哪天是星期幾了。
順便說(shuō)一句，如果你已經(jīng)設計出更巧妙的算法，或是在已有的方法上有了新突破的話(huà)，不妨告訴我，我一定洗耳恭聽(tīng)。
我的聯(lián)系方法是schneier@chinet.com，或者在DJJ編輯部給我留張便條就行。
你有沒(méi)有疑惑過(guò)你的電腦怎么就知道今天是星期三呢？就算你的電腦關(guān)機了，你重啟后設定了新日期，它也能立即知道
這天是星期幾。
在你還是個(gè)孩子的時(shí)候，你可能見(jiàn)過(guò)一種紀錄記錄著(zhù)年，月，日的表格，只要加上幾個(gè)數字，和它相連的另一張表格就
會(huì )告訴你這個(gè)日期是星期幾。當然，計算機硬盤(pán)的操作系統里也可以加入這樣的計算表。不過(guò)有一種簡(jiǎn)單的方法可以輕
松地算出某天是星期幾；而且這個(gè)方法只占用很少的內存空間，而那些只能推算幾百年的表格可就太占地方了。
如果目前你的電腦還不具備推算與日期對應的星期數的功能，現在就不妨在自己的程序中試試下面的公式。
創(chuàng )建公式
首先，我們要用變量D，M和Y來(lái)表示日期。比如，1994年3月1日就用“D＝1，M＝3，Y＝4”記錄。我們的目標是讓計算結
果在0到6之間。0代表星期一，1代表星期二，2代表星期三，依此類(lèi)推。
1994年3月1日是個(gè)星期二，那么“D mod 7(日期變量除以7的余數）)))”這個(gè)公式對于整個(gè)三月份都有效。比如3月18日
是星期五，18 mod 7＝4；而4正代表星期五。別忘了，整數的除法和求模有著(zhù)密切的關(guān)系。比方說(shuō)，26除以7商3余5，這
就是說(shuō)，26除以7商數取整等于3，而26除以7求模（簡(jiǎn)寫(xiě)為26 mod 7）等于5。以上這些意味著(zhù)19 mod 7=12 mod 7= 5
mod 7=5。在運算規則中，負數求模運算法相似，所以依此類(lèi)推，-2 mod 7=5, -9 mod 7=5。
在更正式的表達法中，統一用任意整數n和k表達上述關(guān)系，那么這個(gè)過(guò)程可以表達為n=qk+r，這里的q和r的取值范圍同
樣是整數和0。表1中列出了所有月份的變換數據（shift information此處試譯為“檔級數據”，還請進(jìn)一步校對－－譯
者注）。為了盡可能地得出規律，二月被排在最后，同理，一月也是如此。
例1（a）中的公式是仿照表1中的變換數據欄所描述的模式而創(chuàng )建的。這個(gè)公式中的除法一律是商數取整。所以得數是最
接近真正商數的整數。表2得出了此功能得出的有趣的數值。憑直覺(jué)，我們不難發(fā)現，當M(代表月份的變量)的值以1為單
位遞增時(shí)，2M就成倍增長(cháng)，而3(M+1)/5就以3/5為增長(cháng)倍數。
這正是我們仿制3,2,3,2,3這個(gè)重復格式所需要的（表中右邊的彎括號表明了這一點(diǎn)）。請注意，我們在以7為除數求模
，那么從6到2的求模結果就會(huì )逐個(gè)增加3（順序是6,0,1,2）。
現在，我們發(fā)現了適用于逐月向下推算的校正方法，并希望把它加入剛才的嘗試中，就是那個(gè)mod7公式。還以1994年3月
1日為例，這個(gè)日期的M＝3。請注意，在例1（b）中，8 mod 7＝1，所以當整個(gè)公式合并時(shí)，必須減去1。在做以7為除數
求模的運算時(shí)，減1和加6是一樣的，因為-1 mod 7=6 mod 7=6。
這樣，例1（c）中的公式就可以計算這一年中剩下的月份了。其實(shí)，既然我們把一月和二月排在表1的最后，那么只要我
們把它們看成是十三月和十四月，就能接著(zhù)推算1995年的前兩個(gè)月了。這是因為，雖然它們并不是一個(gè)完整的3,2,3,2,3
結構，但恰好可以是這個(gè)結構的開(kāi)始，為了使這個(gè)公式更完善，我們還是最好把一月和二月看成是上一年的十三月和十
四月。
加入年份
順著(zhù)年份向下找，我們觀(guān)察到1995年3月1日是星期三。這說(shuō)明，每增加一年，我們公式的計算結果就會(huì )增加1。這太簡(jiǎn)單
了，我們只要簡(jiǎn)單地把年份加上去就行了。再提醒你一次，我們必須確保出發(fā)點(diǎn)是正確的。由于1994 mod 7=6，我們在
把Y加入已有的公式時(shí)就必須減去6。由此改進(jìn)的例2(a)就更完善了。
1996年是個(gè)閏年，這帶來(lái)了我們的下一個(gè)問(wèn)題。這一年的3月1日是星期五，而不是剛才的公式推算出的星期四。所以每
當我們碰上閏年時(shí)還得多加上1。判斷閏年的規則是，能被4整除，并能被100和400同時(shí)整除的年份就是閏年。就這樣，
我們在原有的基礎上添加Y/4--Y/100+Y/400。再強調一下，我們必須從一開(kāi)始就確保正確。既然(1994/4--
1994/100+1994/400) mod 7=(498--19+4) mod 7=483 mod7=0,所以就不用再做任何調整了。這樣，例2(b)就是我們最終
的成果了。這個(gè)公式能一直工作下去，除非改變現行的日歷系統。作為示例，讓我們試著(zhù)推算一下2000年7月4日：
(4+2*3+(7+1)/5+2000+2000/4--2000/100+2000/400) mod 7=(4+14+2000+500--20+5) mod 7=2507 mod 7=1，所以那一
天是星期二。
這個(gè)公式還能推算過(guò)去的日期；然而計算范圍有限，讓我們看看1752年9月14號這個(gè)星期四吧，我們的公式最遠只能推算
到這里了。不過(guò)像“1963年11月22日你在哪里”這樣的日常問(wèn)題中提到的日期還是可以輕松應對的：(22+2*11+3
(11+1)/5+1963+1963/4--1963/100+1963/400) mod7=(22+22+7+1963+490--19+4) mod 7=2489 mod 7=4。那天就是星期
五。
例3例子3是一個(gè)C語(yǔ)言程序，按照把這個(gè)公式自動(dòng)推算給定日期是星期幾。
表1：每月變換數據
月份 天數 變換
三月 31 3
四月 30 2
五月 31 3
六月 30 2
七月 31 3
八月 31 3
九月 30 2
十月 31 3
十一月 30 2
十二月 31 3
一月 31 3
二月 28 3
表2：仿制變換數據形式的功能。例1中建立的公式可以適用于1994年。例2把這個(gè)公式的功能擴展到可以應用在不同的年
份進(jìn)行推算。
例3：用C語(yǔ)言程序表達上述公式
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